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广西玉林市九校2025-2026 学年高一下学期期中质量监测数学试卷
一、单选题
1．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若直线在平面
内，则符号表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若
是共线的单位向量，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．已知某平面图形
的直观图是如图所示的梯形
，且
，则原图形
OABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．12
D．10
5．已知直线，
与平面
，其中
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知向量
，则向量在上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知三角形ABC 满足
，则三角形ABC 的形状一定是（ ）
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
8．已知
的内角
，
，
所对的边分别为，，，
，
，
，若
，
（
），若
与
相交于点
，则当
取最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数
，
，则（ ）
A．
的共轭复数为
B．
C．
为实数
D．
的虚部为-5
10．已知向量
，
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或3
D．若
，则
与的夹角为
11．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，则（ ）
A．
B．
外接圆的面积为
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为
三、填空题
12．已知向量
，则
__________.
13．圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍，高缩小为原来的
，则其体积是原来的____倍.
14．已知菱形ABCD 的边长为1，
，将
沿AC 翻折，当三棱锥
表面积最大时，
其内切球表面积为______.
四、解答题
15．平面内给定两个向量
，
.
(1)求
的坐标；
(2)若
，
且
、
、
三点共线，求
的值.
16．如图，三棱柱
内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是
，底面直径与母
线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱
的体积．
17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.
处有一栋大楼，某学生选
，
两处作为测量点，
测得
的距离为
，
，
，在
处测得大楼楼顶
的仰角
为75°.
(1)求
两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
18．在
中，内角
的对边分别为
，且
，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
的最大值.
19．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的
人们所注意．1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当
内一点
P 满足条件
时，则称点P 为
的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在
中，角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，点P 为
的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)求证：
；
(2)若
，是否存在常数
，使得
，若存在，求
的值；若不存在，请说明
理由．
(3)若
，试判断
的形状．
参考答案
1．C
【详解】复数
的虚部为
.
故选：C.
2．A
【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为
，A 正确；
对于B：
表示直线与平面平行，不符合题意，B 错误；
对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，
C 错误；
对于D：
表示直线与平面相交于点
，不符合题意，D 错误.
3．B
【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时
，A 错误；
选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若
，必有
，B 正确；
选项C：
时，两向量夹角为
或
，夹角为
时
，C 错误；
选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D 错误.
4．D
【详解】梯形
中，
，而
，
则梯形
的高
，
因此梯形
的面积
，
而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的
，
所以原图形OABC 的面积为
.
故选：D
5．B
【详解】
如图，正方体
中，
，
，平面
为平面
，
其中
，
平面
，显然
与平面
不垂直，故“
”不是“
”的充分条
件；
若
，且
，根据线面垂直的性质定理，可知
成立，所以“
”是“
”的必要条件.
所以，“
”是“
”的必要不充分条件.
6．C
【详解】向量在上的投影向量为
.
7．B
【详解】由几何意义知，
对应向量在
的角平分线上，
由
，即
的角平分线与边
垂直，
所以三角形ABC 的形状一定是等腰三角形.
故选：B
8．C
【详解】因为
，
，
，
由余弦定理得：
，所以
.
因为
，所以
，
又因为
，所以
为正三角形.
则当
为线段
的中点时，
，即
取最小值，
此时
；
又因为
，
，
三点共线，所以
，
由平面向量基本定理，得
，解得
.
9．BD
【详解】因为
的共轭复数为
，所以A 错误；
因为
，
，所以B 正确；
因为
，所以C 错误；
因为
，
所以虚部为
，所以D 正确.
10．BCD
【详解】A：若
，则
，解得
，故A 错误；
B：若
，则
，解得
，故B 正确；
C：
，令
，解得
或
，故C 正确；
D：若
，
，
，
则
，
因为
，所以
，故D 正确.
11．BC
【详解】因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，则
，即
，故A 错误；
由正弦定理得外接圆的半径为
，即
，
所以外接圆的面积为
，故B 正确；
由余弦定理得
，即
，则
，
当且仅当
时，等号成立，所以三角形的面积为：
，故C 正确；
由
，得
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以三角形的周长为
，故D 错误，
故选：BC
12．
【详解】因为
，
则
.
故答案为：
.
13．2
【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为
，则变化之后的半径和高分别为
，
则原来的体积为
，变化后的体积为
,
故
,
故答案为：2
14．
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥
中，面
与面
的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面
与面
最大即可，而且
；
，当
时，
取得最大值.
过点
向平面
作垂线，设
的中点为
垂足为
，
因为
，
，所以由余弦定理知
，
所以
，易得
.
所以
.
因为
，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即
，解之得
，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
15．(1)
，
(2)
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
.
（2）由题意可得，
，
，
又
、
、
三点共线，则可得
，
即
，解得
.
16．(1)2；
(2)
【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为
，则该圆柱的高为
，其体积
，解得
，
所以圆柱的底面半径为2.
（2）由（1）知，正
外接圆半径为2，则边长
，
所以三棱柱
的体积
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，所以
m，
即AC 两点的距离为
m；
（2）在
中，因为
，
，
所以
，
又
，
所以
m，
即大楼的高度为
m.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得：
，又
，
，
即
，又
，
，
，
又
，
.
（2）由余弦定理得：
，解得：
，
.
（3）由余弦定理得：
，
（当且仅当
时取等号），
，
又
，
；
，
令
，
，则
在
上单调递增，
，即
，
的最大值为
.
19．(1)证明见解析；
(2)存在，
；
(3)正三角形.
【详解】（1）依题意，
，
所以
.
（2）存在实数
使等式成立．理由如下：
由（1）得
，在
中，由余弦定理得：
，
，
三式相加整理得
，所以
时，存在实数
使
.
（3）当
时，由（1）得
，
由（2）得，
，
在
中，由余弦定理得
，
于是
，当且仅当
且
时取等号，
由
，得
，则
，
，
即当且仅当
且
时取等号，亦即当且仅当
为等边三角形时取等号，
因此
，当且仅当
为等边三角形时取等号，
而
，所以
为等边三角形.
