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浙江省缙云中学等四校2025-2026 学年高一下学期5 月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担10，20，30 个不同的比赛项
目，现采用分层随机抽样的方式抽取6 个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项目的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
3．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若直线不平行于平面
，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
内的所有直线都与直线异面
B．平面
内不存在与直线平行的直线
C．平面
内的所有直线都与直线相交
D．直线与平面
一定有公共点
7．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，若
的面
积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，边长都为1 且互相垂直的正方形
和
的对角线
，
上分别有一动点
，
，满
足
到点
的距离等于
到点
的距离，则四面体
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．若向量
，
满足
，则
或
B．若非零向量
与
相等，则B，C 重合
C．在平行四边形ABCD 中，
D．若
与
是共线向量，且
，则
11．在四边形
中，
，将
折起，使平面
平
面
，构成三棱锥
，如图，则在三棱锥
中，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
三、填空题
12．已知函数
．若对任意实数
都有
，则
的最小值为
___________．
13．一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为___________km/h.
14．已知复数
满足
，且
，则
＝______．
四、解答题
15．已知复数
在复平面内对应的点位于第一象限，且满足
(1)求a；
(2)若z 是关于x 的方程
的一个复数根，求pq 的值.
16．已知函数
.
(1)求
的最小正周期和对称中心；
(2)求
在区间
内的单调递增区间.
17．已知
的内角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，设向量
,
,
且
.
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，D 为
边的中点，求
的长.
18．如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
分别为
，
的中点，
与
交于点
，
，
为
上一点，
．
(1)证明：
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
19．如图，在三棱锥
中，
，点
分别是棱
上的动点（不含端点）．
(1)若
平面
，
①求
的长度；
②求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)若三棱锥
的内切球半径
，求
长度的最小值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
B
D
B
C
BCD
BC
题号
11
答案
ABC
1．B
【详解】
，
；
的虚部为
.
2．C
利用分层抽样的特点可求答案.
【详解】甲、乙、丙三地分别承担比赛项目的比例为：
；
采用分层随机抽样的方式抽取6 个项目检查赛前准备情况，丙地应抽取比赛项目的个数为
.
故选：C
3．A
【详解】由
，则
，故
.
4．C
【详解】已知向量
，
，
，
，解得
．
5．B
【详解】设圆台的高为，则
，
故圆台的体积为
.
6．D
根据线面关系，以及线面平行的判定定理，判断正确选项即可.
【详解】直线不平行于平面
，则可能为直线
平面
，或直线与平面
相交，
所以A，B，C 错误，D 正确；
故选：D.
7．B
根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意得，
，.
又
，解得
，
∴
，
.
故选:B.
8．C
【详解】过
作
，交
于点
，连接
.
因为
，
，所以
.
所以
，所以
.
又
，
，所以
，
.
设
，
，则
，
.
所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，则
平面
，所以
为三棱锥
的高，
所以
，
当
时，
取得最大值，为
.
故选：C
9．BCD
【详解】
，所以A 错误；
，所以B 正确；
，所以C 正确；
，所以D 正确.
10．BC
【详解】对于A，向量
满足
，只说明向量
的长度相等，而它们的方向是任意的，
因此向量
不一定相等，也不一定互为相反向量，A 错误；
对于B，非零向量
与
相等，则向量
与
的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点
重合，B 正确；
对于C，在
中，向量
与
的长度相等，方向相同，因此
，C 正确；
对于D，当
与
同向时，
，当
与
反向时，
，D 错误.
11．ABC
根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.
【详解】对于B，如图，
因为
，
所以
，又因为
，
，
所以
，所以
，
所以
，故B 正确；
对于A，由B 选项知
，
又因为平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于C，由选项A 知，
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，故C 正确；
对于D，如图，
过点A 作
，垂足为
，
因为平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，显然
平面
，
所以平面
与平面
不垂直，故D 错误.
故选：ABC.
12．
由题意知
是
最小值、
是最大值，先求出
的周期
，余弦函数最值
相邻两点最小间距为半个周期，即可算出
最小值为1.
【详解】已知函数
，对任意实数
都有
.
由此可知
为函数的最小值，
为函数的最大值.
该余弦函数的角频率
，根据周期公式
可得周期
.
余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，即
，因此
的最小值为.
13．
利用勾股定理求得正确答案.
【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，
所以船实际航行的速度大小为
km/h.
故答案为：
14．
先设
根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答.
【详解】设
，
又
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
故答案为：
.
15．(1)
(2)
（1）根据
列出方程，结合点所在象限可得答案；
（2）根据根与系数的关系可求答案.
【详解】（1）由题意知复数z 在复平面内对应的点为
，
因为点Z 在第一象限，所以
，
由
，得
，
即
则
所以
.
（2）由（1）知
， 由
是关于x 的方程
的一个复数根，可知
是
的另一个复数根，
因此
，解得
.
所以
16．(1)最小正周期
，对称中心为
；
(2)
和
.
利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位
等于
，解出
即为对称中心的横坐标；
（2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出
的范围，得到单调递增区间的通式，
再与给定区间
取交集，即得所求的单调递增区间.
【详解】（1）函数
，
所以
的最小正周期
，
令
，解得：
，此时
，
的对称中心为
；
（2）令
，
解得
，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；当
时，
的单调递增区间为
；
在区间
内单调递增区间
和
.
17．(1)
(2)
（1）根据
得到
,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;
（2）先根据三角形的面积公式求出
,再利用余弦定理求出
即可.
【详解】（1）因为
,
,且
,
所以
,
由正弦定理可得:
，即
,
由余弦定理得:
，所以
,
又
,所以
.
（2）因为
,
由三角形面积公式得:
，解得
,
因为D 为
边的中点，所以
，
在
中，
，
即
，所以
.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论；
（2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直；
（3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解．
【详解】（1）已知底面
是矩形，
底面
，
，
分别为
，
的中点，
则
，
在
和
中，
，则三个内角均对应相等，故
，
相似比为
，
，即
，
已知
，则
，
由平行线分线段成比例定理可得
，
又
分别为
的中点，
，
．
（2）在矩形
中，
，
，则
，
，则
，
，
，即
，
底面
，
底面
，故
，
，且
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
．
（3）
平面
，即
平面
，
即为
与平面
所成的角，
由（2）知，
，
已知
，
，
，
，
在
中，
．
19．(1)①
；②
(2)
（1）①由
平面
，得到
，且
，再由
，在直角
中，即可求解；
②由①求得
为
的中点，得到
和
到平面
的距离相等，由
平面
，得到
到平面
的距离为
，利用余弦定理求得
的长，进而求得
与平面
所成的角；
（2）根据题意，得到点
在
的角平分线上，且
，设
，求得
，设
，求得
的表达式，再由
，求得
，得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：①由
平面
，因为
平面
，可得
，
又因为
，且
，所以
，
因为
平面
，可得
，
又因为
且
，所以
，且
.
②由①知：
，因为
，所以
为
的中点，
所以
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
又由
平面
，所以
到平面
的距离为
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，
设
与平面
所成的角为
，则
.
（2）解：因为
，设点
在平面
的射影为
，
则点
在
的角平分线上，过点
作
，垂足为
，连接
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，
，
在直角
中，可得
，
，则
，
所以
,
设
，可得
，
在
中，由余弦定理得
，
同理可得：
，
，
设
，可得
,
代入整理得
，
由V D−AMN =V A −DMN = 1
3 ×S△DMN ⋅A A
' = 1
3 × √3
4 xy ×2√6，
又由V D−AMN = 1
3 S表面积⋅r = 1
3 ⋅( √3
4 xy + 3√3
2
x + 3√3
2
y + S△AMN )× √6
4 ，
所以1
3 × √3
4 xy ×2√6= 1
3 × √6
4 ⋅( √3
4 xy + 3√3
2
x + 3√3
2
y + S△AMN )，
可得S△AMN = 7√3
4
xy −3√3
2
x−3√3
2
y，
将其代入
，
整理得
，即3 xy =5( x + y)−6
又由M N
2= x
2+ y
2−2 xy cos60
∘= x
2+ y
2−xy =( x + y )
2−3 xy =( x + y )
2−5( x + y )+6，
因为
，所以xy = 5( x + y)−6
3
≤( x + y)
2
4
，
即3( x + y )
2−20( x + y )+24≥0，解得x + y ≥2(5+√7)
3
或x + y ≤2(5−√7)
3
（舍去），
当且仅当x = y = 5+√7
3
时，等号成立，
此时
取得最小值，可得
为等边三角形，即
的最小值
.
