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广东茂名市高州市2025~2026 学年度第二学期高一质量监测
数学试题
一、单选题
1．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相交的直线
2．
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．将函数
的图象上的所有点向左平移
个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．y =cos(x−2π
3 )
4．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为
，且该圆台的上、下底面的面积分别为
和
，
则圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，在正方体
中，E，F 分别为
，AB 上的中点，且
，P 点是正方形
内的动点，若
平面
，则P 点的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平面四边形ABCD 中，
，若P 为边BC 上的一个动点，
则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
，则下列说法正确的有（ ）
A．复数的实部为
B．复数的共轭复数为
C．
D．
为实数
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线a，b 不共面，则a，b 为异面直线
B．若直线
平面
，则a 与
内任何直线都平行
C．若直线
平面
，平面
平面β，则
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
11．在
中，内角
，
，
所对的边分别为，，，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为等腰三角形或直角三角形
C．已知
，
，若
，则
有两解
D．若
为锐角三角形，则
三、填空题
12．已知向量
，
，
，若A，B，D 三点共线，则
______.
13．已知
，
，则
______.
14．如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为6 的正方形，一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面先爬到上底面
圆周上，再爬到BC 的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
四、解答题
15．设是实数，复数
，
（是虚数单位）.
(1)若
在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
(2)求
的最小值.
16．已知2⃗a+⃗b=(8,1)，⃗a−2⃗b=(−6,3)．
(1)若
，且
，求
，
的值；
(2)若
，且
，求的坐标．
17．已知函数
的最小正周期为，最大值为
，
.
(1)求函数
的解析式和对称中心；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象.设函数
在区间
上有两个不同的零点，求实数m 的取值
范围.
18．如图，在正方体
中，
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)棱
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
19．在
中，设
、
、
所对的边分别为、、，已知
，且三角形外接圆半径为
．
（1）求
的大小；
（2）若
的面积为
，求
的值；
（3）设
的外接圆圆心为
，且满足
，求
的值．
参考答案
1．D
【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A 错误；
对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B 错误；
对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C 错误；
对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D 正确.
2．C
【详解】由
，则
，
所以
．
3．B
【详解】
的图象上的所有点向左平移
个单位长度，
得到y =sin(x +π
6 +π
3 )=sin(x +π
2 )=cos x，故B 正确.
4．C
【详解】由题意可知：
，
由正弦定理可得
，
.
5．A
【详解】
.
故选：A.
6．A
【详解】已知上底面积
，下底面积
，
对上底：
；
对下底：
.
圆台轴截面中，母线与底面所成角为
，高与半径差
构成直角三角形的
两条直角边，满足
.
由于
，
，因此
.
则圆台体积为
.
7．C
【详解】如图所示，取
的中点
，
的中点为
，连接
，
则
∥
，
，且
∥
，
，
可得
∥
，且
，可知四边形
是平行四边形，则
∥
，
且
平面
，
平面
，可得
∥平面
，
同理可得：
∥平面
，
且
，
平面
，可知平面
∥平面
，
又因为P 点是正方形
内的动点，
平面
，
所以点
在线段
上，
由题意可知：
，可得
，
所以P 点的轨迹长度为
.
故选：C.
8．B
【详解】因为三角形
中，
，
所以
是边长为2 的等边三角形，则
以
为轴，
的中垂线为
轴，建立直角坐标系如图，
则
，设
，则
，
故
，
显然当
时，
取得最小值
，
故选：B.
9．ABD
【详解】对于A 选项，由复数
，根据复数的概念，可得实部为，故A 正确；
对于B 选项，由复数
，根据共轭复数的概念，可得
，故B 正确；
对于C 选项，由B 选项可得
，所以
，故C 错误；
对于D 选项，由复数
，则
，故D 正确.
综上所述，选项ABD 正确.
10．BCD
【详解】A.直线a，b 不共面，即不平行，不相交，则a，b 为异面直线，故正确；
B. 直线
平面
，则a 与
内的直线平行或异面，故错误；
C. 直线
平面
，平面
平面β，则
或
，故错误；
D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
故选：BCD
11．ABD
【详解】对A，若
，由正弦定理，得
，所以
，所以A 正确；
对B，因为
，由正弦定理，得
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
或
，
所以
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形，所以B 正确；
对C，已知
，
，
当且仅当
时，
有两解，所以C 错误；
对D，因为
为锐角三角形，所以
，即
，
又因为
在
上为增函数，
且
，
，所以
，
又因为
，所以
，同理，
，
，
即
，
所以
，
整理得：
，所以D 正确.
12．
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，
所以
，解得
.
13．
【详解】因为cos(α + β)=cosα cos β −sin α sin β = 16
65，…………①
tan α tan β = sin α sin β
cosα cos β = 5
9，…………②
联立以上两式可得：cosα cos β = 36
65，sin α sin β = 20
65，
所以
.
14．
【详解】将由轴截面
分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为
的矩形，
作点E 关于直线DC 的对称点
，连接
交
于
，连接
，如图，
，所以所求最短距离为
.
故答案为：
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）
，
复数
在复平面内对应点的坐标为
，
第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此
，
.
解得
，即的取值范围是
.
（2）由
得共轭复数
，则
，
根据复数模的计算公式得
.
因为为实数，
，当
时，
取最小值20，因此：
，即最小值为
.
16．(1)
，
；
(2)⃗c =(4,2)或⃗c =(−4 ,−2)．
【详解】（1）因为
，求解可得：¿；
故⃗c = λ⃗a+ μ⃗b= λ(2,1)+ μ(4 ,−1)=(2 λ+ 4 μ, λ−μ)=(1,2)；
故¿，解得：¿；
（2）因为
，故⃗c =t⃗a=t (2,1)=(2t ,t )；
因为
，故|⃗c|=√(2t )
2+t
2=√5|t|=2√5，解得
，即
；
故⃗c =(4,2)或⃗c =(−4 ,−2)．
17．(1)
，
(2)
【详解】（1）
的最小正周期为，
,
，
的最大值为
，∴1+b= 3
2 ,∴b= 1
2，
，∴sin φ+ 1
2 =1,∴sin φ= 1
2，
，
，
，
令
，解得
，
的对称中心为
；
（2）
，函数
的图象向左平移
个单位长度，
得到
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，
得到
，
则
，
设
，解得
，解得
，
因为函数
在区间
上有两个不同的零点，
则
这两个函数在
上有两个不同的交点，
在
上是单调递增函数，在
上是单调递减函数，
，
，
，
则
，解得
，
则实数m 的取值范围为
.
18．(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接
，
分别为
中点，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，又
平面
，
平面
，
平面
.
（2）假设在棱
上存在点
，使得
平面
，
延长
交于
，连接
交
于
，
，
为
中点，
为
中点，
，
，
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，又
，
四边形
为平行四边形，
，
；
当
时，
平面
.
19．（1）
；（2）
；（3）
.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，，
，故
；
（2）
，可得
，则
，
，
，
，
因为
，
所以，
，
因此，
；
（3）取
的中点
，则
，如下图所示：
，同理可得
，
设
的外接圆半径为，
因为
，故
，
即
，即
，
则有
，
