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山东省实验中学2025-2026 学年第二学期高一第一次阶段性学情检测
数学试题
一、单选题
1．若复数
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．在平行四边形
中，
是对角线
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
中，角
的对边分别为
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，若
，则|
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
5．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建
筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方
向找到一座建筑物AB，高为
，在它们之间的地面上的点M（B，M，D 三点共线）处测得楼
顶A，教堂顶C 的仰角分别是
和
，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为
，则小明估算索菲亚教堂的
高度为（ ）
A．30m
B．20m
C．
D．
6．在
中，
，
，
，
为边
上一点，且
平分
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在梯形
中，
，点
是线段
（含端点）上的动点，设
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
8．在
中，
分别为角
所对的边，已知
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知
的内角
所对的边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则三角形有两解
C．若
面积为
，则
.
D．若
，则
一定为等腰直角三角形
11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形
，其中
，
，动点
在
上（含端点），连结
交扇形
的弧
于点Q，且
，
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
三、填空题
12．若复数
满足
，则|z|的最大值为______．
13．如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，则
的面积是______.
14．在
中，内角
的对边分别为
，若
，则该三角形内切圆面积
的最大值为__________.
四、解答题
15．已知是虚数单位，复数
．
(1)若复数
满足
，求
；
(2)若关于
的实系数一元二次方程
有一个根是
，求
的值．
16．在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
17．在
中，
为直角，
，
，
与
相交于点M，连接
，记
，
．
(1)试用
，
表示向量
；
(2)在线段
上取一点E，在线段
上取一点F，使得直线
过M，设
，
（
，
均为非零实数），求
的值．
18．某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在
处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200 米的直线绿道
一侧规划一个三角形
区域（古塔的底座忽略不计）
做绿化，如图，已知
，为提升美观度，设计师拟将绿化区设
计为一个锐角三角形.
(1)若在
、
处分别测得塔顶
的仰角为
、
，求塔高
；
(2)求绿化区域
面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道
的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从
到
，再从
到
.已
知
，求游客所走路程的最大值.
19．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提出，其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为
的布洛卡点，角
为
的布洛卡角.
如图，在
中，记它的三个内角分别为
，其对边分别为
的面积为S，点P 为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下问题：
(1)若
，求
的大小及
的值；
(2)已知
的条件下，解下列两个问题：
①若
，求
的值；
②若
，求S.
参考答案
1．C
【详解】由复数的概念可知，复数
的虚部为
．
故选：C．
2．A
【详解】根据题意，作出草图，如下：
根据平面向量的共线定理和减法法则，可得
.
故选：A.
3．B
【详解】在
中，由
及余弦定理，得
.
故选：B
4．D
【详解】因为向量
，
，且
，所以
，解得
，
所以
，所以
．
5．C
【详解】由题意知：
，则
，
在
中，
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
且
在
中，
(m)．
故选：C．
6．A
【详解】如图：
因为
平分
，所以
，又
，所以
.
在
中，根据余弦定理，可得
，
在
中，根据余弦定理，
，
所以
.
7．B
【详解】如图建立平面直角坐标系，设
.
则
，
.
从而
，设
，其中
，
则
，又
，
则
，从而
，因
，
则
.
8．A
【详解】已知
，根据正弦定理
，
边化角得：
，
因为
，所以
，
代入上式：
，
整理得
，
因为
，
，所以
，得
，
由正弦定理，
，
因此：
， 又
，
，
代入得：
因为
，所以
，
则
，
因此：
9．AC
【详解】选项A：
，A 正确，
选项B：由模长公式
，B 错误，
选项C：
，
；
，
故
，C 正确，
选项D：
，对应复平面内的点为
，
实部为正、虚部为负，位于第四象限，不是第二象限，D 错误.
10．AC
【详解】对于选项A：因为
，则
，所以
，故A 正确；
对于选项B：由余弦定理可得
，即
，
整理可得
，解得
或
（舍去），
所以三角形有一解，故B 错误；
对于选项C：因为
，则
，可得
，
且
，所以
，故C 正确；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，符合题意，
但
为等边三角形，故D 错误；
故选：AC.
11．BD
【详解】如图，作
，分别以
，
为
轴，
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
设
，则
，
由
可得
，
，
对于A，若
，则
，解得
（负值舍去），故
，
故A 错误；
对于B，若
，则
，则
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
由于
，故
，故
，所以
，故C 错误；
对于D，由于
，
，
，
而
，所以
，所以
，故D 正确.
故选：BD.
12．
/
【详解】设
，
，
即
在以
为圆心，半径为
的圆上.
又
表示
到
的距离，
则由图可知
.
13．15
【详解】在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
，
而
，则
，又
，因此
，
所以
的面积是
.
14．
【详解】在
中，由正弦定理及
，得
，
则
，
整理得
，而
，即
，
因此
，
，设该三角形内切圆半径为，
则
，又
，于是
，由
，得
，
当且仅当
时取等号，因此
，
所以该三角形的内切圆面积的最大值为
.
故答案为：
15．(1)
(2)9
（1）解：由复数
，可得
，因为
，可得
，
所以
．
（2）解：因为
为实系数方程
的一根，
所以
，整理得
，
所以
且
，解得
．
所以
．
16．(1)
(2)
（1）解：因为
，则
，由已知可得
，
可得
，因此，
.
（2）解：由三角形的面积公式可得
，解得
.
由余弦定理可得
，
，
所以，
的周长为
.
17．(1)
(2)7
【详解】（1）设
，
、M、B 三点共线，
∴存在非零实数k 使得
，
，
，解得
①，
又
、M、A 三点共线，∴存在非零实数t 使得
．
．
又
，
，解得
②．
由①②解得
，
，
；
（2）由（1）知
，
、M、E 三点共线，
∴存在非零实数h 使得
，
，所以
消去h 得
，
．
18．(1)
米.
(2)
(3)
米
【详解】（1）设
米，
依题意可知
，
，
又在
、
处分别测得塔顶
的仰角为
、
即
，
，
可知
，
，
在
中，
，
据余弦定理得
，
即
，解得：
或
（舍去）
塔高
为
米.
（2）设
，则
，
则在
中，据正弦定理得
，故
，
又依题可知，
为锐角三角形，则
即
，
故
，则
，
又
，则
.
（3）在
中，据余弦定理得
，
，
，
，
当且仅当
时取等号，故所走路程
的最大值为
米.
19．(1)
(2)
12
①
；②
【详解】（1）
在
中，
，
所以
，而
为锐角，故
，所以
，
所以
，而
，故
.
又
，故
，
在
中，由正弦定理有
，所以
，
在
中，由正弦定理有
，所以
，
所以
，故
.
（2）
因为
，所以
，即
，
①
，所以
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
三式相加得
，
整理得：
.
②又
又由①知
，
所以
，
故
，
整理得：
，
即
，
所以
，即
，
