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2025-2026 学年高一下学期期末数学复习卷01
一、单选题（共40 分）
1．（本题5 分）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（本题5 分）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（本题5 分）在
中，点
在边
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（本题5 分）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（本题5 分）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从
年
月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比
例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ）
A．若调查的游客中青年人有
人，则一共调查了
人
B．估计
年
月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的
C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有
人，则中年人有
人
D．估计
年
月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半
6．（本题5 分）已知一组样本数据
，，…，的方差为2，令
，
，2，…，n，则
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样本数据
，
，…，
的方差为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
7．（本题5 分）正三棱锥
侧棱长为
，底面棱长为
，该三棱锥内切球表面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（本题5 分）已知
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共18 分）
9．（本题6 分）若复数
，则（）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限
D．
是方程
的复数根
10．（本题6 分）已知事件A，B 满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若A 与B 互斥，则
B．若
，则
C．若A 与B 相互独立，则
D．若
，则A 与B 相互独立
11．（本题6 分）如图，在三棱柱
中，
与
相交于点
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
与
所成角的余弦值为
D．
三、填空题（共15 分）
12．（本题5 分）已知向量
，
，且
在
上的投影向量为
，则
______．
13．（本题5 分）在正四棱台
中，
，若侧面与底面的夹角为
，
则该四棱台的体积为__________.
14．（本题5 分）万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明
珠”．如图，为测量塔的高度
，可选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D．
现测得
，
，
米，在点C 测得塔顶A 的仰角为
，则塔高
为_________米．
四、解答题（共77 分）
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15．（本题13 分）已知平面向量
，
，且
．
(1)求
在
上的投影向量的坐标；
(2)若向量
与
的夹角是钝角，求实数
的取值范围．
16．（本题15 分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级
举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100 人的
成绩（百分制）作为样本，并按
分组，作出频率分布直方图如图所
示．
(1)求
的值，并估计样本中成绩不低于60 分的人数；
(2)估计样本中成绩的上四分位数；
(3)若规定成绩不低于80 分为“良好”等级，已知样本中成绩在
内的平均数为88，方
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差为7，成绩在
内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数
和方差．
17．（本题15 分）如图所示，已知
是圆
的直径，为圆上一点（异于
），
，
，
为圆
所在平面外一点，且
垂直于圆
所在平面．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．（本题17 分）已知
，
，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求
在
上的最大值和最小值．
(3)设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
且
，求
周长的
最大值．
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19．（本题17 分）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10 万元，每生产
千件，需
要另外投入成本
万元．当产量不足8 千件时，
；当产量不小于8 千件时，
．已知每件产品的售价均为0.05 万元，且生产的产品能全部售出．
(1)请写出年利润
（单位：万元）关于年产量
（单位：千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多
少万元？
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《2025-2026 学年高一期末数学复习卷01》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
D
C
B
D
AC
CD
题号
11
答案
ABD
12．
13．
14．
15【详解】（1）因为
，所以
，解得
，所以
，
，
，
，所以
在
上的投影向量为
所以
在
上的投影向量的坐标为
．
（2）
，
，因为向量
与
的夹角是钝角，则
，且
与
不平行，所以
，解得
，
又
与
不平行，则
，所以
，所以实数
的取值范围为
．
16．【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，则
，解得
，
估计样本中成绩不低于60 分的人数为
．
（2）前四个小矩形的面积之和为
，前五个小矩形的面积之和为
，所以成绩的上四分位数落在
内，设其为
，
则
，解得
，即估计样本中成绩的上四分位数为86．
（3）样本中成绩在
内占成绩在
内的比例为
，
样本中成绩在
内占成绩在
内的比例为
．
设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为
，
由分层随机抽样的平均数公式可得
，
由分层随机抽样的方差公式可得
，
故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22．
17．(1)
平面
，
平面
，
．
是圆O 的直径，C 为圆上一点，
．
又
，且
平面
，
平面
．
平面
，
平面
平面
.
（2）如图所示，过点
作
于点
，
平面
，
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
．
即为直线
与平面
所成角．
，
，可得
．
.
即直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为
．
18．【详解】（1）由
，
则
.
（2）当
时，
.则当
（即
）时，取得
的最大值为1；
当
（即
）时，取得
的最小值为
.
故
的最大值为
，最小值为
.
（3）
，即
，
为
的内角，
. 故
.
. 则
.又
，由余弦定理
，
得
，即
.由均值不等式
得：
，
即
，从而
，当且仅当
时取等号，此时
为等边三角
形．周长最大值：
.
19．【详解】（1）由每件产品的售价均为
万元，得x 千件产品的销售收入为
万元，
当
时，
；
当
时，
，
所以年利润
关于年产量x 的函数解析式为
.
（2）当
时，
，
函数
在
上单调递增， 此时
（万元）；
当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，而
，
所以当年产量为100 千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240 万元．
