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2024 北京通州高一（下）期末
数 学
2024年7月
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，请将答题卡交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复平面内点 所对应复数的虚部为
（A）1 （B） （C） （D）
（2）样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是
（A）7 （B）6 （C）5 （D）2
（3）已知向量 ， ，那么向量 可以是
（A） （B） （C） （D）
（4）在△ 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
（A） （B） （C） 或 （D） 或
（5）已知圆锥的底面半径是1，高为 ，则圆锥的侧面积是
（A） （B） （C） （D）
（6）如图，在正方体 中，则 与 所成角为
（A） （B） （C） （D）
（7）在下列关于直线 与平面 的命题中，真命题是
（A）若 ，且 ，则 （B）若 ，且 ，则
（C）若 ， ， ，则 （D）若 ，且 ，则
（8）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与
事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有
（A）2个小球恰有一个红球 （B）2个小球至多有1个红球
（C）2个小球中没有绿球 （D）2个小球至少有1个红球
（9）一个长为 ，宽为 的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为 ， ， ， ，依次
沿 ， ， ， ， 折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为
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学科网（北京）股份有限公司“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为
（A） （B） （C） （D）
（10）达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的
组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等
概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）设复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为 ．
（12）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是
．
（13）已知 分别是△ 的角 的对边，若 ， ， ，则 = ，△ 的面
积为 ．
（14）在正方形 中， 是 边上一点，且 ，点 为 的延长线上一点，写出可以使得
成立的 ， 的一组数据 为 ．
（15）如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 ， ，
的平面截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是 ．
①直线 与直线 相交；
②当 时， 为四边形；
③当 为 的中点时，平面 截正方体所得的截面面积为 ；
④当 时，截面 与 ， 分别交于 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题12分）
已知向量 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线.
（17）（本小题14分）
在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，
求：
（Ⅰ）两人都通过体质健康测试的概率；
（Ⅱ）恰有一人通过体质健康测试的概率；
（Ⅲ）至少有一人通过体质健康测试的概率．
（18）（本小题15分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点．求证：
（Ⅰ） 平面 ；
（Ⅱ） 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．
（19）（本小题15分）
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、
历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、
高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率.
第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门
选考情况
物理 化学 生物 历史 地理 政治
高一选科人数 80 70 35 20 35 60
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学科网（北京）股份有限公司高二选科人数 60 45 55 40 40 60
高三选科人数 50 40 60 40 40 70
（Ⅰ）已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从
这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
（Ⅲ）假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、
高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第 门科目的概率为
，当 取得最大值时，写出 的值．（结论不要求证明）
（20）（本小题14分）
在△ 中，角 所对的边为 ，△ 的面积为S，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由．
（21）（本小题15分）
如图，七面体 中，菱形 所在平面与矩形 交于 ，平面 与平面 交于直线
．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 为何值时，平面 平面
？并证明你的结论．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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学科网（北京）股份有限公司参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
B C A C D C B A B D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13） ：
（14） （答案不唯一） （15） ②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共12分）
（Ⅰ） ， ……………… 6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ， 三点共线. ……………… 12分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）解：根据题意，记甲通过体能测试为事件 ，乙通过体能测试为事件 ,
且事件 与事件 相互独立.
则两人都通过体能测试的概率 ………5分
（ Ⅱ ） 由 事 件 与 事 件 相 互 独 立 ， 则 恰 有 一 人 通 过 体 能 测 试 的 概 率 为
……………10分
（ Ⅲ ） 由 事 件 与 事 件 相 互 独 立 ， 则 至 少 有 一 人 通 过 体 能 测 试 的 概 率 为
………………14分
（18）（共15分）
解：（Ⅰ） 分别为 的中点， ， ，
且 ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .……………… 5分
（Ⅱ） 四边形 为正方形， .
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ，
.……………… 11分
（Ⅲ） 到平面 距离为三棱锥的高 ,
平面 ，
故三棱锥 的体积 ……………… 15分
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学科网（北京）股份有限公司（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中高一学生共有 人， 其中选择历史学科的学生有 人
故估计高一年级选历史学科的学生有 人.……………… 4分
（Ⅱ）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1,2,2，
编号为 ，……………… 6分
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛,所有可能的结果为 ，
, , , , , , , , ,共10种.…… 8分
设 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，
则 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有 ， 共2种.……………… 10分
所以事件 发生的概率 .……………… 12分
（Ⅲ） ……………… 15分
（20）（共14分）
（Ⅰ）在△ 中，因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得 ，……………8分
，
，
，
于是 .……………10分
又 ，故 ，所以 或 ，因此 （舍去）或 ，所以 .
故△ 为等腰直角三角形. ………………14分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）菱形 中， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
又 平面 ，平面 平面 .
……………… 6分
（Ⅱ）证明：若选①
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学科网（北京）股份有限公司当 时，平面 平面
设 ，取 的中点 ，连结 如图所示
平面 平面 ，平面 平面
矩形 中 ， 平面
平面 ，
同理可得：
因为菱形 中 ，矩形 中
， ， 是 的中点，
假设平面 平面 成立
平面 平面 ，且
平面 ， 平面 ，
矩形 中 是 的中点，菱形 中 是 的中点,
平面 ， 平面
又 ， 是 的中点，可知△ 为等腰直角三角形
,故当 时，平面 平面 ……………… 15分
若选②
当 时， ,矩形 中，
， 平面 ，
矩形 中 ， 平面
以下同上.
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