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天津市静海区第一中学2025-2026 学年高一下学期6 月学业能力调研
数学试题
一、单选题
1．复数z 满足
，则复数z=（ ）
A．
B．
C．
D．
2．记
的内角
，
，
的对边分别是
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，满足
，且
，则向量，的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知l，
，是三条不同的直线，
，
，
是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，且
，
，则
5．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿
殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体
，其中正方形
的边长为3，
，且
到平面
的距离为2，则几何体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在正三棱台
中，
为棱
的中点，且
，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是DD1，DB 的中点，则下列选项中错误的
是（ ）
A．EF
平面
B．
C．EF 与AD1所成角为60°
D．EF 与平面
所成角的正弦值为
二、填空题
8．设m R
∈， 复数
若z 为纯虚数，则m=________；
9．如图，在直三棱柱
中，底面
是正三角形，侧棱
底面
，
是
的中点，
则异面直线
与
所成角是 ________
10．图，几何体
为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为
，圆
柱的上、下底面的圆心分别为
、
，且该几何体有半径为1 的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面
上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为
．若圆柱的底面圆半径为
，则几何体
的体积
是________
11．如图，在三棱锥
中，
分别为
的中点，记三棱锥
的体积为
，三棱锥
的体积为
，则
______．
12．
中，
为
边中点，
，
，
，则
______（用，表示），若
，
，则
_______
三、解答题
13．如图，直三棱柱
中，
，E、F 分别为AB、
的中点．
(1)求证：
平面
；（用两种方法证明）
(2)求证：
；
(3)请根据（1）的解题过程，试概括一下证线面平行的方法.
14．在
中，角
，
，
所对的边分别为，，．满足
．
(1)求角
的大小：
(2)设
，
．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求
的值．
15．如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
为
中点，
平面
，
，
为
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
16．在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)已知
，求
周长的取值范围．
17．如图，在四棱锥
中，
为正三角形，平面
平面
，
//
，
，
.
（1）求证：平面
平面
.
（2）求三棱锥
的体积.
（3）在棱
上是否存在点
，使得
//平面
？若存在，请确定点
的位置，并证明；若不存在，
请说明理由.
参考答案
1．C
【详解】由题意可知，
，所以
.
故选：C
2．A
【详解】
中，由正弦定理
，即
，解得
，
又
，所以
，所以
为锐角，故
．
3．A
【详解】由已知
，
，
．
设向量与
的夹角为，
．
对
两边同时平方可得：
，
将
，
代入上式：
，
化简得
，解得
．
根据向量点积的定义
，代入已知值：
，
解得
，结合
，可得
．
4．C
【详解】对于A，由
，
，
，得
或
与相交或
与是异面直线，A 错误；
对于B，由
，
，
，
，得
或
与
相交，B 错误；
对于C，由
，
，
，得
，C 正确；
对于D，由
，
，
，且
，
，得
或
与
相交，D 错误.
故选：C
5．D
解：取
的中点
，连接
，
可得几何体
分割为一个三棱柱
和一个四棱锥
，
将三棱柱
补成一个底面与矩形
全等的矩形的平行六面体，
可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，
则三棱柱
的体积为
，
四棱锥
的体积为
，
则几何体
的体积为
.
故选：D.
6．B
【详解】将正三棱台
中补成正三棱锥
，如图所示．
因为
为棱
的中点，所以
，又
，
所以四边形
是平行四边形.所以
.
由
，且
，得
是
的中位线，所以
分别为
的中点，
故
，
与
的面积比为
.
所以三棱锥
是正四面体.
取底面
的中心为
，连接
，易知
底面
，又
平面
，所以
．
因为
为正三角形，
，
．
在
中，
．
所以正四面体
的体积为
.
所以
．
7．C
【详解】对于A，连接BD1，在
中，E、F 分别为D1D、DB 的中点，则EF
D1B，
又∵D1B
平面ABC1D1，EF
平面ABC1D1，∴EF
平面ABC1D1，故A 正确；
对于B，∵
平面
，
平面
，∴B1C⊥AB，
又B1C⊥BC1，AB
平面ABC1D1，BC1
平面ABC1D1，AB
BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，
又∵BD1
平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EF
BD1，∴EF⊥B1C，故B 正确；
对于C，由
，得EF 与AD1所成角为
.
在
中，
，所以
，
所以EF 与AD1所成角不为60°，故C 错误；
对于D，由
，且
平面
，所以
为EF 与平面BB1C1C 所成的角，
在
中，
，所以
，故D 正确．
故选：C．
8．
【详解】复数
若z 为纯虚数，
则
，解得：
.
故答案为：.
9．
【详解】因为
，且
面
，
所以
面
，而因为
面
，
所以
，
又因为
为正三角形，且
为
中点，所以
，
且
，
因此
面
，而
面
，
所以
，即异面直线
与
所成角为
.
10．
【详解】
如图可知，过
的截面为五边形
，其中四边形
为矩形，
为等腰三角形，
，在直角
中，
，
，
故圆锥的底面半径为
，高为
，其体积为
.
圆柱的底面半径为
，高为
，其体积为
.
所以几何体
的体积为
.
11．
#
【详解】因为
分别为
的中点，则
所以
，则
.
12．
；
.
【详解】由题意，可得
，
又
，所以
，
又
为
边中点，所以
，所以
，
所以
，
又
，
，所以
.
因为
，即
，所以
，
即
，两边同乘
得
①，
又
，
，
所以
，即
，
即
，两边同乘得
②，
由②得
③，代入①得
，
即
④，
又
，
所以
，
将③代入，得
，
将④代入，得
.
13．(1)证明：连接
交于O 点，连接
，
法一：直三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
则O 为
的中点，又E 为AB 的中点，故
，
平面
，
平面
，
故
平面
；
法二：取
中点
，连接
，
.
由于
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，因为
平面
平面
，
所以
平面
.
根据直三棱柱的性质可知
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
由于
，
平面
，
所以平面
平面
，
由于
平面
，
所以
平面
；
(2)证明：取BC 中点为H，连接
，
F 为
的中点，故
，而
底面
，
故
底面
，
底面
，故
;
又E 为AB 的中点，则
，而
，即
，
故
，而
平面
，
故
平面
，
平面
，故
.
(3)要证明线面平行，可以通过线面平行的判定定理，利用线线平行来证明；也可以通过面面平行的性质定
理，先证明面面平行，进而得到线面平行.
14．(1)
(2)（i）
；（ii）
【详解】（1）由
，
根据正弦定理得，
，
可得
，
因为
，故
，则
，
又
，所以
；
（2）由（1）知，
，且
，
，
（i）则
，即
，
解得
或
（舍），故
；
（ii）由
，
得
，
解得
，则
，
则
，
，
由
，
所以
所以
.
15．(1)因为
，
，
由余弦定理得
，
即
，解得
或
（舍），
因为
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，且
交
于
，
所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，则
，
因为
平面
，所以
平面
，
则
为直线
与平面
所成角，
其中
，故
，
因为
，
，
由勾股定理得
，故
，
由勾股定理得
，所以
，
即直线
与平面
所成角的余弦值为
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理
，得a=2 R sin A ,b=2 R sin B ,c =2 R sinC，
代入原式
，化简得
，
交叉整理
，变形为
.
若
，化简得
，与三角形内角范围矛盾，舍去；
若
，则
，结合
，得
，即
.
（2）由
，a=3, A = π
3 ，
，得b=2√3sin B ,c =2√3sinC.
，
，
，
，则
，所以
，
所以
.
周长
，即
.
17．
证明见解析；
；
在棱
上存在点
，当
为
的中点时，
平面
.理由见解
析.
【详解】（1）证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
（2）取AD 的中点O，连接PO.
因为△PAD 为正三角形，
所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
所以PO 为三棱锥P—ABC 的高．
因为△PAD 为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，
所以PO＝
.
所以V 三棱锥P—ABC＝
S△ABC·PO
＝
.
(3)在棱PC 上存在点E，当E 为PC 的中点时，BE∥平面PAD.
分别取CP，CD 的中点E，F，连接BE，BF，EF，
所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，
所以AB∥FD，AB＝FD，
所以四边形ABFD 为平行四边形，
所以BF∥AD.
因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，
所以平面BEF∥平面PAD.
因为BE⊂平面BEF，
所以BE∥平面PAD.
