文档内容
唐山市 2023－2024 学年度高一年级第二学期期末考试
数学参考答案及评分
一．选择题：1～4．ACCB 5～8．DBDC
二．选择题：9．BCD 10．AD 11．ACD
27
三．填空题：12． 7 13． 14．77
125
四．解答题：（若有其他解法，请参照给分）
．．．．．． ．．．．．
15．解：
（1）若a∥b，则 3sinα－cosα＝0， …3分
3
解得tanα＝ ， …5分
3
因为α∈[0，π]，
π
所以α＝ ． …7分
6
（2）若a⊥b，则sinα＋ 3cosα＝0， …10分
解得tanα＝－ 3， …12分
因为α∈[0，π]，
2π
所以α＝ ． …13分
3
16．解：
（1）记“甲独立解答正确”为事件A，“乙独立解答正确”为事件B，且事件A，B相
互独立．
1 1
已知P(A)＝ ，P(B)＝ ，
2 3
1 1 1
所以两人解答都正确的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝ × ＝ ． …5分
2 3 6
（2）“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确
1 5
的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－ ＝ ． …10分
6 6
（3）“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正
确的概率为1－P(A
-
B
-
)＝1－P(A
-
)P(B
-
)＝1－
1
×
2
＝
2
． …15分
2 3 3
17．解：
AB BC
（1）在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ， …2分
sinC sin∠BAC
3 3
所以 ＝ ． …3分
2π sin∠BAC
sin
3
高一数学参考答案 第1页（共4页）
{#{QQABCYIUoggAQJBAAQhCUQFqCAOQkBACCQgOgAAMMAAAQQNABAA=}#}1
解得sin∠BAC＝ ． …5分
2
因为C＝
2π
，所以∠BAC∈
(
0，
π )
，
3 3
π
所以∠BAC＝ ， …7分
6
π
所以B＝ ．
6
又AB＝3，BC＝ 3，
1 3 3
所以△ABC的面积S＝ AB×BC×sinB＝ ． …8分
2 4
（2）解法一：
2π
在△ADC中，AC＝BC＝ 3，C＝ ，
3
1 3
因为D是BC中点，所以CD＝ BC＝ ，
2 2
由余弦定理，得
AD2 ＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC …11分
＝3＋
3
－2× 3×
3
×
(
－
1 )
＝
21
． …14分
4 2 2 4
21
所以AD＝ ． …15分
2
→ 1 → →
解法二：由AD＝ (AB＋AC)两边平方可得
2
→ 1 → → → →
|AD|2＝ (|AB|2＋|AC|2＋2|AB||AC|cos∠BAC) …11分
4
3
由（1）可知AC＝BC＝ 3，AB＝3，cos∠BAC＝ ，
2
→ 1( 3) 21
所以|AD|2＝ 9＋3＋2×3× 3× ＝ ． …14分
4 2 4
21
所以AD＝ ． …15分
2
18．解：
（1）这些人的平均年龄为
-
x＝15×0.05＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.1 …2分
＝34.5(岁)． …3分
由频率分布直方图可知，年龄在[10，40)的频率为0.05＋0.35＋0.3＝0.7，
在[10，50)的频率为0.05＋0.35＋0.3＋0.2＝0.9，
则第80百分位数为x ∈[40，50)，
0
由0.7＋(x －40)×0.02＝0.8，解得x ＝45． …5分
0 0
所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．
高一数学参考答案 第2页（共4页）
{#{QQABCYIUoggAQJBAAQhCUQFqCAOQkBACCQgOgAAMMAAAQQNABAA=}#}（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1． …6分
若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a ，a ，a ；
1 2 3
第四组抽取2人，记为b ，b ；第五组抽取1人，记为c；
1 2
对应的样本空间Ω＝{(a ，a )，(a ，a )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，c)，(a ，a )，(a ，
1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 2
b )，(a ，b )，(a ，c)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，c)，(b ，b )，(b ，c)，(b ，c)}，
1 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2
所以n(Ω)＝15 ； …8分
设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，
则A＝{(a ，b )，(a ，b )，(a ，c)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，c)，(a ，b )，(a ，b )，
1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 3 2
(a ，c)，(b ，c)，(b ，c)}，所以n(A)＝11. …10分
3 1 2
n(A) 11
所以P(A)＝ ＝ ． …12分
n(Ω) 15
- -
（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x
1
，x 2，方差分别为s
1
2，s
2
2．
则x -
1
＝36，x -
2
＝46，s
1
2＝2，s
2
2＝4．
由第三组有30人，第四组有20人，
-
设第三组和第四组所有人的年龄平均数为x，方差为s2，
- -
- 30x 1 ＋20x 2 30×36＋20×46
则x＝ ＝ ＝40． …14分
50 50
1 - - - -
s2＝ {30×[s2＋(x －x)2]＋20×[s2＋(x －x)2]}
50 1 1 2 2
1
＝ {30×[2＋(36－40)2]＋20×[4＋(46－40)2]} …16分
50
＝26.8．
所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8． …17分
19．解：
（1）由已知AC∥A C ，AC⊄平面A BC ，A C 平面A BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AC∥平面A BC ． …2分
1 1
又AC平面ABC，平面A BC ∩平面ABC＝l，
1 1
所以AC∥l． …5分
（2）取BC中点为O，连接AO，A O．
1
因为侧面BB C C为矩形，所以BB ⊥BC，
1 1 1
又AA //BB ，则AA ⊥BC．
1 1 1
由A C＝A B，所以A O⊥BC． …6分
1 1 1
又A O∩AA ＝A ，A O，AA 平面AA O，
1 1 1 1 1 1
故BC⊥平面AA O． …8分
1
由于AO平面AA O，
1
高一数学参考答案 第3页（共4页）
{#{QQABCYIUoggAQJBAAQhCUQFqCAOQkBACCQgOgAAMMAAAQQNABAA=}#}故BC⊥AO． …10分
又BO＝CO，故AB＝AC，
又AC＝BC，
所以△ABC为等边三角形． …12分
C
1
N
A 1 B 1
E
H
C
O
A B
（3）记ON与BC 交于点H，连接A H，过O作OE⊥A H于点E，连接BE．
1 1 1
因为O，N分别为BC，B C 中点，
1 1
所以ON∥AA ，ON＝AA ，
1 1
所以四边形A AON为平行四边形． …13分
1
所以平面A AON∩平面A BC ＝A H．
1 1 1 1
由（2）可知BO⊥平面A AON，OE，A H平面A AON，
1 1 1
所以BO⊥OE，BO⊥A H，
1
又OE⊥A H，BO∩OE＝O，
1
所以A H⊥平面BOE，又BE平面BOE，
1
所以A H⊥BE，
1
即∠OEB为平面A AN与平面A BC 所成的锐二面角． …14分
1 1 1
在△A BC中，A C＝A B＝2 2，BC＝AB＝4，
1 1 1
所以△A BC为等腰直角三角形，
1
所以A O＝2．
1
因为A A＝AB＝4，△ABC为等边三角形，
1
所以AO＝2 3，
所以A O2＋AO2＝AA2，
1 1
则A O⊥OA． …15分
1
同理可证A O⊥A N，又知H为ON中点，
1 1
1
所以A H＝ ON＝2．
1 2
所以△A OH为边长为2的等边三角形，且OE＝ 3， …16分
1
在△OEB中，BO⊥OE，
因为BE＝ OB2＋OE2＝ 7，
OB 2 2 7
所以sin∠OEB＝ ＝ ＝ ． …17分
BE 7 7
2 7
故平面A AN与平面A BC 所成二面角的正弦值是 ． …17分（同上）
1 1 1 7
高一数学参考答案 第4页（共4页）
{#{QQABCYIUoggAQJBAAQhCUQFqCAOQkBACCQgOgAAMMAAAQQNABAA=}#}
