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山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026 学年高一下学期4 月诊断测试
数学试题
一、单选题
1．已知点
则与
同方向的单位向量为
A．
B．
C．
D．
2．若复数
为纯虚数，其中
，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知非零向量，满足
，若
，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
中，
、
分别在边
、
上，且
，
，
在边
上（不包含端
点）．若
，则
的最小值是（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1
6．已知
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．若
的面积
，且
，则
的周长为（ ）
A．
B．15
C．
D．
7．如图，为了测量河对面M，N 两建筑物之间的距离，小胡同学在A 处观测，M，N 分别在A 处的北偏西
、北偏东
方向．再往正东方向行驶32 米至B 处，观测N 在B 处的正北方向，M 在B 处的北偏西
方向，则M，N 两建筑物之间的距离为（）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
8．已知
的内角
，
，
所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ）
A．在
中，若
，则
B．若
，
，
，则
有唯一解
C．若
，则
是等腰三角形或直角三角形
D．若
，则角
二、多选题
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数
的虚部为
C．若复数为纯虚数，则
D．若为复数，则
为实数
10．下列结论正确的是（ ）
A．已知是非零向量，
，若
，则
B．非零向量和
，满足
，则与
的夹角为
C．点
在
所在的平面内，满足
，则点
是
的外心
D．以
为顶点的四边形是一个矩形
11．已知
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，面积为
，则下列说法正确的
是（ ）．
A．
的取值范围是
B．若
是锐角三角形，则
的取值范围是
C．若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E，且
，则
的最小值为9
D．若
，且外接圆半径为2，圆心为O，P 为
上的一动点，则
的取值范围为
三、填空题
12．已知向量
，
，
，且与的夹角为锐角，则t 的取值范围是__________.
13．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，
它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中
a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积
___________．
14．如图，在
中，已知
边上的两条中线
相交于点
，则
的余弦值为__________.
四、解答题
15．已知向量
.
(1)求
；
(2)设
的夹角为，求
的值；
(3)若向量
与
互相垂直，求的值.
16．已知复数
（
R），
为实数.
(1)求
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程
的根，求实数
的值.
17．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角B 的值；
(2)若D 为AC 的中点，且
，
，求
的面积.
18．在锐角
中，已知
，
，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的最大值．
19．已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中
，且在该区域内点
处有一个路灯，
经测量点
到区域边界
、
的距离分别为
，（
为长度单位）.现准备过点
修建一
条长椅
（点
分别落在
、
上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休
息.
(1)求点到点
的距离；
(2)为优化商场的经营面积，当
等于多少时，该三角形
区域面积最小？并求出面积的最小值.
参考答案
1．A
【详解】
,所以与
同方向的单位向量为
，故选A.
2．A
【详解】因复数
为纯虚数，
则有
且
，解得
，
所以
.
3．D
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
4．A
【详解】由题意，
，
，
则向量在向量方向上的投影向量为
.
5．C
【详解】将
，
代入
，
得：
，
在
中，点B、C、D 三点共线，
根据三点共线的向量性质得：
，即：
，
所以
，
当且仅当
，即：
，
时等号成立，此时
最小值为2.
6．B
【详解】已知
,由正弦定理得：
，
整理可得
，所以
，
由于
，所以
；
的面积
，所以
，
又
，所以由余弦定理
，
可得
，
解得
或
（舍去），
所以
的周长
．
故选：B
7．D
【详解】
，
，
，
，
，
，
在
中，
米.
在
中，由正弦定理得
米.
在
中，由余弦定理得：
，
米.
故选：D.
8．D
【详解】对于A，在
中，由正弦定理知，
，
结合大边对大角可得
，故命题正确，A 不符合题意；
对于B，因为
，
，
，
由正弦定理
，得
，
由
知，
只有一解，所以
有一个解，故命题正确，B 不符合题意；
对于C，因为
，由正弦定理得：
，则
，
因为
，可知
或
，即
或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C 不符合题意；
对于D，因为
，
由余弦定理得：
，即
，
因为
，所以
或
，故命题错误，D 符合题意.
故选：D.
9．AD
【详解】A：
，故A 正确；
B：对于复数
的虚部为
，故B 错误；
C：由复数z 为纯虚数，设
(
)，则
，所以
，故C 错误；
D：设复数
(
)，则
，所以
，故D 正确.
故选：AD.
10．ABD
【详解】对A，是非零向量，
，若
，即
，
，
即
，故A 正确；
对B，由非零向量和
，满足
，如图所示：
当向量
方向如图所示，夹角为120°时，刚好满足题设条件，
则
为菱形的斜对角线所示方向，
与
的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为
，故B 正确；
对C，当
时，
点为
的重心，故C 错误；
对D，可设
，则
，
，则四边形
为平行四边形，又
，
故
，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形可判断四边形
为矩形，
故D 正确.
故答案为：ABD.
11．ACD
【详解】由题意，
，整理可得
，
由余弦定理可知
，
，
，
对A，
，
，
，
，
，故A 正确；
对B，
，因为
是锐角三角形，
，
，
，故B 错误；
对于C，由
，可得
，
即
，可得
，
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对D，由正弦定理
，则
，则
，由余弦定理可得
，
所以
，
又
，所以
，则三角形
为等边三角形，取
中点
，如图所示：
则
，由
，可得
，则
，故D 正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线，
所以
，而
，解得
.
13．
.
【详解】因为
，所以
．
故答案为：
.
14．
【详解】由题可得，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
故答案为:
.
15．(1)
；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）由
，得
，
所以
.
（2）设
的夹角为，则
.
（3）由
，得
，
由向量
与
互相垂直得，
，
所以
，
化简得
，解得
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由
，
为实数，则
为实数，
所以
，即
，
，
所以
.
（2）由
在复平面内对应的点在第四象限，
所以
，
又
为实系数方程
的根，
则
，
所以
，
，
又
，所以
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
，
则由
得：
，
在
中，
，
，则
，
，
，
，
，
；
（2）∵D 为AC 的中点，
，
，①
由余弦定理得，
，②
联立①②，解得
，
，
的面积
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由于
，所以
，
即
，即
，
由于
是锐角，所以
，所以
.
（2）依题意，
，由正弦定理得
，
，所以
，
由于
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最大值为
.
19．(1)
(2)当
时，三角形
面积最小，最小值为
【详解】（1）连接
，在
中，
因为
，
所以
，又
、
，
由余弦定理得
，
所以
，即点到点
的距离为
.
（2）由
，
，
，
化简得
或
（舍去），当且仅当
，
即
、
时取等号，
，
