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2023-2024 学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试
高一年级数学试卷答案
考试时间：120分钟 考试分数：150分
一、单选题
1-4． BACA 5-8． BDCC
二、多选题
9．ABD 10．BC. 11．BD．
三、填空题
12． . 13． 14．
四、解答题
15． （13分）
【解】（1）因为 ，根据正弦定理，得
，--- --- ---2分
化简得 ，因为 ，所以 ， --- --- ---4分
因为 ，所以 . --- --- ---5分
（2）在 中，由余弦定理得 ，--- --- ---7分
所以 ，解得 ． --- --- ---9分
因为 为 的中线，所以 ，所以 ，
--- --- ---11分
因为 ，所以 ，解得 . --- --- ---13分
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学科网（北京）股份有限公司（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
16． （15分）
【解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，由底面 是正方形，故 为 中点，
又点 为线段 的中点，故 ， --- --- ---3分
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ； --- --- ---4分
（2）由点 为线段 的中点， ，故 ，
由 平面 ， 平面 ，故 ， --- --- ---6分
又底面 是正方形，故 ，又 、 平面 ， ，故
平面 ，又 平面 ，故 ， --- --- ---8分
又 、 平面 ， ，故 平面 ；- -- --- ---10分
（3）由点 为线段 的中点，故点 与点 到平面 距离相等，--- --- ---12分
故 .- -- --- ---15分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
17．（15分）
【解】（1）对任意 都有 ，则函数 的图象关于直线 对称，
第2页，共6页于是 ，而 ，则 ，所以 . --- --- ---4分
(2) ，当 时，设 ， 在
为增函数，在 为减函数，所以方程 有唯一实根，等
价于 时有唯一实根，所以 的范围.是
--- --- ---8分
（3）由（1）知， ，则 ，
， ，
当 时， ， ，令 ，
显然 ， --- --- ---12分
不等式 ，
依题意， ，不等式 恒成立，
显然 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，则
第3页，共6页
学科网（北京）股份有限公司，所以实数 的取值范围是 . --- --- ---15分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
18． （17分）
【解】(1)证明：在正三棱柱 中，因为点 为 的中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则有 ，
而 平面 ，于是 平面 ， 平面 ，
则平面 平面 ， --- --- ---5分
（2）在平面 内过点 作 交 于点 ，平面 平面 ，
因此 平面 ，于是点 即为所要找的点，--- --- ---8分
如下图所示，显然 ，因此 ，
即有 ，于是 ， ，所以 .--- --- ---11分
第4页，共6页（3）在平面 上，过M点作MN垂直 垂足为N，因为点 为 的中点，所
以N为 的四等分点，即 , --- --- ---13分
过N点作 的垂线NP垂足为P，连接MP,
平面 平面 ，平面 平面 ，因此 平面
，所以有 ，由二面角定义可得 为二面角 的平面
角， --- --- ---15分
为直角三角形， 边上的高为 ，则有NP= ，
所以 --- --- ---17分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
19． （17分）
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学科网（北京）股份有限公司【详解】(1) 由 ，由余弦定理得BC= --- --- ---2分
取 的中点 ，连接 ,则 ,所以
，同理可得
，则 的值为22；
--- --- ---4分
（2）不妨设 ，因 ，同理可得
，
则由 可得
，即得： ①
又由 可得
，即得： ②---- --- ---6分
联立① ,②，解得：
第6页，共6页则 ， --- --- --8分
因 ，当且仅当 时等号成立.即当 时， 取得最大值 .
--- --- ---10分
（3）由 ，则 ，由图知 ,则 ,
--- --- ---11分
设 的外接圆半径为 ，
则 ,
即 , --- --- ---13分
又 ，
而 ,
则 ，而 ，
故 ,--- --- ---15分
不妨设 与 的夹角为 ，
则 ,
因 ，故 ，即 ，
故 ，得证. --- --- ---17分
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学科网（北京）股份有限公司（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
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