文档文本内容
云南楚雄第一中学等校2025-2026 学年高一下学期5 月期中
数学试题
一、单选题
1．已知
是空间中三条不同的直线，若
，则（ ）
A．
B．
C．与
相交
D．与
是异面直线
2．复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知
，
，点P 满足
，则点P 的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，用斜二测画法作出
的直观图
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A．3
B．7
C．9
D．21
6．将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原
来的4 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则
的解析式可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平面四边形
中，
与
不共线，点
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，两座山峰的高度
米，为测量峰顶
和峰顶
之间的距离，测量
队在
点（
三点在同一水平面上）测得
点的仰角为
点的仰角为
，且
，则两座山峰峰顶之间的距离
（ ）
等级计算方法
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．正四棱柱的侧面都是正方形
B．棱台的侧棱延长后交于一点
C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D．四面体的每个侧面都是等边三角形
10．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是锐角三角形
C．若
，
，
，则
有两解
D．若
的面积为S，且
，则
11．如图，在四面体
中，
，
分别为棱
，
的中点，点
，
分别在棱
，
上，且
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
四点共面
B．
平面
C．
与
是异面直线
D．直线
，
，
相交于一点
三、填空题
12．复数
的虚部是________.
13．某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为
的扇形，则该圆锥的底面直径为
_________．
14．在矩形
中，
，点
为矩形
所在平面内一点，则
的最小值为__________.
四、解答题
15．已知复数
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
16．已知向量
，
．
(1)求
；
(2)若向量
，且
，求
的值；
(3)求与
垂直的单位向量的坐标．
17．已知函数
．
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
且
，求
的值．
18．如图所示，已知点
是平行四边形
所在平面外一点，
分别为
的中点，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)求证：
平面
；
(3)直线
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出点
的位置，并
加以证明；若不存在，请说明理由.
19．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长；
(3)若
为
边上一点，且
的面积为
，求
的值.
《云南楚雄第一中学等校2025-2026 学年高一下学期5 月期中数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
B
D
B
D
BC
AD
题号
11
答案
BCD
1．A
【详解】选项A：因为
，
，所以
；
选项B：由选项A 可知，
，所以和
不垂直；
选项C：由选项A 可知，
，所以和
不相交；
选项D：由选项A 可知，
，所以和
共面.
2．B
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，位于第二象限．
3．C
【详解】点
，
，则
，于是
，
所以点
的坐标为
.
故选：C
4．B
【详解】根据斜二测画法可知，
，又
，所以
，所以
5．B
【详解】由棱台的体积公式，可得
.
故选：B.
6．D
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4 倍（纵坐标不变），
可得
的图象，
令
，得
，可得
，
．
7．B
【详解】解：如图，
由题意知
①，
②，又
，
则
得
，
所以
，又
与
不共线，
所以
，所以
.
8．D
【详解】在
中，
，
在
中，
，
在
中，
米.
9．BC
【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，
A 错误；
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台
的侧棱延长后交于一点，B 正确；
正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C 正确；
四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D 错误.
10．AD
【详解】对于A，由
，可得
，由正弦定理可得
，所以A 正确；
对于B，由正弦定理得
，所以
，所以C 为锐角，但A，B
可能为钝角，不能确定
为锐角三角形，故B 错误；
对于C，已知
，
，
，根据正弦定理可知
，解得
，
所以无解，C 错误；
对于D，若
的面积为S，因为
，则
，所以
，则
，由于
，则
，故D 正确.
11．BCD
【详解】对于A，依题意得
，
，
平面
，且
，
，
三点不共线，而
平
面
，
所以
，
，
，
四点不共面，故A 错误；
对于B，因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，且
，
又
平面
，而
平面
，所以
平面
，故B 正确；
对于C，因为点
，
分别在棱
，
上，且
，
，
所以
，且
，所以
，且
，所以
，
，
，
四
点共面，
又
平面
，所以
与
是异面直线，故C 正确；
对于D，因为
，
，
，
四点共面，且显然
不平行，所以
相交，
设
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，且
平面
，
又平面
平面
，所以
，所以直线
，
，
相交于一点，故D
正确．
12．
【详解】因为
，所以其虚部为
.
故答案为：
13．
/
【详解】由题意知扇形的弧长
，
设该圆锥的底面圆的半径为，则
，
即
，得
，即该圆锥的底面圆的直径为
.
故答案为：
14．
【详解】如图所示，以
为原点，以
所在直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，
则
设
，则
，
所以
，
，
当且仅当
时，
取得最小值
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）
，
所以
．
（2）由
，得
，
即
，
所以
，解得
，
， 故
．
16．(1)
(2)
(3)
或
.
【详解】（1）由
，
，得
，
所以
.
（2）由
，则
，
因为
，所以
，解得
.
（3）由题可得
，设与
垂直的向量
，
则
，取
，得
，则
，
所以，与向量
共线的单位向量为
，
因此，与
垂直的单位向量的坐标
或
.
17．(1)
，单调递增区间为
（
）
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
的最小正周期
，
令
（
），解得
（
），
所以
的单调递增区间为
（
）；
（2）由（1）可得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
18．(1)因为
平面
平面
，
所以
平面
，
又平面
平面
平面
，所以
.
(2)取
中点
，连接
，
则在
中，
，
又在
中，
，
则
，
即四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
(3)存在，
为
中点；当
为
中点时，平面
平面
.
证明如下：取
的中点为
，连接
，
则在
中，
，
又
平面
平面
，则
平面
，
同理可证，
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
19．(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）由
，两边平方整理得
，即
，
由余弦定理得
，又
，所以
.
（2）由
知
，则
为钝角.
由
，得
，
所以
，
又
，所以
，则
，
所以
，则
，故
.
由正弦定理
，得
，
，
故
的周长为
.
（3）由
，得
.
设
，则
，
所以
，
所以
，
则
，
整理得
，
由
，知
，
所以
，解得
，或
（舍去），
故
.
