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广东茂名市2025-2026 学年高一下学期5 月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知复数
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
3．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知复数满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．已知
，
，
，则在方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，将函数
的图象向右
平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
8．已知
是边长为2 的等边三角形，AB 是圆M 的直径，若点P 为圆M 上一动点，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．已知
，
是复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．
三、单选题
11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式
确定，其中
，
，
，小球从最低点出发，经过2 秒后，第一次回到最低
点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
秒与
秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
C．当
时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当
时，若
时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则
四、填空题
12．设点
，
，P 是直线
上一点，当
时，点
的坐标为________.
13．如图，在
中，已知弦
，则
________.
14．设
，
是关于的方程
的两个虚数根，若
，
，2 在复平面内对应的点构成直角三
角形，则
________.
五、解答题
15．已知向量与的夹角为
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求向量
与向量的夹角.
16．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，求
周长的取值范围.
17．已知
是虚数，
，
，且
.
(1)求
的值和
的实部的取值范围；
(2)求证：
为纯虚数；
(3)求
的最小值.
18．图1 所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：
）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P 距离地平面
，最
低点Q 距离地平面
，当
时，过山车到达最高点P，当
时，过山车到达最低点Q，设
（
，
，
）.
(1)求A，B，
，
的值；
(2)求入口处M 离地平面的高度；
(3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于
的时长.
19．如图，设Ox、Oy 是平面内相交成角
的两条数轴，
、
分别是与Ox、Oy 正方向同向的
单位向量，定义平面坐标系xOy 为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
(1)在
仿射坐标系中，若
，求
；
(2)在
仿射坐标系中，若
，
，且与
的夹角为
，求
；
(3)如图所示，在
仿射坐标系中，B、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，
，
，E、F 分
别为BD、BC 中点，求
的最大值.
参考答案
1．B
【详解】∵
，
， ∴
.
∵
，
，∴
.
∴
.
∴
.
2．D
【详解】∵ 目标函数为
，可变形为
，此式是将
中的替换
为
得到.
∴ 要得到
的图象，只需将
的图象上所有点向左平移
个单位长度.
3．A
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
4．A
【详解】由
，
，得
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，则
.
5．C
【详解】设
，则
，
计算可得
，
所以
，计算可得
，
所以
.
6．B
【详解】在方向上的投影向量为
.
7．B
【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为
，所以
.
，所以
. 又
，
，所以
.
所以
.
将
代入解析式，得
，所以
，
则
，则
，又
，所以
.
因此
.
将
的图象向右平移
个单位长度得到
.
所以
.
8．A
【详解】以
的中点
为坐标原点，
所在直线为轴建立平面直角坐标系.
∵
是圆
的直径，且
为边长为的等边三角形，
∴
，
设圆上动点
，
，
∴
，
，
∴
.
∵
，
∴
，
即
的取值范围为
.
9．ACD
【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量.
对选项A，∵
为零向量，零向量与任意向量共线，∴
不能作为基底.
对选项B，∵
，计算得
，∴ 与不共线，可作为基底.
对选项C，∵
，计算得
，∴ 与共线，不能作为基底.
对选项D，∵
，计算得
，∴ 与共线，不能作为基底.
综上，不可以作为基底的是ACD.
10．ACD
【详解】对于A 选项：设
，∵
，∴
.
∴
.
又∵
，∴
，故A 正确.
对于B 选项：取
，
，此时
，但
，故B 错误.
对于C 选项：∵设
，
，且
，∴
，
∴ 虚部
，即
，∴
，故C 正确.
对于D 选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数
，均满足
，故D 正确.
11．B
【详解】由题，小球运动的周期
，又
，所以
，解得
，
当
时，
，即
，
，所以
，
则
，故A 错误；
因为
，
，
所以
秒与
秒时小球偏离平衡位置的距离之比为
，故B 正确；
若
，则
，又当
时，小球有且只有三次到达最高点，
所以
，解得
，即
，故C 错误；
因为
，令
，
，
则
，
，
满足
且
时刻小球偏离平衡位置的距离相同，
此时
，故D 错误.
故选：B
12．
【详解】设点
，则
，
.
由
，得
，解得
.
所以点
的坐标为
.
13．2
【详解】过点
作
，垂足为
，则
为
的中点，
则
.
14．20
【详解】由题意知，
，所以
.
解方程
，得
.
所以
，
，
在复平面内对应的点为
，
，点
.
若
为直角顶点，
，
，
，解得
（不合题意，舍去）.
若
为直角顶点，
，
，
，解得
（不合题意，舍去）.
若
为直角顶点，
，
，
，解得
，满足
.
综上，
.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为向量与的夹角为
，且
，
则
.
（2）因为向量与的夹角为
，且
，且
.
可得
.
（3）设向量
与向量的夹角为，
可得
，
因为
，可得
，所以向量
与向量的夹角为
.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵ 在
中，由正弦定理得
（
为
外接圆半径）.
∴
，
.
代入得
.
∵
，∴
，
两边同时约去
，得
，即
.
又∵
，∴
.
（2）∵
，
，
，
由余弦定理得
，
代入得
，
即
，整理得
.
解得
或
（边长为正，舍去）.
∴
的面积
.
（3）由余弦定理得
，
即
.
由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
∴
，
∴
，即
，当且仅当
时等号成立.
又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴
，
∴
，
∴
的周长
.
17．(1)
，
的实部
.
(2)证明见详解.
(3)最小值为1.
【详解】（1）设
，
且
，则
.
因
，得出
为实数，那么
，
.
.
，因为
，所以
，
.
（2）证:
，且(1)得
.
因此
为纯虚数.
（3）由上题得，
，
，那么
.
设
，那么
.
其最小值在
时取得，即
，因为
，所以
，
因此
时
取得最小值且最小值为
.
18．(1)
，
，
，
；
(2)
；
(3)
【详解】（1）∵ 高度最大值为
，最小值为
，
∴
，解得
，
.
∵ 从最高点
到最低点
的时间间隔为半个周期，
∴
，即
，∴
.
∴
.
将
，
代入得
，即
，
∴
.
∵
，∴
.
（2）由（1）知
，
入口处
对应
，∴
.
即入口处
离地面高度为
.
（3）令
，即
，化简得
.
函数周期
，取一个周期
，则
.
由
，得
，即
，
解得
.
∴ 时长为
.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，
、
的夹角为
，
∴
∵
，则
，
∴
∴
.
（2）由
，
，得：
，
，
∴
则
，
∵与的夹角为
，
∴
解得
.
（3）依题意设
、
，且
，
，
∵
为
的中点，
∴
∵
为
中点，同理可得：
∴
由题意可知，
，
，
∴
在
中依据余弦定理得：
代入上式得：
在
中，由正弦定理：
设
，则
，且
，
∴
，
，其中
为锐角，且
，
∵
，则
，
故当
时，
取最大值
，
