文档文本内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新 1 卷）
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填
写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为 ，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 设全集 ，集合 ，则 中元素个数为（ ）
.
A 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
3. 若双曲线C的虚轴长为实轴长的 倍，则C的离心率为（ ）A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知双曲线中 的关系，结合 和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为 ，
由题知， ，
于是 ，则 ，
即 .
故选：D
4. 若点 是函数 的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质， 的对称中心横坐标满足 ，
即 的对称中心是 ，
即 ，
又 ，则 时 最小，最小值是 ，即 .
故选：C
5. 设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为 的范围中求解.
【详解】由题知 对一切 成立，
于是 .
故选：A
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对
应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在
某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2（风速的大小和向量的大小相同），单位
（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
【答案】A
【解析】
【分析】结合题目条件和图 写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图 得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为： ，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
∴ ，船行风速： ，
∴ ，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7. 若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心 到直线 的距离，然后结合图象，即可得出结论.【详解】由题意，
在圆 中，圆心 ，半径为 ，
到直线 的距离为 的点有且仅有 个，
∵圆心 到直线 的距离为： ，
故由图可知，
当 时，
圆 上有且仅有一个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当 时，
圆 上有且仅有三个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当则 的取值范围为 时，
圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 .
故选：B.
8. 若实数x，y，z满足 ，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B【解析】
【分析】法一：设 ，对 讨论赋值求出 ，即可得出大小关系，
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A有可能；
令 ，则 ，此时 ，C有可能；
令 ，则 ，此时 ，D有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象
与直线 的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱 中，D为BC中点，则（ ）A. B. 平面
C. 平面 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于 B，利用线面垂直的判定
与性质定理即可判断；对于C，利用线面平行的判定定理即可判断；对于 D，利用反证法即可判断；法二：
根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】法一：对于A，在正三棱柱 中， 平面 ，
又 平面 ，则 ，则 ，
因为 是正三角形， 为 中点，则 ，则
又 ，
所以 ，
则 不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱 中， 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为 是正三角形， 为 中点，则 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，故B正确；对于C，因为在正三棱柱 中，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，故C正确；
对于D，因为在正三棱柱 中， ，
假设 ，则 ，这与 矛盾，
所以 不成立，故D错误；
故选：BC.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为 ，高为 ，
则 ，
对于A， ，
则 ，
则 不成立，故A错误；
对于BC， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，则 ，
所以 ， ，则 平面 ， 平面 ，故BC正确；
对于D， ，
则 ，显然 不成立，故D错误；
故选：BC.
10. 设抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于 的直线交 于
E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先判断得直线 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利
用三角形相似证得 ，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），
联立直线 与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断 C；利用利用三角形相似证得
， ，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线 ，
则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，易知直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，
易知 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，
同理 ，
又
，
，
所以 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线 ，
则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知， ，故A正确；对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，当直线 的斜率不存在时， ；
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
易知 ，则 ，
所以
，
综上， ，故C正确；
对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，
同理 ，当直线 的斜率不存在时， ， ；
所以 ，即 ；
当直线 的斜率存在时， ，
，
所以 ，
则 ；
综上， ，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知 的面积为 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较 和的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出 ，然后利用
算出 取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】 ，由二倍角公式， ，
整理可得， ，A选项正确；
由诱导公式， ，
展开可得 ，
即 ，
若 ，则 可知等式成立；
若 ，即 ，由诱导公式和正弦函数的单调性可知， ，同理 ，
又 ，于是 ，
与条件不符，则 不成立；
若 ，类似可推导出 ，则则 不成立.
综上讨论可知， ，即 .
方法二： 时，由 ，则 ，
于是 ，由正弦定理， ，
由余弦定理可知， ，则 ，
若 ，则 ，注意到 ，则 ，
于是 （两者同负会有两个钝角，不成立），于是 ，
结合 ，而 都是锐角，则 ，
于是 ，这和 相矛盾，
故 不成立，则
由 ，由 ，则 ，即 ，
则 ，同理 ，注意到 是锐角，则 ，
不妨设 ，则 ，即 ，
由两角和差的正弦公式可知 ，C选项正确
由两角和的正切公式可得， ，
设 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，于是 ，B选项正确，由勾股定理可知， ，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 若直线 是曲线 的切线，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利
用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点 与 的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于 ，其导数为 ，
因为直线 是曲线的切线，直线的斜率为2，
令 ，即 ，解得 ，
将 代入切线方程 ，可得 ，
所以切点坐标为 ，
因为切点 在曲线 上，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
法二：对于 ，其导数为 ，
假设 与 的切点为 ，则 ，解得 .
故答案为： .
13. 若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前 项和的定
义，得到关于 的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前 项和性质得到关于 的方程，解之即
可得解.
【详解】法一：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
当 时， ，即 ，则 ，显然不成立，舍去；
当 时，则 ，
两式相除得 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以该等比数列公比为 .
故答案为： .
法二：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
所以 ，，
所以 ，则 ，解得 ，
所以该等比数列公比为 .
故答案为： .
法三：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以该等比数列公比为 .
故答案为： .
14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则
数学期望 _________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】法一：根据题意得到 的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得 的分布
列，从而求得 ；法二，根据题意假设随机变量 ，利用对立事件与独立事件的概率公式求得 ，
进而利用数学期望的性质求得 .
【详解】法一：依题意， 的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为 ，
其中 ：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故 ，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件 的可能情况有 种，
故 ，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件 的可能情有况 种，
故 ，
所以
.
故答案为： .
法二：依题意，假设随机变量 ，其中 ：
其中 ，则 ，
由于球的对称性，易知所有 相等，
则由期望的线性性质，得 ，
由题意可知，球 在单次抽取中未被取出的概率为 ，由于抽取独立，三次均未取出球 概率为 ，
的
因此球 至少被取出一次的概率为： ，
故 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列
联表：
超声波检查结果
正常 不正常 合计
组别
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附 ，
0.005 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828【答案】（1）
（2）有关
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出 ,然后与小概率值 对应的临界值 比较,即可判
断.
【小问1详解】
根据表格可知，检查结果不正常的 人中有 人患病，所以 的估计值为 ；
【小问2详解】
零假设为 ：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得， ，
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，
该推断犯错误的概率不超过 .
16. 设数列 满足 ，
（1）证明： 为等差数列；
（2）设 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】【分析】（1）根据题目所给条件 化简，即可证明结论；
（2）先求出 的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以 ，作差并利用等比数列前 项和得出
导函数表达式，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意证明如下， ，
在数列 中， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是以 为首项，1为公差的等差数列.
【小问2详解】
由题意及（1）得， ，
在数列 中，首项为3，公差为1，
∴ ，即 ，
在 中，
，
∴ ，
当 且 时，
∴ ，∴
∴
.
17. 如图所示的四棱锥 中， 平面 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2） ， ， ， ， 在同一个球面上，设该球面的球心为 ．
（i）证明： 在平面 上；
（ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；
（ii） .
【解析】【分析】（1）通过证明 ， ，得出 平面 ，即可证明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设 在同一球面 上，在平面
中，得出点 坐标，进而得出点 在空间中的坐标，计算出 ，即可证明结
论；
法二：作出 的边 和 的垂直平分线，找到三角形的外心 ，求出 ，求出出外心 到 ，
， ， 的距离相等，得出外心 即为 ， ， ， 所在球的球心，即可证明结论；
（ii）法一：写出直线 和 的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出 的长，过点 作 的平行线，交 的延长线为 ，连接 ， ，利用勾股定理
求出 的长，进而得出 的长，在 中由余弦定理求出 ，即可求出直线 与直
线 所成角的余弦值.
【小问1详解】
由题意证明如下，
在四棱锥 中， ⊥平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
∴ ， ，
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
【小问2详解】
（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥 中， ， ， ， ∥ ，
， ，建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ ，
若 ， ， ， 在同一个球面上，
则 ，
在平面 中，
∴ ，
∴线段 中点坐标 ，
直线 的斜率： ，直线 的垂直平分线 斜率： ，
∴直线 的方程： ，
即 ，
当 时， ，解得： ，
∴
在立体几何中， ，
∵
解得： ，
∴点 在平面 上.
法二：
∵ ， ， ， 在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在 中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出 和 的垂直平分线，如下图所示，由几何知识得，
， ，
，
∴ ，
∴点 是 的外心，
在Rt 中， ， ，
由勾股定理得，
∴ ，
∴点 即为点 ， ， ， 所在球的球心 ，
此时点 在线段 上， 平面 ，∴点 在平面 上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线 与直线 所成角为 ，
∴ .
法2：
由几何知识得， ，
， ∥ ，
∴ ，
在Rt 中， ， ，由勾股定理得，
，
过点 作 的平行线，交 的延长线为 ，连接 ， ，则 ，直线 与直线 所成角即为 中 或其补角.
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ ，
在Rt 中， ， ，由勾股定理得，
，
在Rt 中， ，由勾股定理得，
，
在 中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线 与直线 所成角的余弦值为： .
18. 设椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B， ．
（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 ．
（i）设 ，求点 的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点， 是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线 的斜率的3倍，求 的最大
值．
【答案】（1）
（2）(ⅰ) (ⅱ)
【解析】
【分析】（1）根据题意列出 的关系式,解方程求出 ,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设 ,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点 的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直
接运算即可解出.
【小问1详解】
由题可知, ，所以 ，解得 ，
故椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
(ⅰ)设 ，易知 ，
法一：所以 ，故 ，且 ．
因为 ， ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以点 的坐标为 .
法二：设 ，则 ，所以
， ，故
点 的坐标为 .
(ⅱ)因为 , ,由 ,可得
,化简得 ,即 ,
所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上（除去两个点）,
为 到圆心 的距离加上半径,
法一：设 ,所以,当且仅当 时取等号,
所以 .
法二：设 ，则 ，
，当且仅当 时取等号,
故 .
19. 设函数 ．
（1）求 在 的最大值；
（2）给定 ，设a为实数，证明：存在 ，使得 ；
（3）若存在 使得对任意x，都有 ，求b的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者
利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑 时 的范围，对于 时，可利用（2）中的结论结合特值法求得 ，从而可得 的最小值；或者先根据函数解析特征得 ，再结合特值法可得 ，结合（1）的结果可
得 的最小值.
【小问1详解】
法1： ，
因为 ，故 ，故 ，
当 时， 即 ，
当 时， 即 ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
故 在 上的最大值为 .
法2：我们有
.
所以：.
这得到 ，同时又有 ，
故 在 上的最大值为 ，在 上的最大值也是 .
【小问2详解】
法1：由余弦函数的性质得 的解为 ， ，
若任意 与 交集 为空，
则 且 ，此时 无解，
矛盾，故无解；故存在 ，使得 ，
法2：由余弦函数的性质知 的解为 ，
若每个 与 交集都为空，
则对每个 ，必有 或 之一成立.
此即 或 ，但长度为 的闭区间 上必有一整数 ，该整数 不满足条件，矛
盾.
故存在 ，使得 成立.
【小问3详解】法1：记 ，
因为 ，
故 为周期函数且周期为 ,故只需讨论 的情况.
当 时， ，
当 时， ，
此时 ，
令 ，则 ，
而 ，
，故 ，
当 ，在（2）中取 ，则存在 ，使得 ，
取 ，则 ，取 即 ，
故 ，故 ，
综上 ，可取 ， 使得等号成立.
综上， .
法2：设 .
①一方面，若存在 ，使得 对任意 恒成立，则对这样的 ，同样有.
所以 对任意 恒成立，这直接得到 .
设 ，则根据 恒成立，有
所以 均不超过 ，
再结合 ，
就得到 均不超过 .
假设 ，则 ，
故 .
但这是不可能的，因为三个角 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都
在直线 左侧.
所以假设不成立，这意味着 .
②另一方面，若 ，则由（1）中已经证明 ，
知存在 ，使得.
从而 满足题目要求.
综合上述两个方面，可知 的最小值是 .2025 年全国统一高考数学试卷
（新高考Ⅱ卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由平均数的计算公式即可求解.
【详解】样本数据 的平均数为 .
故选：C.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
3. 已知集合 则 （ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 后结合交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D.
4. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】 即为 即 ，故 ，
故解集为 ，
故选：C.
5. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理 直接计算求解即可.【详解】由题意得 ，
又 ，所以 .
故选：A
6. 设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作 的准线的垂线，垂足为B，若直线BF
的方程为 ，则 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先由直线 求出焦点 和 即抛物线 的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可
依次求出 和 ，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对 ，令 ，则 ，
所以 ， 即抛物线 ，故抛物线的准线方程为 ，
故 ，则 ，代入抛物线 得 .
所以 .
故选：C
7. 记 为等差数列 的前n项和，若 则 （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项 和公差d的方程求出首项 和公差d，再由等
差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列 的公差为d，则由题可得 ，
所以 .
故选：B.
8. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角余弦公式得 ，则 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】 ，
因为 ，则 ，则 ，
则 .
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 记 为等比数列 的前n项和， 为 的公比， 若 ，则（ ）.
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前 项和公式得到方程组，解出 ，再利用其通项公式和前
项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得 ，结合 ，解得 或 （舍去），故A正确；
对B，则 ，故B错误；
对C， ，故C错误；
对D， ， ，
则 ，故D正确；
故选：AD.
10. 已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A. B. 当 时，
C. 当且仅当 D. 是 的极大值点
【答案】ABD
【解析】【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对 B，利用 代入求解即可；对C，举反例
即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为 定义在 上奇函数，则 ，故A正确；
对B，当 时， ，则 ，故B正确；
对C， ， 故C错误；
对D，当 时， ，则 ，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
则 是 极大值点，故D正确；
故选：ABD.
11. 双曲线 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别为 ，以
为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且 ，则（ ）
.
A B.
C. C的离心率为 D. 当 时，四边形 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平行四边形的性质判断A；由 且 结合 在渐近线上可求 的坐标，从而可判断 B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合 B 的结果可得
，计算后可判断C的正误，或者利用 并结合离心率变形公式即可判断；结合
BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为 ， 在第一象限， 在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得 为平行四边形，故 ，
故A正确；
对于B，方法一：因为 在以 为直径的圆上，故 且 ，
设 ，则 ，故 ，故 ，
由A得 ，故 即 ，故B错误；
方法二：因为 ，因为双曲线中， ，则 ，又因为以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 、 ，则 ，
则若过点 往 轴作垂线，垂足为 ，则 ，则点 与 重合，则
轴，则 ，
方法三：在 利用余弦定理知， ，
即 ，则 ，
则 为直角三角形，且 ，则 ，故B错误；
对于C，方法一：因为 ，故 ，
由B可知 ，故 即 ，
故离心率 ，故C正确；
方法二：因为 ，则 ，则 ，故C正确；
对于D，当 时，由C可知 ，故 ，
故 ，故四边形 为 ，
故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量 若 ，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】根据向量坐标化运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ，因为 ，则 ，
则 ，解得 .
则 ，则 .
故答案为： .
13. 若 是函数 的极值点，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 即可求解 ，再代入即可求解.【详解】由题意有 ，
所以 ，
因为 是函数 极值点，所以 ，得 ，
当 时， ，
当x∈ ( −∞, 4) ,f′(x)>0,f (x)单调递增，当 单调递减，
3
当 单调递增，
所以 是函数 的极小值点，符合题意；
所以 .
故答案为： .
14. 一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，
则铁球半径的最大值为____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
【详解】
圆柱的底面半径为 ，设铁球的半径为r，且 ，
由圆柱与球的性质知 ，即 ， ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）求 ;
（2）设函数 ，求 的值域和单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接由题意得 ，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得 ，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数 的
单调区间.
【小问1详解】
由题意 ，所以 ；
【小问2详解】
由（1）可知 ，所以
，
所以函数 的值域为 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
16. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点 的直线l与C交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数 表示面积后可求 的值，从而可求弦长.
【小问1详解】
因为长轴长为4，故 ，而离心率为 ，故 ，故 ，故椭圆方程为： .
【小问2详解】
由题设直线 的斜率不为0，故设直线 ， ，
由 可得 ，
故Δ=16t4−4(t2+2)(4t2−4)=4(8−4t2)>0即 ，
且 ，
故 ，
解得 ，
故 .
17. 如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点E在AB上， ，
，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面 与面EFCB所成
的二面角为 ．（1）证明: 平面 ；
（2）求面 与面 所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出 平面 及 平面 ，
再应用面面平行判定定理得出平面 平面 ，进而得出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点 的坐标表示出来，然后将平面 及平面
的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其
正弦值.
【
小问1详解】
设 ，所以 ，因为 为 中点，所以 ，因为 ， ，所以
是平行四边形， 所以 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
以 为原点， 以及垂直于平面 的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系.
因为 ，平面 与平面 所成二面角为60° ，
所以 .
则 ， ， ， ， ，.
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
，所以 ，令 ，则 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 .所以 .
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
18. 已知函数 ，其中 ．
（1）证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 ·证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii） ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先由题意求得 ，接着构造函数 ，利用导数
工具研究函数 的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数 在区间
上存在唯一极值点；再结合 和 时 的正负情况即可得证 在区间 上存在
唯一零点；
（2）（i）由（1） 和 结合（1）中所得导函数 计算得到
，再结合 得即可得证；
（ii）由函数 在区间 上单调递减得到 ，再结合 ，
和函数 的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【小问1详解】
由题得 ，
因为 ，所以 ，设 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
，令 ，
所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上存在唯一极值点，
对函数 有 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
又因为 ， 时 ，
所以 时 ，
所以存在唯一 使得 ，即 在 上存在唯一零点.【小问2详解】
（i）由（1）知 ，则 ， ，
则
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 所以函数 在区间 上单调递减；
（ii） ，证明如下：
由（i）知：函数 在区间 上单调递减，
所以 即 ，又 ，
由（1）可知 在 上单调递减， ，且对任意 ，
所以 .
19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为 ，
乙胜的概率为q， ，且各球的胜负相互独立，对正整数 ，记 为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率， 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
（1）求 （用p表示）．
（2）若 ，求p．
（3）证明：对任意正整数m， ．
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；
（2）由题意 ，联立 ， 即可求解；
（3）首先 ， ，同理有 ，
，作差有 ，另一方面
，且同理有 ，
作差能得到 ，由此即可得证.
【小问1详解】
为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为 ，
为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，故所求为 ；
【小问2详解】
由（1）得 ， ，同理 ，
若 ， ，
则 ，
由于 ，所以 ，解得 ；
【小问3详解】
我们有
.
以及
.
至此我们得到 ， ，同理有 ，.
故 ，即
.
另一方面，由于
且同理有 .
故结合 ，
就能得到 ，即 ，证毕.2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知全集 ，集合 ，则 _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知 .
故答案为： .
2. 不等式 的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为一元二次不等式 ，解出即可.
【详解】原不等式转化为 ，解得 ，
则其解集为 .
故答案为： .
3. 己知等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前6项和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.【详解】根据等差数列的求和公式， .
故答案为：
4. 在二项式 的展开式中， 的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式 ，
令 ，得 ，
可得 项的系数为 .
故答案为： .
5. 函数 在 上的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，
故函数 在 上的值域为 .
故答案为： .
6. 已知随机变量X的分布为 ，则期望 _________．【答案】
【解析】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有 .
故答案为： .
7. 如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为 且四边形 为正方形，故 ，
而 ，故 ，故 ，
故所求体积为 ，
故答案为： .
8. 设 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】灵活利用“1”将 展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值.
故答案为：4
9. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有_________种．
【答案】288
【解析】
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有 种排法；再排对中的四人有 种排法，
故有 种排法.
故答案为：288
10. 已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先设 ，利用复数的乘方运算及概念确定 ，再根据复数的几何意义数形结合计算
即可.
【详解】设 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ，由复数的几何意义知 在复平面内对应的点 在单位圆内部（含边界）的坐
标轴上运动，如图所示即线段 上运动，
设 ，则 ，由图象可知 ，
所以 .故答案为：
11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：
其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜
面的底角 _________．（结果用角度制表示，精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】先根据在 处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合 处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在 处， ，在 处满足 ，
（其中 水平面， 是射过 处杆子最高点的光线，光线交斜面于 ），
故设 ，则 ，
由勾股定理， ，解得 ，于是
故答案为：
12. 已 知 ， 是 平 面 内 三 个 不 同 的 单 位 向 量 ． 若
，则 可的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设
出 坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若 ，则 ，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量 两两垂直，显然不成立；
故 .
不妨设 ，则 ，
不妨设 ， ，则 ，则 ，
则
，
由 ， ，
则 ，
故 .
故答案为： .
二、选择题（本大题共 4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13. 己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 ，事件B发生的概率为 ，则事件
发生的概率 为（ ）
.
A B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式可求 .
【详解】因为 相互独立，故 ，
故选：B.
14. 设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ）A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质分类讨论 与1的关系即可判定选项.
【详解】∵ ，∴ ，
当 时， 定义域上严格单调递减，
此时若 ，则一定有 成立，故D正确，C错误；
当 时， 定义域上严格单调递增，要满足 ，需 ，即A、B错误.
故选：D
15. 已知 ，C在 上，则 的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】设出曲线上一点为 ，得出 ，将三角形的高转化成关于 的函数,分析其单调性，
从而求解.
【详解】设曲线上一点为 ，则 ，则 ，
， 方程为： ，即 ，
根据点到直线的距离公式， 到 的距离为： ，
设 ，由于 ，显然 关于 单调递减， ，无最小值，
即 中， 边上的高有最大值，无最小值，
又 一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
16. 已知数列 、 、 的通项公式分别为 ， 、， .若对任
意的 ， 、 、 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】由 可知 范围，再由三角形三边关系可得 的不等关系，结合函数零
点解不等式可得.
【详解】由题意 ，不妨设 ，
三点均在第一象限内，由 可知， ，
故点 恒在线段 上，则有 .
即对任意的 ， 恒成立，
令 ，构造函数 ，
则 ，由 单调递增，
又 ，存在 ，使 ，
即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 至多 个零点，又由 ，
可知 存 在个零点，不妨设 ，且 .
若 ，即 时，此时 或 .
①
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 ；
若 ，即 时，此时 .
②
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 或 ；
综上可知，正整数 的个数有 个.
故选：B.
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下
列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 2024年东京奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 米混
合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
.
206.78 207.46 207 95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军
队的成绩（精确到0.01秒）．
【答案】（1） ； ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数 ，再由 在回归直线上，代入方程可得 ，再代入年份预测可得.
【小问1详解】
由题意，数据的最大值为 ，最小值为 ，
则极差为 ；
数据中间两数为 与 ，
则中位数为 .
故极差为 ，中位数为 ；
【小问2详解】
由题意，数据共 个， 以上数据共有 个，
故设事件 “恰有 个数据在 以上”，
则 ，
故恰有 个数据在 以上的概率为 ；【小问3详解】
由题意，成绩的平均数
，
由直线 过 ，
则 ，
故回归直线方程为 .
当 时, .
故预测 年冠军队的成绩为 秒.
18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 ．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ， ．设点M在线段
OC上，证明：直线 平面PBD．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.（2）证明平面 平面 ，然后根据面面平行的性质可得.
【小问1详解】
由题知， ，即轴截面 是等边三角形，故 ，
底面周长为 ，则侧面积为： ;
【小问2详解】
由题知 ，则根据中位线性质， ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面
由于 ，底面圆半径是 ，则 ，又 ，则 ，
又 ，则 为等边三角形，则 ，
于是 且 ，则四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
又 平面 ，
根据面面平行的判定，于是平面 平面 ，
又 ，则 平面 ，则 平面
19. 已知 ．（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】（1）
（2） 且 .
【解析】
【分析】（1）先求出 ，从而原不等式即为 ，构建新函数 ，由该函数为
增函数可求不等式的解；
（2）求出函数 的导数，就 分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1详解】
因为 ，故 ，故 ，故 ，
故 即为 ，
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
而 即为 ，故 ，
故原不等式的解为 .
【小问2详解】
在 有极大值即为有极大值点.
，
若 ，则 时， ， 时， ，
故 为 的极小值点，无极大值点，故舍；若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
若 ，则 时， ， 无极值点，舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
综上， 且 .
20. 已知椭圆 ， ，A是 的右顶点．
（1）若 的焦点 ，求离心率e；
（2）若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 交于C、D两点， 为钝角，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由方程可得 ，再由焦点坐标得 ，从而求出 得离心率；（2）设点 坐标，由向量关系 坐标化可解得 坐标，代入椭圆方程可得 ；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线 方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不
等式 ，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得 范围.
【小问1详解】
由题意知， ，则 ，
由右焦点 ，可知 ，则 ，
故离心率 .
【小问2详解】
由题意 ，
由 得， ，
解得 ，代入 ，
得 ，又 ，解得 .
【小问3详解】
由线段 中垂线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
的则 ，解得 ，
由 得 中点坐标为 ，
故直线 ，显然直线 过椭圆内点 ，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设 ，
由 消 得 ，
由韦达定理得 ，
因为 为钝角，则 ，且 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，
故 ，即 的取值范围是 .21. 已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合 ．
（1）若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
（2）若 ，求a的取值范围；
（3）若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出
， 解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【答案】（1）不是； （2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（ 2 ） 法 一 ： 转 化 为 在 实 数 使 得 ， 分 析 得 ， 再 计 算 得
，最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数
有两个交点，将 用 表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范
围进行分类讨论即可.
【小问1详解】（1） ， ，则 不是 中的元素.
【小问2详解】
法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
【小问3详解】
（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1
卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件 互斥，那么
·如果事件 相互独立，那么
·棱柱的体积公式 ，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.【详解】由 ，则 ，
集合 ，
故
故选：D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由 ，则“ ”是“ ”的充分条件；
又当 时， ，可知 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件，
综上可知，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由 时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，故排除选项AB；
又当 时 ，此时 ，
由图可知当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D
4. 若m为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.
【详解】对于A，若 ，则 可平行或异面，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B错误；
对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，
现 ，故 ，故C正确；
对于D， ，则 与 可平行或相交或 ，故D错误；
故选：C.
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 越接近1，相关性越强D. 越接近0，相关性越弱
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.
【详解】对于A，根据正态分布对称性可知， ，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知， ，B说法错误；
对于C和D，相关系数 越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B
6. ，则数列 的前 项和为（ ）
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】先由题设结合 求出数列 的通项公式，再结合数列 各项正负情况即可求解.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
经检验， 满足上式，
所以 ，令 ， ，
设数列 的前n项和为 ，
则数列 的前 项和为
数列 的前 项和为.
故选：C
7. 函数 的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知： 在 上单调递减， 在 单调递增，
所以 在定义域上单调递减，
显然 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点位于 .
故选：B
8. ，在 上单调递增，且 为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数的对称性得出 ，根据单调性得出 ，从而确定 ，结合对称轴
与对称中心再求出 ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.【详解】设 最小正周期为 ，根据题意有 ， ，
的
由正弦函数的对称性可知 ，
即 ，
又 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ，∴ 时， ，∴ ，
当 时， ，
由正弦函数的单调性可知 .
故选：A
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点的抛物线
与双曲线交于另一象限点为P，若 ，则双曲线的离心率 （ ）
A. 2 B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定P的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设 ，双曲线的半焦距为 ， ，则 ，
过 作 轴的垂线l，过 作l的垂线，垂足为A，显然直线 为抛物线的准线，
则 ，
由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ，
由勾股定理可知 ，
易知 ，即 ，
整理得 ，∴ ，即离心率为2.
故选：
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10. 已知i是虚数单位，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得 ，所以 .
故答案为：
11. 在 的展开式中， 项的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，
即 展开式中 的系数为 .
故答案为：
12. ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与 交于 C、D 两点，
，则 _________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据两点间距离公式得出 ，再计算出圆心到直线的距离 ，根据弦长公式
列等式求解即可.【详解】因为直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，所以
，所以 ，
圆 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ；
故答案为：2.
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则
第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈
的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记
合格周数为X，则期望 _______
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件 ，设第二次跑5圈为事件 ，
则 ；
若至少跑11圈为运动量达标为事件 ， ，
所以 ， ；故答案为： ；
14. 中，D为AB边中点， ，则 ______（用 ， 表示），若
， ，则 _______
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为D为线段 的中点，所以 ；
又因为 ，所以 ，
，所以
所以 ，
所以．
故答案为： ； .
15. 若 ，对 ，均有 恒成立，则 的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】先设 ，根据不等式的形式，为了消 可以取 ，得到 ，验证 时，
是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设 ，原题转化为求 的最小值，
原不等式可化为对任意的 ， ，
不妨代入 ，得 ，得 ，
当 时，原不等式可化为 ，
即 ，
观察可知，当 时， 对 一定成立，当且仅当 取等号，
此时， ，说明 时， 均可取到，满足题意，
故 的最小值为 .
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
（1）求A的值；（2）求c的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于 的方程，求解可得 ，进而求得 ；
（3）利用正弦定理先求 ，再由二倍角公式分别求 ，由两角和的正弦可得.
【小问1详解】
已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，
故 ；
【小问2详解】
由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，
解得 （ 舍去），故 ；
【小问3详解】
由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
17. 正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）【解析】
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明 ，再结合正方体的性质得出 平面 ，
利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.
【小问1详解】
法一、在正方形 中，
由条件易知 ，所以 ，
则 ，
故 ，即 ，
在正方体中，易知 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，所以 ，易知 ，则 也是平面 的一个法向量，∴ 平面 ；
【小问2详解】
同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ；
【小问3详解】
由（1）知 平面 ， 平面 ，∴ ，
易知 ，
又 ，则D到平面 的距离为 ，
由棱锥的体积公式知： .18. 已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为
， 的面积为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到 ，再由直线 的斜率得到 ，从而利用三
角形的面积公式得到关于 的方程，解之即可得解；
（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得 ，进而得到直线 的方程与点 的坐标，法一：利用
向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；
法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.
【小问1详解】
依题意，设椭圆 的半焦距为 ，
则左焦点 ，右顶点 ，离心率 ，即 ，因为 为 上一点，设 ，
又直线 的斜率为 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
因为 的面积为 ， ，高为 ，
所以 ，解得 ，
则 ， ，
所以椭圆的方程为 .
.
【小问2详解】
由（1）可知 ， ， ，
易知直线 的斜率存在，设其方程为 ，则 ，即 ，
联立 ，消去 得， ，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以 ，
即 ，则 ，解得 ，则 ，所以直线 方程为 ，
的
联立 ，解得 ，则 ，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则 ，
所以 ，
，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .
法二：所以 ， ， ，
由两直线夹角公式，得 ， ，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .
法三：则 ， ，故 ，
又 ，
所以 ，即 平分 .
法四：则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，
又点 到直线 的距离也为 ，
所以 平分 .
19. 已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2） ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;
（ii）求 所有元素之和．
【答案】（1） ；
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】【分析】（1）设数列 的公差为d，数列 公比为 ，由题设列出关于d和 的方程
求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出 和 的最大值，再作差比
较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据 中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将
中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据 元素的特征得到 中的所有元素的和中各项 出现的次数均为 次即可
求解.
【小问1详解】
设数列 的公差为d，数列 公比为 ，
则由题得 ，
所以 ；
【小问2详解】
（i）证明：由（1） 或 ， ，
当 时，
设 ，
所以 ，
所以
，所以 ，为 中的最大元素，
此时 恒成立，
所以对 ，均有 .
（ii）法一：由（i）得 ，为 中的最大元素，
由题意可得 中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当 均为1时：此时该系列元素只有 即 个；
当 中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 中有 个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为
共有 个，
则这 个元素的和为 ；
…
当 中有 个为0，1个为1时：此时该系列的元素为 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 均为0时：此时该系列的元素为 即 个，综上所述， 中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得 ，为 中的最大元素，
由题意可得
，
所以 的所有的元素的和中各项 出现的次数均为
次，
所以 中的所有元素之和为 .
20. 已知函数
（1） 时，求 在点 处的切线方程；
（2） 有3个零点， 且 .
（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得；（2）（i）令 ，分离参数得 ，作出函数 图象，数形结合可得 范围；
（ii）由（2）结合图象，可得 范围，整体换元 ，转化为 ，
结合由 可得 ，两式作差，利用对数平均不等式可得 ，再由 得
，结合 减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式.
【小问1详解】
当 时， ， ，
则 ，则 ，且 ，
则切点 ，且切线的斜率为 ，
故函数 在点 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
（i）令 ， ，
得 ，
设 ，
则 ，由 解得 或 ，其中 ， ；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
且当 时， ； 当 时， ；
如图作出函数 的图象，
要使函数 有3个零点，
则方程 在 内有 个根，即直线 与函数 的图象有 个交点.
结合图象可知， .
故 的取值范围为 ；
（ii）由图象可知， ，
设 ，则 ，
满足 ，由 可得 ，
两式作差可得 ，则由对数均值不等式可得 ，
则 ，故要证 ，
即证 ，只需证 ，
即证 ，又因为 ，则 ，
所以 ，故只需证 ，
设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
故 ，即 .
而由 ，
可知 成立，故命题得证.
