高 一 数 学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A 版必修第一册,必修第二册第六章至第八章8.1。
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x-2≥0},则A∩(∁RB)=
A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1}
C.{2}
D.{x|x<2}
2.在△ABC 中,AB=4,cos C=2√2
3 ,则△ABC 的外接圆半径为
A.6
B.12
C.3√2
D.6√3
3.已知a=20.4,b=0.30.2,c=log0.23,则
A.b>a>c
B.c>b>a C.a>c>b
D.a>b>c
4.在△ABC 中,点D 在边BC 上,且满足BD=3DC,E 为AD 的中点,则⃗BE=
A.-5
8⃗AB+3
8⃗AC B.-7
8⃗AB+5
8⃗AC C.-7
8⃗AB+3
8⃗AC
D.-5
8⃗AB+
1
8⃗AC
5.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=6,cos A=√3
3 ,则
b+c
sin B+sinC =
A.2√3
B.6√3
C.6√6 D.3√6
6.已知向量a,b 满足|a|=5,|b|=3,且(a-2b)⊥(a+b),则向量a 在向量b 上的投影向量为
A.7
3b
B.-7
9b
C.7
9b
D.-7
3b
7.已知复数z 满足|z-2+2i|=2,则|z+1-2i|的最小值为
A.5-√2 B.3 C.√2 D.1
8.如图,在△ABC 中,⃗BD=⃗DC,E 在边AC 上,且BE⊥AC,若AD=6,BC=8,则|AE||AC|=
A.20 B.24 C.26 D.28
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若z1z2为纯虚数,则下列说法正确的有
A.a=-1 B.z1z2=5i
C.|z1|=√5 D.z1+z2在复平面内对应的点为(3,3)
10.下列关于立体图形的说法错误的是
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B.侧面都是矩形的四棱柱是长方体
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.圆台的母线延长后一定交于同一点
11.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,满足f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)在[-3,-1]上单调递增
C.关于x 的方程f(x)=log2|x|有且仅有2 个不同的实根
D.当x∈[2,3]时,f(x)=-log2(x-1)
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知一个正六棱柱的底面是边长为2 的正六边形,且所有棱长之和为48,则该正六棱柱的侧
棱长为
▲
.
13.已知x>0,y>0,且3x+y=1,则1
x + 3
y 的最小值为
▲
,此时x=
▲
.
14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=k,b=4,A=30°,则使△ABC 有两解的k 的取值范
围是
▲
.
四、解答题:本题共5 小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知复数z= 2-i
11
i
5+i
8+i
9
.
(1)求z 的共轭复数z;
(2)求z2的实部和虚部;
(3)若复数w=z+m+mi(m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限,求m 的取值范围.
16.(15 分)
在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B=1
4.
(1)求b 的值;
(2)求sin C 的值;
(3)求△ABC 的面积.
17.(15 分)
已知函数f(x)=2sin xcos x+2√3cos2x-√3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和曲线y=f(x)的对称轴方程;
(2)若关于x 的方程f(x)-m=0 在[π
6 ,2π
3 ]上有两个不同的实根,求实数m 的取值范围.
18.(17 分)
已知平面内两个非零不共线向量⃗OA,⃗OB满足|⃗OA|=3,|⃗OB|=2,且对任意实数t,不等式|⃗OA+t⃗OB|
≥|⃗OA-⃗OB|恒成立,向量⃗OC满足(⃗OC-2⃗OA)·(⃗OC-3⃗OB)=0.
(1)求⃗OA,⃗OB夹角的余弦值;
(2)求|⃗OC+⃗OA-⃗OB|的最小值.
19.(17 分)
某自动化港口的水平作业区为水平面,岸边桥吊作业点A,集装箱堆场B,维修站C 构成三角形布
局,AB=400 米,∠BAC=45°,∠ABC=105°.无人集卡(无人驾驶集装箱卡车的简称)在作业区的最
大行驶速度为10 米/秒,道路均为直线通行.
(1)求A,B 到C 的直线距离(结果保留根号).
(2)无人集卡从A 运输集装箱到B(按10 米/秒的速度行驶),行驶到AB 的中点D 时收到调度指令,
需先前往C 维修故障,再前往B 卸货,其中从C 到B 按最大速度10 米/秒行驶.为不影响卸货时效,
从D 点出发后的行驶总时间不得超过原计划D 直接到B 的时间的3 倍,求无人集卡从D 到C 的
行驶速度的最小值(结果保留根号).
(3)港口计划在∠ACB 的角平分线上新建一个充电补给站P,使得补给站到A,B 两点的距离相等.
求补给站P 到维修站C 的距离(结果保留根号).
高一数学参考答案
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
C
D
C
B
A
AC
ABC
ACD
三、12. 4 13. 12
14.
1.B 【解析】本题考查集合的补集和交集运算,考查数学运算的核心素养.
因为B={x|x-2≥0}={x|x≥2},所以∁RB={x|x<2},所以A∩(∁RB)={-1,0,1}.
2.A 【解析】本题考查正弦定理,考查数学运算的核心素养.
因为cos C=2√2
3 ,所以sin C=√1-co s
2C=1
3.因为AB=4,所以△ABC 的外接圆半径为
AB
2sinC =6.
3.D 【解析】本题考查指数、对数大小的比较,考查逻辑推理的核心素养.
因为a=20.4>20=1,b=0.30.2∈(0,1),c=log0.23<0,所以a>b>c.
4.C 【解析】本题考查平面向量基本定理,考查逻辑推理的核心素养.
由BD=3DC,得⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+3
4⃗BC=⃗AB+3
4(⃗AC-⃗AB)=1
4⃗AB+3
4⃗AC.
因为E 为AD 的中点,所以⃗AE=1
2⃗AD=1
8⃗AB+3
8⃗AC,所以⃗BE=⃗AE-⃗AB=-7
8⃗AB+3
8⃗AC.
5.D 【解析】本题考查正弦定理,考查数学运算的核心素养.
因为cos A=√3
3 ,所以sin A=√1-co s
2 A=√6
3 .因为a=6,所以
a
sin A =3√6.
b+c
sin B+sinC =3√6.
6.C 【解析】本题考查平面向量的投影向量,考查数学运算的核心素养.
因为(a-2b)⊥(a+b),所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=0.因为|a|=5,|b|=3,所以a·b=7,所以向量a 在
向量b 上的投影向量为a·b
|b| · b
|b| =7
9b.
7.B 【解析】本题考查复数的几何意义,考查逻辑推理的核心素养.
设复数z 在复平面内对应的点为Z.由模长的几何意义知,|z-(2-2i)|表示点Z 到定点C(2,-2)的距
离,因此点Z 的轨迹是以C(2,-2)为圆心,2 为半径的圆.|z+1-2i|=|z-(-1+2i)|,其几何意义是点Z 到
定点P(-1,2)的距离.因为|CP|=√(2+1)
2+(-2-2)
2=5,所以|z+1-2i|的最小值为5-2=3.
8.A 【解析】本题考查平面向量的数量积,考查逻辑推理的核心素养.
因为E 在边AC 上,所以|AE||AC|=⃗AE·⃗AC.
因为⃗AE=⃗AB+⃗BE,所以⃗AE·⃗AC=(⃗AB+⃗BE)·⃗AC=⃗AB·⃗AC+⃗BE·⃗AC.
因为BE⊥AC,所以⃗BE·⃗AC=0,所以⃗AE·⃗AC=⃗AB·⃗AC.
因为⃗AB=⃗AD+⃗DB,⃗AC=⃗AD+⃗DC,且⃗BD=⃗DC,
所以⃗AB·⃗AC=(⃗AD+⃗DB)·(⃗AD+⃗DC)=(⃗AD+⃗DB)·(⃗AD-⃗DB)=|⃗AD|2-|⃗DB|2.
因为AD=6,BC=8,所以⃗AB·⃗AC=62-42=20.
9.AC 【解析】本题考查复数的概念与运算,考查数学运算的核心素养.
因为z1z2=(2+ai)(1-2i)=2+2a+(a-4)i,所以2+2a=0,得a=-1,所以z1z2=-5i,故A 正确,B 不正确;因为
z1=2-i,所以|z1|=√2
2+(-1)
2=√5,故C 正确;因为z1+z2=3-3i,所以z1+z2在复平面内对应的点为(3,-
3),故D 不正确.
10.ABC 【解析】本题考查基本图形的特征,考查逻辑推理的核心素养.
棱锥的定义要求其余各面的三角形必须有公共顶点,若三角形没有公共顶点,则不是棱锥,比如
用两个底面重合的三棱锥组合的几何体,满足“一个面是多边形,其余各面是三角形”,但不是
棱锥,所以A 错误;
侧面都是矩形仅能说明侧棱垂直于底面,但底面如果不是矩形,该四棱柱不是长方体,比如底面
是平行四边形的直四棱柱不是长方体,所以B 错误;
只有以直角三角形的直角边为轴旋转才能得到圆锥,若以斜边为轴旋转,得到的是两个同底圆锥
的组合体,不是圆锥,所以C 错误;
圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,因此母线延长后必然交于圆锥的顶点,所以D
正确.
11.ACD 【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性,考查数学运算的核心素养.
因为f(x)是定义域为R 的奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(1+x)=f(1-x),所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以
f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的周期为4,故A 正确.当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),此时单调递增,由
奇函数的性质可知,当x∈[-1,0]时,f(x)仍单调递增,即f(x)在[-1,1]上单调递增.因为f(x)的图象关
于x=1 对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,由周期性可知,f(x)在[-3,-1]上单调递减,故B 不正确.结
合图象可知,f(x)的图象与y=log2|x|在(-1,0),(1,2)上分别有一个交点,故C 正确.当x∈[2,3]时,2-
x∈[-1,0],因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2).因为x-2∈[0,1],所以f(x-2)=log2(x-1),所以
f(x)=-log2(x-1),故D 正确.
12.4 【解析】本题考查正六棱柱的特征,考查逻辑推理的核心素养.
设侧棱长为h.因为正六棱柱的棱包括2 组底面的6 条棱和6 条侧棱,且底面边长为2,所以
2×12+6h=48,解得h=4.
13.12;1
6 【解析】本题考查基本不等式的应用,考查数学运算的核心素养.
因为3x+y=1,所以1
x + 3
y =(3x+y)（1
x + 3
y ）=6+ y
x +9 x
y .因为y
x +9 x
y ≥2√
y
x · 9 x
y =6,当且仅当y
x =
9 x
y ,即y=1
2,x=1
6时,等号成立,所以1
x + 3
y 的最小值为12.
14.(2,4) 【解析】本题考查解三角形的多解问题,考查逻辑推理的核心素养.
因为b=4,A=30°,所以AB 边上的高为4sin 30°=2.若△ABC 有两解,则2<k<4.
15.【解析】本题考查复数的实部与虚部、共轭复数及复数的几何意义,考查数学运算的核心素
养.
解:因为i5=i,i8=1,i9=i,i11=-i,
2 分
所以z= 2-i
11
i
5+i
8+i
9
= 2+i
1+2i
=(2+i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
=4
5
-3
5
i. 5 分
(1)z 的共轭复数z=4
5 +3
5i.
7 分
(2)因为z2=（4
5 -3
5i）2= 7
25-24
25i,所以z2的实部和虚部分别为7
25,-24
25.
10 分
(3)因为w=z+m+mi=4
5 +m+（m-3
5）i,
11 分
所以{
4
5 +m>0,
m- 3
5 <0,
解得-4
5
<m<3
5
,即m 的取值范围是（-4
5
,3
5
）.
13 分
16.【解析】本题考查正弦、余弦定理,考查数学运算的核心素养.
解:(1)因为a=2,c=3,cos B=1
4,
所以b2=a2+c2-2accos B=4+9-2×2×3×1
4=10, 3 分
所以b=√10.
5 分
(2)因为cos B=1
4 ,B∈(0,π),所以sin B=√1-co s
2B=√15
4 .
7 分
因为
b
sin B=
c
sinC ,且b=√10,c=3,
所以sin C=c sin B
b
=3× √15
4
√10
=3√6
8 . 10 分
(3)因为a=2,c=3,sin B=√15
4 ,
所以△ABC 的面积为1
2acsin B=1
2×2×3×√15
4 =3√15
4
.15 分
17.【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查数学运算的核心素养.
解:(1)因为f(x)=2sin xcos x+2√3cos2x-√3=sin 2x+√3cos 2x=2sin（2x+π
3 ）,
3 分
所以f(x)的最小正周期T=2π
2 =π.5 分
令2x+π
3 =π
2 +kπ,k∈Z,则x= π
12+k π
2 ,k∈Z,
即曲线y=f(x)的对称轴方程为x= π
12+k π
2 ,k∈Z.
7 分
(2)关于x 的方程f(x)-m=0 在区间[π
6 ,2π
3 ]上有两个不同的实根等价于曲线y=f(x)与y=m 在区间[
π
6 ,2π
3 ]上有两个不同的交点. 9 分
当x∈[π
6 ,2π
3 ]时,2x+π
3 ∈[2π
3 ,5 π
3 ].令φ=2x+π
3 ,φ∈[2π
3 ,5 π
3 ],
12 分
则当φ∈[2π
3 ,3 π
2 ]时,y=sin φ 单调递减;当φ∈(3 π
2 ,5 π
3 ]时,y=sin φ 单调递增.
13 分
根据正弦函数的图象与性质,2sin3 π
2 =-2,2sin5 π
3 =-√3,所以m∈(-2,-√3].
15 分
18.【解析】本题考查平面向量的数量积的综合应用,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
解:(1)因为不等式|⃗OA+t⃗OB|≥|⃗OA-⃗OB|恒成立,所以|⃗OA+t⃗OB|2≥|⃗OA-⃗OB|2恒成立,
所以|⃗OA|2+2t⃗OA·⃗OB+t2|⃗OB|2≥|⃗OA|2+|⃗OB|2-2⃗OA·⃗OB,
即|⃗OB|2t2+2t⃗OA·⃗OB-|⃗OB|2+2⃗OA·⃗OB≥0. 3 分
设⃗OA,⃗OB的夹角为θ.因为|⃗OA|=3,|⃗OB|=2,所以⃗OA·⃗OB=6cos θ,
所以4t2+12tcos θ+12cos θ-4≥0 对任意实数t 恒成立, 5 分
所以Δ=144cos2θ-16(12cos θ-4)≤0,
所以(3cos θ-2)2≤0,得cos θ=2
3,即⃗OA,⃗OB夹角的余弦值为2
3.
7 分
(2)由(⃗OC-2⃗OA)·(⃗OC-3⃗OB)=0,
可知点C 在以向量2⃗OA,3⃗OB的终点为直径端点的圆上.
10 分
设圆心为M,则⃗OM=2⃗OA +3⃗OB
2
,半径r=|2⃗OA -3⃗OB|
2
.
因为|2⃗OA-3⃗OB|2=4|⃗OA|2-12⃗OA·⃗OB+9|⃗OB|2,且|⃗OA|=3,|⃗OB|=2,⃗OA·⃗OB=4,所以|2⃗OA-3⃗OB|
2=4×9-12×4+9×4=24,所以r=√6.
12 分
设⃗OP=⃗AB.因为|⃗OC+⃗OA-⃗OB|=|⃗OC-(⃗OB-⃗OA)|=|⃗OC-⃗AB|,
所以|⃗OC+⃗OA-⃗OB|表示圆M 上的点到点P 的距离.
14 分
因为圆心M 到点P 的距离为|⃗
OM
-⃗
OP
|=
,
所以|⃗PM|2=
=4|⃗OA|2+2⃗OA·⃗OB+
|⃗OB|
2
4
=4×9+2×4+
4
4=45,
所以|⃗PM|=3√5,故|⃗OC+⃗OA-⃗OB|的最小值为3√5-√6. 17 分
19.【解析】本题考查解三角形的实际应用,考查逻辑推理的核心素养.
解:(1)在△ABC 中,因为∠BAC=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°.1 分
因为AB=400 米,且sin∠ABC=sin(45°+60°)=√2+√6
4
,
所以AC= ABsin ∠ABC
sin ∠ACB
=
400× √2+√6
4
1
2
=200(√2+√6)米.
3 分
同理,BC= ABsin ∠BAC
sin ∠ACB
=
400× √2
2
1
2
=400√2米.
4 分
(2)因为D 为AB 的中点,所以DB=1
2AB=200 米.
因为原计划D 直接到B 的时间为200
10 =20 秒,
所以D 点出发后的允许最长时间为60 秒.
5 分
在△ACD 中,因为∠DAC=45°,AC=200(√2+√6)米,AD=200 米,
所以CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠DAC
=2002+[200(√2+√6)]2-2×200×200(√2+√6)×√2
2
=40 000+40 000(8+4√3)-80 000(1+√3)
=280 000+80 000√3=40 000(7+2√3),
所以CD=200√7+2√3米.
7 分
设D 到C 的行驶速度为v 米/秒,
则CD
v +BC
10 =200√7+2√3
v
+400√2
10
≤60,
所以v≥200(7+2√3)
60- 40√2
=10√7+2√3
3-2√2
=10(3+2√2)√7+2√3,
即无人集卡从D 到C 的行驶速度的最小值为10(3+2√2)√7+2√3米/秒.
10 分
(3)由题意,P 满足两个条件:
①在∠ACB 的角平分线上,故∠ACP=∠BCP=1
2∠ACB=15°;
②到A,B 的距离相等,即PA=PB.
在△ACP 中,PA2=AC2+CP2-2·AC·CP·cos 15°; 11 分
在△BCP 中,PB2=BC2+CP2-2·BC·CP·cos 15°. 12 分
因为PA=PB,所以AC2+CP2-2·AC·CP·cos 15°=BC2+CP2-2·BC·CP·cos 15°,
整理得CP= AC + BC
2cos15°. 14 分
因为AC=200(√2+√6)米,BC=400√2米,cos 15°=cos(60°-45°)=√2+√6
4
,
所以CP=
200(√2+√6)+ 400√2
2× √2+√6
4
=400(3√2+√6)
√2+√6
=400(3√2+√6)(√6-√2)
(√6+√2)(√6-√2)
=400√3米.
17
分
