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广东佛山市新质高中联盟2025-2026 学年第二学期高一年级期中联考试卷
数学学科
一、单选题
1．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．9
3．已知复数
，复数的虚部为（ ）
A．
B．3i
C．3
D．
4．已知平面向量
，
，则向量在上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
为锐角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，
中
为重心，
过
点，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
7．设
的面积为
，角
、
、
所对的边分别为、、，且
，若
，
则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
8．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知向量
，
，则（ ）
A．
B．与向量平行的一个单位向量为
C．若
与
所成角为锐角，则
D．
与的夹角为
10．下列各式中，计算结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设函数
，若
在区间
上具有单调性，且
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
图象关于直线
对称
C．
图象关于点
中心对称
D．存在
，使得
成立
三、填空题
12．若复数
，则
______．
13．已知单位向量，满足
，则
______．
14．如图，在大三角形中共有10 个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，
B，C，则
的最大值与最小值的和为________．
四、解答题
15．已知复数
，复数
在复平面内对应的向量为
．
(1)若
为纯虚数，求的值；
(2)若
在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．如图，在
中，已知
，
，
，E，F 分别为
，
上的点，且
，
．
(1)求
；
(2)用向量方法证明：
；
(3)若线段
上一动点P 满足
，试确定点P 的位置．
17．已知函数
，
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若
，求
．
18．已知函数
，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
，且经过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)当
，方程
有解，求实数
的取值范围；
(3)若方程
在区间
上恰有三个实数根
，且
，求
的取值
范围．
19．在
中，角A，B，C 对应边为，，，满足
(1)求
的大小；
(2)（i）已知
，若
在AC 上，且
，求BD 的最大值；
（ii）延长BC 至点
，使得
.若
求
的大小.
参考答案
1．A
【详解】由题意有
，
所以
.
故选：A.
2．B
【详解】由题设及
，则
，可得
.
3．D
【详解】
.
所以复数的虚部为
.
故选：D.
4．B
【详解】
，
，
，向量在上的投影向量为
.
5．B
【详解】因为
为锐角，且
，
所以
，则
，
所以
．
6．D
【详解】设
，根据题意
，
因为
，
，
三点共线，则存在
，使得
，
即
，即
，
所以
，整理得
，所以
.
7．B
【详解】因为
，所以
，
因为
，故
，
因为
，即
，
即
，化简得
，
因为
，故
，可得
，则
，故
，
因此，
为直角三角形，
故选：B.
8．A
【详解】
，
所以
或
，
即
或
.
由于
，故
.
9．ABD
【详解】
，
，故
，所以A 正确；
，与平行的单位向量为
，
为
，所以B 正确；
，
，
若向量所成角为锐角，则
且两向量不共线，
即
，解得
，
当
时，
，不满足夹角为锐角，所以C 错误；
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以D 正确.
10．ABD
【详解】对于A，
，所以A 正确，
对于B，
，所以B 正确，
对于C，
，所以C 错误，
对于D，
，所以D 正确.
11．AB
【详解】若
在区间
上具有单调性，则
，则
，
又
，则
，
因为
，
所以一条对称轴为
，一个对称中心横坐标为
，
对称中心为
，
则
，所以
，
，
所以对称轴为
，对称中心为
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，当
时，对称轴为
，故B 正确；
对于C，假设
图象关于点
中心对称，则
，此时
，不符合题意，故C 错误；
对于D，
，
，则
，
，
若
，则
则
，则
，
故在
，不存在
使得
成立，故D 错误，
故选：AB.
12．
【详解】
，
则
．
13．
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．
/
【详解】
因为
，所以取
最大同时
在
上投影最大，则
取得最大值，
如图所示，当
分别是最大的正三角形底边的端点，
B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时，
最大，且
在向量
上的投影也达到最大值,
所以此时
取得最大值，最大值为
；
因为
，取
最大同时
在
上投影最小，则
取得最小值，
当
分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是
之间的一点时，
，此时
达到最小值．
综上所述
的最大值与最小值的和为
.
故答案为：
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为复数
在复平面内对应的向量为
，则
，
又
，则
，
由题有
，解得
，所以的值为
.
（2）因为
，
由题有
，解得
，所以的取值范围为
.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
是线段
的中点
【详解】（1）依题意，记
，
因为
，所以
，
，
因为
，
所以
，
则
，
故
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
则
，即
.
（3）因为
，所以
是
的中点，故
，
因为
，所以
，即
，
所以
是线段
的中点.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得
，
所以函数
的最小正周期为
.
（2）由（1）得，
，
则
，即
，
所以
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设
的最小正周期为
，由题意得
，得周期
，
所以
，得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
的图象过点
，所以
，得
，
因为
，所以
，
故
．
（2）
，
即
有解，
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
，即
．
（3）
，设
，则
，
由“方程
在区间
上恰有三个实数根
”，
得“方程
在区间上恰有三个实数根
”，
则
的图象如下：
即
，
由图得，
，
，
即
，
综上
．
19．(1)
(2)（i）
的最大值为
；（ii）
或
【详解】（1）在
中，
，所以
．
因为
，所以
，
即
化简得
．
因为
，所以
，
．
因为
，所以
．
（2）
（i）由三角形面积公式可得
，即
，
在
中由余弦定理可得
，即
，
所以
，所以
的最大值为
，
此时
，当且仅当
时取等号；
（ii）设
，
，则
．
由（1）知
，又
，所以在
中，
．
在
中，由正弦定理得
，即
①．
在
中，由正弦定理得
，即
②．
÷
①②，得
，即
，所以
．
