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荆州中学2025～2026 学年高一下学期5 月月考
数学试题
（全卷满分150 分考试用时120 分钟）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1.已知2i-3 是关于x 的方程
的一个根，其中p、q 为实数，则
（ ）
A.4
B.13
C.12
D.5
2.一圆台的上下底面的半径分别为1 和2，高为
，则其侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.下列说法正确的是（ ）
A.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台
B.直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积
C.空间中，过三点有且只有一个平面
D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
4.已知P，Q，M，N 分别为空间四边形ABCD 的棱AB，BC，CD，DA 的中点，若
，
，
则
的值是（ ）
A.20
B.10
C.5
D.不能确定
5.复平面内与复数
，
，
，
对应的四点可以构成平行
四边形，则
不可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在河岸
上测量河对面
，
两点间的距离，测得
，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
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7.在长方体
中，
，
，
，面对角线BD 与截面
所成的角
为45°，则
（ ）.
A.
B.
C.
D.
8.在三棱锥
中，
，则三棱锥
外接球的
表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9.下列说法不正确的是（ ）
A.与
共线的单位向量是
B.在
中，
是
为等腰或直角三角形的充要条件
C.存在唯一
使
是
的充分不必要条件
D.
在
上投影向量的模为
10.已知直线l、m、a、b 均不重合，平面α、β 为不同平面，下列命题不正确的是（ ）
A.若直线a 与l 所成的角等于b 与l 所成的角，则
B.若
，
，则
C.若
，则
D.若
，
，则
11.如图，在棱长为
的正方体
中，
为
的中点，
为线段
上动点（包括端
点），则下列说法中正确的是（ ）
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A．三棱锥
的体积为定值
B．直线
与直线
所成角的余弦值为
C．
的最小值为
D．点
在正方体表面上运动（包含边界），且
，则点
的轨迹长度为
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12.与
垂直的单位向量的坐标是___________.
13.已知复数
、
分别满足：
，
，其中i 为虚数单位，则
的取值范围
为___________.
14.如图，在正方体
中，O 是AC 中点，点P 在线段
上，若直线OP 与平面
所
成的角为θ，则
的取值范围是___________.
四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.如图，正方体
中，
，点
分别是棱
的中点.
（1）根据多面体
的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出
证明；
（2）求多面体
的表面积和体积.
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16. 在三角形ABC 中，角
，B ，
的对边分别为a ，
，c ，已知
，
.
（1）若
为锐角三角形，求其周长的取值范围；
（2）若角
的角平分线交
于
，满足
，求
的长.
17．如图，正方形
的边长为6，
是
的中点，
是
边上靠近点
的三等分点，
与
交于点
．
（1）求
的余弦值．
（2）以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，建立平面直角坐标系，求点
坐标；
（3）若点
自
点逆时针沿正方形的边运动到
点，在这个过程中，是否存在这样的点
，使得
？若存在，求出
的长度，若不存在，请说明理由．
18.如图，在正三棱柱
中，
为
的中点，
.
（1）证明：
；
（2）证明：
平面
；
（3）求直线
与平面
所成角的正弦值.
19.如图正方体
棱长为4，
，
分别是
，
上的点，且
，
.
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（1）求直线
与
所成角的余弦值.
（2）设
是线段
上的动点（含端点）.
（i）判断三棱锥
的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求体积的最小值.
（ii）当
平面
时，求
的值.
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荆州中学2025 级高一下学期数学五月月考2026.5.27
CBBA CADA
ABD ABC ABD
或
15.（1）几何体
是三棱台，证明如下：
因为点E，F 分别是棱
，
的中点，连接
，所以
，
且
，因此四边形
是梯形.
延长
，
相交于点G，因为
，
平面
，
所以
平面
，又因为
，
平面
，所以
平面
.
因为平面
平面
，所以
，
所以直线
，
，
相交于同一个点G.所以几何体
是三棱锥，
由于平面
平面
，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体
是三棱台.
（2）因为
，所以
，
，
在等腰梯形
中，
，
，高
，
所以
.
又因为
，
，
，
所以三棱台
的表面积是
.
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因为三棱台
的高
，
所以棱台
的体积
.
16.（1）因为
，
由正弦定理可得
，整理可得
，
由余弦定理得
，所以
，所以
.
又因为
，所以
.
因为
，由正弦定理得
，
可得
，
，因为
，
所以
，
则
，
又
，则
，
，
，则周长的取值范围是
，
（2）因为
，由角平分线性质定理得
，即
，
在三角形
中，
，由余弦定理得
，
，
；
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因为
，所以
，得
，
所以
17．（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系．
则
，
，
，
，∴
，
．
由于
就是
，
的夹角．∴
，
∴
的余弦值为
．
（2）设
，∴
，∵
，∴
，∴
①．
∵
，
，
，∴
，
②．
联立①②得
，∴
，∴
．
（3）由题得
，
．
①当点P 在
上时，设
（
），∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
．
②当P 在
上时，设
，（
），∴
，∴
，∴
舍．
综上，存在
，
．
18.（1）在等边
中，因为D 为
的中点，可得
.
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在正三棱柱
中，可得
平面
，
又
平面
，所以
.
因为
，且
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（2）由（1）得
平面
，因
平面
，则
.
又
，
，则
，
，
，
，所以
，可得
，
因
，
，
平面
，故
平面
.
（3）由（2）得
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角.
又
，
，所以
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
19.（1）过点E 作
交
于M，连接
，
由正方体
的对角面
是矩形，得
，则
，
即为直线
与
所成的角或其补角，
由
，
，得
，
，
，
，
因此
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
（2）（i）三棱锥
的体积不是定值.
假设三棱锥
的体积是定值，则线段
上任意每一点到平面
的距离都相等，
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又
平面
，于是
平面
，由（1）知
，且
平面
，则
平面
，而
，
，
平面
，则平面
平面
，又
平面
，因此
平面
，取
中点
，连接
，
显然M 为
的中点，则
，又
与平面
交于点
，
于是
与平面
相交，两者矛盾，假设不成立，所以三棱锥
的体积不是定值，由图，线
段
在平面
的同侧，且在线段
的所有点中，F 到平面
的距离最小，则当G 与F 重合时，
三棱锥
的体积最小，
且
，所以三棱锥
体积的最小值为
（ii）由
，且
平面
，则
平面
，同理
平面
，
而
，
，
平面
，因此平面
平面
，
此时线段
平面
，满足
平面
，
设E，F 到平面
的距离分别为
，
，则
.
是边长为
的等边三角形，则
，
由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
.
