文档文本内容
浙江温岭市第二中学等校2025-2026 学年高一下学期期中数学学科练
习
注意事项：
1．本卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟．
2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4．结束后，只需上交答题卡．
选择题部分
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合
、
后，利用交集定义即可得.
【详解】由
，可得
，即
，故
，
由
，可得
，
解得
，故
，则
.
2. 在复平面内，复数
对应的点位于（ ）.
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算法则，求出
的实部和虚部，即可得出结论.
【详解】
，
对应点的坐标为
，位于第三象限.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
B. 相等的角在直观图中仍然相等
C. 有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
【答案】A
【解析】
【详解】对于A，棱锥的侧面均为三角形，若有一个面为平行四边形，则此面一定为底面，所以该棱锥为
四棱锥，故A 正确；
对于B，正方形的每个角均为
，而直观图中
,
，
故
，故B 错误；
对于C，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点，
有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，
因此该多面体不一定是棱台，如图，四边形
和
是相似的矩形，该多面体不是棱台，故C
错误；
对于D，用平行于圆锥底面的一个平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故D 错误.
4. 已知
，则
（ ）
A.
B.
C. 1
D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由
得
，
，
所以
.
5. 如图，在四边形ABCD 中，
，
，向量
，
的夹角为
．若E，F 分别是边AD，
BC 的中点，则
（ ）
A.
B. 3
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算，数量积的运算律即可得到答案.
【详解】由
，
所以
.
6. 如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底
在同一平面内的两个测量基点
与
，如图②．现
测得
，在点
测得塔顶
的仰角为
，则塔高为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设塔高
，在
中求出
，在
中，利用正弦定理列方程即可求
解.
【详解】设塔高
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
由正弦定理得
，即
，解得
，
所以塔高为
.
7. 已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析函数
的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可．
【详解】由
的定义域为
，即定义域关于原点对称，
又
，则
是偶函数，
又
在
上单调递增，且
在
上也单调递增，
所以
在
上单调递增，
由
，
又
在
上单调递减，
则
在
上单调递增，且
，
所以
，
所以
，
所以
，即
．
8. 已知半径为2 的圆
上有三点A，B，C，满足
，点
是圆上一点，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】以圆心
为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心
和点
相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围.
【详解】以圆心
为原点建立平面直角坐标系，设
，则
，
设
，则
，且
在圆上，满足
，
两式相减得
，解得
，
不妨取
，
设
，则
，
，
所以
，
，
相加得
，
，
因为
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知复数
为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由
得
，再由复数的运算法则与模长公式验证选项即可求解
【详解】由
得
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 不正确，
对于C，由于
，由于
，
所以
，故C 正确；
对于D，由于
，当
，
时，显然
，故
D 错误
10. 如图，在长方体
中，
为
的中点，
为
靠近
的三等分点，
为
与EF 的交点，
为BD 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过E，F，D 的平面截长方体所得截面是四边形
B. 直线
上存在点
使O，N，M 三点共线
C. 三条直线
有公共点
D. 直线
与直线OE 异面
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：作出相应辅助线，根据平行关系可证
，即可得截面图形；对于B：可知
与
相交，即可判断；对于C：设
，
，计算可得
、
不为同一点；对
于D：根据异面直线的判定定理分析判断..
【详解】对A：取
上靠近
的三等分点
，
上靠近
的三等分点
，
连接
、
、
、
，由
为
靠近
的三等分点，
则
为
中点，故
，
由
为
靠近
的三等分点，故
，
又
，故四边形
是平行四边形，故
，
则
，故四边形
即为过E，F，D 的平面截长方体所得截面，故A 正确；
对B：因为
均在平面
内，连接
，则
与
相交，
所以直线
上存在点
使
，
，
三点共线，故B 正确；
对C：设
，由
为
的中点，
，
则
为
的中位线，故
；
设
，由
为
靠近
的三等分点，
，
则
与
的相似比为
，故
；
故
、
不为同一点，即三条直线
，没有公共点，故C 错误；
对D：因为
平面
，
平面
，
，
所以直线
与直线
是异面直线，故D 正确.
11. 在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则符合条件的
有两个
C. 若
为锐角三角形，则
D. 若
是钝角三角形，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项根据三角形边角关系逐项判断.A 项可通过构造反例说明命题不成立；B 项利用正弦定理把
边角关系转化为
的值，再结合
判断角
有两个可能值，并验证两种情况都能构成三角
形；C 项利用锐角三角形中
，把
转化为
比较；D 项设钝角为
，先证明
，再结合
判断所给不等式.
【详解】对于A 项，取
，则
，
但
，
，所以
，
与选项中的
不符，故A 项错误.
对于B 项，由正弦定理得
，所以
.
，从而
.
因此满足
的角
有两个可能值.
设较小的角为
，则
为锐角，且由
得
；
另一个角为
，且
.
当
时，
；
当
时，
，
因为
.所以这两个角都能与
构成三角形，符合条件的
有两个，故B 项正确.
对于C 项，若
为锐角三角形，则
，
所以
，即
.
又
与
均为锐角，且
在
上单调递增，
所以
，故C 项正确.
对于D 项，不妨设
为钝角，则
，
于是
，
均为锐角，故
，且
.
由于
，所以
.又
，
其中
，故必有
，即
.
于是
.
因为
且
，所以
，
从而
，故D 项正确.
非选择题部分
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 若某圆锥侧面展开图是面积为
的半圆，则该圆锥体积为______．
【答案】
【解析】
【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为
，
则圆锥侧面积为
，所以
，
又圆锥侧面积也可表示为
，所以
，
所以该圆锥的高为
，
所以该圆锥的体积为
.
13. 如图，平面四边形ABCD 中，
，则
__________．
【答案】
##
【解析】
【分析】由
得到
，
.在
中，将
转化为
，
再结合已知条件求出
.由
得到
，最后在
中用余弦定
理求
.
【详解】因为
，所以
，
.
在
中，由正弦定理可得
，
又已知
，所以
.
因为
，且
，所以
，从而
，故
.
又因为
，所以
.
在
中，由余弦定理得
，
所以
.
14. 已知平面向量
满足
，则
的最小值是__________，最大值是
__________.
【答案】 ①.
.
②
【解析】
【分析】设
，已知条件变为
，
，问题变为求
的最值，把已知条件平方，
可求得
，
，结合数量积的性质和基本不等式可得
，从而求得
的
范围，得出结论．
【详解】设
，则
，
，
所以已知条件变为
，
，
平方得
即
，
，
所以
即
，
，记
，则
，
又
，所以
，
共线时等号成立，
又
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
，
所以
，所以
所以
即
的最大值为
，最小值为3.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，其中第15 题13 分，第16 题、第17 题每题15 分，第
18 题、第19 题每题17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量
．
（1）求
；
（2）若
，求实数的值．
【答案】（1）
，
（2）
【解析】
【分析】（1） 利用向量模的公式，以及数量积公式求解即可；
（2）利用向量的夹角公式计算即可求解.
【小问1 详解】
，
；
【小问2 详解】
因为
，
所以
，即
，
得
，
代入可得
，解得
．
16. 设函数
，其中
．
（1）求
的最小正周期；
（2）若
，其中
，求
的值．
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期公式计算即可
得；
（2）由
可计算出
，再利用两角和的余弦公式计算即可得.
【小问1 详解】
由
，
故
的最小正周期
；
【小问2 详解】
若
，则
，即
，
又因为
，所以
或
，即
或
，
当
时，
；
当
时，
．
17. 如图，正三棱柱
中，
是棱
的中点．
（1）设E 为棱
的中点，
为棱
上一点，求
的最小值；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求该正三棱柱的外接球的表面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用侧面展开解题；
（2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积；
（3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式.
【小问1 详解】
将侧面
绕
旋转至与侧面
共面，如图所示．
当A，F，E 三点共线时，
取得最小值，
且最小值为
．
【小问2 详解】
法一：因为
为等边三角形，
，
所以
的面积
，又
，
所以
，
，
，
所以
．
法二：因为
的面积
，
，
所以
．
【小问3 详解】
设正三棱柱
两底面中心分别为
，
的中点为
．
正三棱柱的外接球半径
，
外接球表面积
．
18. 在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
为锐角，已知
．
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求
的周长；
（3）若
是锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解；
（2）由三角形面积公式求得
，再由余弦定理求得
，从而得三角形周长；
（3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化
为关于
的式
子，再由
的范围求得结论．
【小问1 详解】
在
中，由
及正弦定理、内角和定理，得
，
即
，故得
，从而
，
或
，
而
，故
（
舍去）．
【小问2 详解】
由
的面积为
又由余弦定理
，得
，
从而得
，
所以
的周长为
．
【小问3 详解】
由正弦定理得
为锐角三角形，由
，得
，则
，
即
，故
，
得
，
所以
的范围是
．
19. 如图，设Ox，Oy 是平面内夹角为
的两条数轴，
分别是与
轴，
轴正方向同向的
单位向量，定义平面坐标系xOy 为
仿射坐标系．在
仿射坐标系中，若向量
，则把
叫做向量
在平面坐标系xOy 中的坐标，记
．
（1）在
仿射坐标系中，若向量
，求
的坐标；
（2）在
仿射坐标系中，向量
，向量
．求
在
方向上的投影向量；
（3）在
仿射坐标系中，设
，若
对任意实数恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1）
或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据共线向量的定义和向量的模的公式计算即可.
（2）根据投影向量的计算公式求解即可.
（3）先利用向量的模公式和向量的数量积的运算律化简不等式，然后根据二次函数的性质求出结果即可.
【小问1 详解】
由
，设
由此
，
即
，可得
，故
或
．
【小问2 详解】
因为
，
所以
，
故
在
方向上的投影向量
【小问3 详解】
因为
，所以
，
，
，
，
由
，得
，
所以
，
即
对任意实数恒成立，
又因为
，所以
，
