襄阳四中 2025 级高一年级下学期期中学情质量检测
数 学 试 题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 若复数 满足
，则 在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的运算可得
，即可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
所以 在复平面内对应的点位于第一象限.
2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（
）
A. 四棱台
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体结构特征直接判断即可.
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为
，如图所示，
由三棱锥性质可知，
和
是全等的梯形，
又平面
平面
，
平面
分别与平面
和
相交于
，
所以
，同理
，
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又
，所以
互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C
3. 设
是非零向量，“
”是“
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过向量的平方等于向量模长的平方，及数量积的定义求解.
【详解】将
平方后，得
，
则
，
，
，推出
；
若
，则
或 ，此时
或
，
不能推出
，故
是
的充分不必要条件.
4. 在
中，角
、 、
的对边分别为 、 、 ，
的面积记为 ，若
且
，则
的形状为（
）
A. 直角三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形
D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【详解】在
中，
，
又
可得
，从而
；
利用余弦定理和面积公式可将
化为
，
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所以
，从而
，故
是等边三角形.
5. 已知复数 满足
，且
，则
（
）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】复数
，根据题意求得
，再计算
即可得答案.
【详解】设复数
，则
，因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
.
6. 已知向量
满足
，则
（
）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，求得
，再对
两边同时平方求出
，
【详解】由
得
=
，由
，得
又
所以
故选：D
7. 在
中，角
， ，
，所对的边分别为 ， ， ，
，
点为
上一点且
，
，则
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设
，则
，由正弦定理表示出
的表达式，则可得
的表达式，结合三角
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函数的恒等变换化简，可得
，利用正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】在
中，设
，由于
，则
，
，
因为
，故
,
在
中，由正弦定理得
,
即
；
在
中，由正弦定理得
,
即
；
故
，
因为
，所以
，则
，
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故当
，即
时，
取到最小值
，
即
的最小值为
，
故选：B.
8. 17 世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在
中， 若三个内角均小于
， 则
当点 满足
时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称
为费马点.根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且
，
，则
的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点
到
，
，
三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解.
【详解】
，
， 和 是平面内两个互相垂直的向量，
不妨设
，
，
，
则
，表示点
到点
的距离，
，表示点
到点
的距离，
，表示点
到点
的距离，
表示点
到
，
，
三点的距离之和，
由费马点的性质可知，当
时，点
到三角形三个顶点的距离之和
最小，
点
，
关于 轴对称，
点 在 轴上，如图，
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在
中，
，又
，
，解得
，故点 的坐标为
，
，
，
，
此时，
，
的最小值是
.
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知向量
，
，
，则下列说法正确的有（
）
A.
B. 若
，则
C. 若
，则
D.
在 上的投影向量坐标为
【答案】BCD
【解析】
【详解】解：选项
，由向量的模长公式
，所以
错误；
选项 ，由
，
可得
，因为
，则由向量共
线的坐标公式
，
可得
，所以
，因此 正确；
选项
，由
，
，当
时，由向量垂直的坐标公式
，
可得
，所以
，因此
正确；
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选项
，由投影向量坐标公式可得 在 上的投影向量为
，又
，
，
代入得投影向量
，所以
正确.
10. 对于
，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A. 若
，则符合条件的
有两个
B. 若点
为
的重心，则
C. 若点 为
所在平面内的动点，且
，
，则点 的轨
迹经过
的垂心
D. 已知 是
内一点，若
分别表示
的面积，
则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，根据正弦定理求得
，再结合
即可判定；对于 B，根据重心为中线交点
判断即可；对于 C，根据
判断；对于 D，设
的中点分别为
，进而得
，
再结合面积公式判断.
【详解】对于 A，由正弦定理可知
，即
，解得
，
又
，所以
，故 A 只有一解，所以三角形一解，故 A 错误；
对于 B，因为点
为
的重心，设
中点为
，则
，故 B 正确；
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对于 C，因为
，
所以
，
所以
，所以点 的轨迹经过
的垂心，故 C 正确；
对于 D，因为
，所以
，
设
的中点分别为
，如图，则
，即
，
所以
，故 D 正确．
11. 在△ABC 中，角
的对边分别为
，且
则下列说法正确的是（
）
A.
为钝角三角形
B.
C. 若
为边
的中点，则|AM|的取值范围为
D.
【答案】ACD
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【解析】
【分析】选项 A：根据余弦定理代入求解即可.选项 B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项 C：
根据中线长公式以及三边关系求解.选项 D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可.
【详解】对于 A，因
，
，由余弦定理得
，
整理得
，即角
为钝角，所以
是钝角三角形，A 正确；
对于 B，
.
而
，
，B 错误；
对于 C，由中线长公式，
，则
.
在△ABC 中，有
，且
，则得
，解得
，
进而
，即得
，故
，C 正确；
对于 D：由正弦定理，
，
，
则
等价于
,即
，即
,也即
(*)，
因
，则
，
故
，当且仅当
时取
等.
即(*)成立 ,故不等式
恒成立，D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图，在棱长为 的正方体
中，点
为线段
上的动点，则线段
的
最小值为_______．
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【答案】
【解析】
【详解】根据正方体结构，将面
以
为轴旋转展开，与面
在同一个平面内，
易知：要使
最小，即为上述所得平面内
．
13. 如图所示，为测量河对岸的塔高
，选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点
与
，现测
得
，
，
，
，则塔高
________．
【答案】
【解析】
【详解】已知
，
，
，则
，
由正弦定理得
，则
，
，
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已知
，
，
，故
．
14. 已知非零向量 ， ， 满足：
，且不等式
恒成立，则实数
的最大值为__________.
【答案】4.
【解析】
【分析】法一：采用数形结合，可判断
的终点是在以 AB 为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问
题即可得到答案.
法二：（特殊值法）可先设
，
，
，利用
找出 的轨迹，从而
将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.
【详解】法一：作出相关图形，设
,
，由于
，所以
，且这两个向量共起点，所以
的终点是在以 AB 为直径的圆上，可设
，所以由图可知
，
，所
，等价于
,
,所以
，答案为 4.
法二：（特殊值法）
不妨设
，
，
，则
，
，
，由于
可得
整理得
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，可得圆的参数方程为：
，则
相当于
恒成立，即求得
，即求
的最大值即可，
，所以
，因此
.故答案为
4.
【点睛】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化
能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.
四、解答题：本题共 5 小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数
，
， 是虚数单位．
（1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值：
（2）当
时，复数 是关于 x 的方程
的一个根，求实数 p，q 的值．
【答案】（1）1
（2）
【解析】
【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为 0，且虚部不为 0，据此列出方程组即可求出 m 的值；
（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出 p，q 的值.
【小问 1 详解】
因为复数
是纯虚数，所以
.
由
，解得
或
.
当
时，
，符合要求；
当
时，
，不符合要求，舍去，
所以 m 的值为 1；
【小问 2 详解】
当
时，复数
，
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由题意知复数
是关于 x 的方程
的一个根.
因为方程
的系数
为实数，
所以方程的另外一个根是 的共轭复数
.
所以由韦达定理可得
，
解得
.
16. 在
中，角
、 、
所对的边长分别为 、 、 ，
，
.．
（1）若
，求
的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得
为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，且
.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得出
，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出
，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角
为钝角，由
结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为
，则
，则
，故
，
，
，所以，
为锐角，则
，
因此，
；
（2）显然
，若
为钝角三角形，则
为钝角，
由余弦定理可得
，
解得
，则
，
由三角形三边关系可得
，可得
，
，故
.
17. 在菱形
中，
，
，
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）求
的值；
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（3）若 在线段
上的动点，问
是否为定值?若是，求该定值；若不是，求
的取值范围
.
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
不是定值，取值范围为
.
【解析】
【分析】（1）以
，
为基底，利用向量线性运算表示
，对比即可得出 与 的值；
（2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求
的值；
（3）以
为原点，
所在直线为 轴建立平面直角坐标系，根据 在线段
上，可得
，
，结合坐标计算即可得出
范围.
【小问 1 详解】
因为
，
，所以
,
又因为
，所以
，
，所以
；
【小问 2 详解】
因为
，所以
，
在菱形
中，
，所以
，所以
【小问 3 详解】
以
为原点，
所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
由菱形边长为 ，
，得
，
，
，
，
因为
，易得
，由
可得
，
在线段
上，则
，
.
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，
，所以
，又
，
所以
，又因为
，所以
.
故不是定值，取值范围为
.
18. 如图所示，在△ABC 中，
，AD 是∠BAC 的平分线，且
.
（1）求 k 的取值范围；
（2）若
，求 k 为何值时，BC 最短.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC 和△ACD 中分别建立等式,通过整理便可得到 k 关于角的关系式；
（方法二）AD 将△ABC 一分为二,即以 AD 为界将△ABC 分成两个三角形,通过面积相等建立等式；
（方法三）利用余弦定理在△ABC 和△ACD 中分别建立等式,通过整理便可得到 k 关于角的关系式；
（2）在
,由余弦定理可得
,根据
三角形面积公式可得
,则
,记
,则
,可整理为
,进而求得满足最值的条件即可
【详解】（1）方法一：由 AD 是∠BAC 的平分线,可得
,则
,
在△ABC 中,由正弦定理得
①,
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在△ACD 中,由正弦定理得
②,
由①②得
,
又
,
,
所以
,则
,
因为
,所以
方法二：由
,
得
,
又
,
,整理得
,
因为
,所以
方法三：在△ADC 中,
,
在△ABD 中,
,
又
,则
,
解得
,
因为
,所以
（2）由余弦定理得
,
因为
,所以
,即
,
故
,
记
,则
,
第 16 页/共 19 页
（其中
）,
故当
时,y 取得最小值 3,此时
,
又由（1）知
,
而
,
则
,故
,
即当
时,BC 最短
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查角平分线定理的应用,考查三角形中的最值问题
19. 若
内一点 满足
，则称点 为
的布洛卡点， 为
的
布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点 为
的布洛卡点， 为
的
布洛卡角．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
为锐角三角形，
①若
，求
的值；
②若
，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）①
；②
【解析】
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【分析】（1）在
中，由内角和得
，结合正弦定理得
，整
理得
，代入数值计算得结果；
（2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于
，代入
得结果；②可证
，由
，将
转化为关于
的函数，结合锐角三角形得到
的范围，换元用对勾函数求得
的值域，再取倒数得到
的范围.
【小问 1 详解】
在
中，
，
由正弦定理可得
，所以
.
【小问 2 详解】
①由（1）
，同理可得
，
又在
中，
，可得
，
同理可得
，
所以
；
②由前可知
，且
，所以
，
下面将
简记作
，则
，
由正弦定理可得
，即
，
所以
，
整理可得
第 18 页/共 19 页
，记
，则
已知
，故
，又
为锐角三角形，因此
，
，且
，因此：
，
令
，由
得
，化简得：
，
整理得：
换元
，
，化简得：
，
由对勾函数性质，
在
的最小值为
（
时取得），端点值趋近
，
因此：
，所以
.
第 19 页/共 19 页
