高一数学第
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哈三中2025—2026 学年度下学期
高一学年期中考试数学试卷
第I 卷（选择题, 共58 分）
一、单选题：共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.
设复数
i3
1
z
，z 是z 的共轭复数，则复平面内z 对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.
向量a，b 的夹角为3
，并且a，b 是单位向量，向量c 满足c a b，那么向量a
与c 的夹角为
A.
6
B.
3
C.
3
2
D.
6
5
3.
已知
4
3
，
AB
，则向量a
1,1
在向量AB 上的投影向量为
A.
25
7
25
7 ，
B.
25
7
25
7 ，
C.
25
28
25
21，
D.
25
28
25
21，
4.
已知a ，b 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是
A. 若
a
，
b
，且
l
，则a 与b 为异面直线
B. 若
a
，
b
，且
//
，则
b
a //
C. 若
a
，
//
b
，且
l
，则a 与b 为异面直线
D. 若
//
a
，
//
b
，且
//
，则
b
a //
5.
如图，AB 是底部B 不可达到的一座建筑，A 是建筑的最高点. 测量建筑AB 高度时
选择了一条水平基线HG ，使H ，G ，B 在同一条直线上，在G ，H 两点用测角
仪器测得A 的仰角分别是
75 ，
30 ，
a
HG
，测角仪器的高是h . 那么测得建筑AB
的高度为
A.
h
a
4
1
3
B.
h
a
2
1
3
C.
h
a
4
2
6
D.
h
a
2
2
6
30
75
A
B
H
G
D
C
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2
6.
在ABC
中，
60
BAC
，
4
AB
,
6
AC
，点D 为AC 的中点，M 为BD 上点，
并且
AC
AB
x
AM
8
3
，则
AC
AM
的值为
A. 10
B.
4
39
C. 15
D.
2
33
7.
正三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC
的底面边长为3，高为2，E 为
1
1B
A
上的点，
1
1
2EB
E
A
，
平面ACE 将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为
A. 12
11
B. 13
12
C. 14
13
D. 15
14
8.
在
ABC
中，三个内角分别为A，B ，C ，所对的三边长分别为a ，b ，c ，若
80
A
,
并且
bc
b
a
2
2
，则
A.
60
B
B.
50
C
C.
50
B
D.
60
C
二、多选题：共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.
已知复数
2
1,
,
z
z
z
，z 是z 的共轭复数，则下列说法正确的是
A.
2
1
2
1
z
z
z
z
B.
2
1
2
1
z
z
z
z
C.
2
2
z
z
D. 若
1
i
2
1
z
，则
i
6
2
z
的最大值为6
B1
B
A
C
A1
C1
E
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3
10. 已知一个圆锥SO 的底面半径为1，高为2 ，则下列对该圆锥的表述正确的是
A. 侧面积为
5
2
B. 过两条母线的截面面积的最大值为2
C. 圆锥的内切球半径为
2
1
5
D. 设AB 是圆锥的底面圆直径，M 是底面圆周上一点，若
MB
MA
，则SA 与MB
所成角的余弦值为10
10
11. 已知点P 在
ABC
V
所在的平面内，则下列命题正确的是
A. 设AP
xAB
yAC
，若P 是ABC
的重心，则
3
2
y
x
B. 若
3
PA
PB
PC
0，则ABC
的面积与ABP
的面积之比为5:1
C. 若P 是ABC
的内心，满足
PC
PB
PA
4
3
2
0，则
A
C
B
sin
sin
sin
的值为2
7
D. 若
2
2
2
2
2
2
AB
PC
CA
PB
BC
PA
且
1
AC
AB
，则
2
1
AB
AP
第Ⅱ卷（非选择题, 共92 分）
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．将答案填在答题卡相应的位
置上．
12．已知1
2i
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，其中
,p q 为实数，则
p
q
=________．
13．若底面边长为
3
2
，高为2 的正三棱柱
1
1
1
ABC
ABC
所有顶点都在球O 的表面上，
则球O 的表面积为________．
14．ABC
的内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，其面积为S ，若点M 满足
4
1
3
3
AM
AB
AC
，且
2
3
CM
AM
，则
2
2
13
1
s
1
in
a
S
c
A
的最大值为________．
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四、解答题：本大题共5 小题，共77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本题13 分)如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O 是底面ABCD 的中心，点E 是
1
CC 的中点．
(1) 求证：OE // 平面
1
1D
ABC
;
(2) 求异面直线
1
AD 与OE 所成角的余弦值.
16. (本题15 分)已知向量
1, 1 ,
a
b
1
,x x
，
3, 1
c
．
(1) 若
/ /
a
b
c
，求(a
c
)(b
c
)；
(2) 设
f x
a
b ，
1 ,2
2
x
，求函数
f x 的值域．
1
D
A
1A
D
C
B
1
C
1
B
E
O
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17. (本题15 分)如图，在四棱锥
ABCD
P
中，底面ABCD 为菱形，
60
BAD
，
4
PB
AB
，
2
2
PD
PA
，M 为AD 的中点．
(1) 求证：
BC
平面PBM ；
(2) 求四棱锥
ABCD
P
的体积.
18. (本题17 分)在ABC
中，内角
C
B
A
,
,
所对的边分别为
c
b
a
,
,
，且
C
b
B
c
a
cos
cos
2
．
(1) 求B 的大小；
(2) 若ABC
为锐角三角形，且
4
a
，求ABC
面积的取值范围；
(3) 若D 为边AC 上一点（不包含端点），且满足
ACB
ADB
3
, 求CD
AD 的取值
范围．
P
A
B
D
C
M
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19. (本题17 分)若点O是直线PQ 外一点，点
N
M ,
在线段PQ 上（
N
M ,
异于
Q
P,
），
我们则称以下操作：
MOQ
OQ
POM
OP
M
Q
P
sin
sin
;
,
为“由O点对PQ 施以张角运算”；
并且，记
N
Q
P
M
Q
P
N
M
Q
P
;
,
;
,
,
;
,
．如图，四个有序点
D
C
B
A
,
,
,
，由O点对AD
施以张角运算，得
1
)
;
,
(
B
D
A
．
(1)
在
OD
OA,
上分别取点
F
E,
（异于端点）,连EF 交OB 于点G ，
证明：B 为AD 的中点，且
OG
OB
OF
OD
OE
OA
2
；
(2)
已知
3
,
;
,
B
C
D
A
，
3
AC
.
①若
60
AOC
，求OB 的最大值；
②若
1
OB
，
2
3
sin
sin
AOB
ACO
，求
A
tan
的值．
O
A
B
D
C
