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安徽鼎尖教育2025-2026 学年高一下学期4 月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知复数
（i 为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．16
B．
C．9
D．
3．如图所示，某测量人员在高为100m 的山顶A 处，测得地面同一直线上的B、C 两点的俯角分别为
和
，则B、C 两点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下
底面周长分别为
和
，高为3，则该模型的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．用斜二测画法画出的水平放置的
的直观图是边长为2 的正三角形，则原
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数
棱数
面数
．已知某正多面体的每个面都是正
三角形，每个顶点连接4 条棱，则该正多面体的棱数E 为（ ）
A．6
B．12
C．16
D．20
7．在锐角
中，内角
的对边分别为
，已知
，
，且
边上的中线长为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若
，则存在正实数
，使得
与垂直；
③“
”是“ 与的夹角为锐角”的充分不必要条件；
④若
，则“
”是“ 与的夹角为
”的充要条件．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．已知复数z 满足
（为虚数单位），且z 是关于x 的实系数一元二次方程
的
一个根，则下列说法正确的有（ ）
A．z 的虚部为
B．复数z 的共轭复数为
C．
D．
10．如图，已知正三棱柱
的所有顶点都在表面积为
的球O 的球面上，底面边长为a，侧棱
长为h，则下列说法正确的有（ ）
A．正三棱柱的外接球的球心O 一定是上下底面中心连线的中点
B．若底面边长
，则侧棱长
C．若侧棱长
，则该正三棱柱的体积为
D．该正三棱柱的侧面积的最大值为
11．已知
中，
，点P 为边BC 上的动点，满足
（
，
为实
数），则下列说法正确的有（ ）
A．
的面积的最大值为
B．当P 为BC 中点时，
C．若
的面积为
面积的
，则
D．若
，则
的最小值为
三、填空题
12．已知向量
，
，若
与
共线，则实数
______．
13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________．
14．在平面斜坐标系
中，
，平面上任意一点P 的斜坐标定义为：若
，其中
、
分别为x 轴、y 轴正方向上的单位向量，则P 的斜坐标为
．已知点A 的斜坐标为
，点B 的
斜坐标为
．若
，则实数k 的值为________．
四、解答题
15．已知
，
是夹角为
的两个单位向量，设
，
．
(1)求证：
与
垂直；
(2)求向量
与的夹角的大小．
16．已知复数z 满足
，且z 的共轭复数满足
为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数
，求w 在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．
17．在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的周长的取值范围．
18．如图，在直三棱柱
中，底面
是直角三角形，
，
，侧棱
．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC 上，上底面在直三棱柱的上底
面
上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．
(1)求该圆柱的表面积；
(2)求该直三棱柱的外接球O 的体积；
(3)点M 是直三棱柱外接球表面上的动点，N 是圆柱表面上的动点，记
，R 为外接球的半径，求
的最大值．
19．在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，解答下列问题：
①当
的面积为
时，求AC 边上的中线长；
②若点D 在边
上，且
平分
，求
的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】由题意得，
.
2．A
【详解】方法一：坐标法．
以
为原点，
所在直线为轴，
所在直线为
轴，则
，
，
．
，
，
则
．
方法二：利用向量关系．
．
由于
，
，
所以
．
3．C
【详解】设山顶
在地面的投影为
，则
，从
看
的俯角为
，则
，所以
．
从
看
的俯角为
，则
，所以
．
由于
、
在
的同侧，则
．
4．A
【详解】已知圆台上、下底面周长分别为
和
，则半径分别为
，
，高
．
圆台体积公式为
，
代入得：
．
5．B
【详解】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为
，
已知直观图是边长为2 的正三角形，其面积为
，
所以原三角形面积为
．
6．B
【详解】因为过每个顶点的棱数为4，则
，得
；
每个面是正三角形，每条棱属于2 个面，故
，得
；
代入欧拉公式：
，解得
．
7．D
【详解】由已知条件
，化简得
．
由正弦定理得，
，
又
，所以
，
所以
，由于
为锐角三角形，所以
．
边上的中线长为
，
设
边上的中线长为
，则
，
所以
，
所以
，
所以
．
8．B
【详解】①由
得
，展开得
，故
，正确．
②若
与垂直，
，解得
，
因
、
，故
，不存在正实数
，错误．
③
，即
，得
，即与夹角为锐角（因为不共线），反之亦然，故
为充要条件，不是充分不必要，错误．
④由
，
得
，
；反之亦然，故为充要条件，正确．
正确结论为①④，共2 个．
9．ACD
【详解】对于AB，由
得
，
其虚部为
，共轭复数为2i，故A 正确、B 错误；
对于CD，实系数方程一根为
，
代入原方程得，
，
解得
，
，故C、D 正确．
10．ABD
【详解】由已知球表面积为
得半径
，
对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A 正确；
对于B，由几何关系得
，即
，
代入
，得
，故B 正确；
对于C，若
，则
，体积
，故C 错误；
对于D，由
得
，
侧面积
，
因为
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，故D 正确．
11．ABC
【详解】对于A，由已知条件
，得
，
由
，得
，
平方得
，得
，
．
，
由
，得
，则
，
所以
，故A 正确．
对于B，当
为
中点时，
，
则
，故B 正确．
对于C，由
在
上，设
且
，则
与
面积比等于
，
由
得
，故C 正确．
对于D，若
，则
，结合
，得
，
为等边三角形．
,
，
则
，
当
时，
取得最小值
，故D 错误．
12．
/0.5
【详解】由已知得
，
，
因为两向量共线，所以
，解得
．
13．
/
【详解】由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形，
其面积分别为
，
，
，即
，
，
．
三式相乘得
，所以
，
三棱锥的体积为
．
14．6
【详解】因
，所以
，
由题意，
．
，
已知
、
为单位向量，夹角为
，故
，
则
，解得
．
15．(1)证明见解析
(2)
（或
）
【详解】（1）由已知
，
，
所以
．
因为
，
是夹角为
的单位向量，
所以
，且
，
代入得
，
因此，
与
垂直
（2）设向量
与的夹角为，则
．
先计算
．
再计算
，
所以
；
，
所以
．
于是
，
因为
，故
（或
）．
16．(1)
或
(2)当
时，
在复平面内对应点的坐标为
，且该点位于第二象限；当
时，
在复
平面内对应点的坐标为
，该点位于第四象限．
【详解】（1）设
，其中
，
由
，得
，
又
，
则
．
因为
为纯虚数，
所以实部为零，虚部不为零，即
，
联立方程
，解得
．
当
时，
；当
时，
．
所以
或
．
（2）由
，而
，
故
．
当
时，
，
在复平面内对应点的坐标为
，且该点位于第二象限；
当
时，
，
在复平面内对应点的坐标为
，且该点位于第四象限．
综上，当
时，
在复平面内对应点的坐标为
，且该点位于第二象限；
当
时,
在复平面内对应点的坐标为
，该点位于第四象限．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理
，得
，
代入已知
，得
．
因为
，
，得
，即
．
又
为锐角三角形，所以
；
（2）由正弦定理得
，所以
，
．
因为
，所以
，即
，
因为
是锐角三角形，所以
解得
．
周长
．
．
由于
，则
，从而
，
，
所以周长
的取值范围是
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在直三棱柱
中，底面是等腰直角三角形，
，
，
所以
，
的内切圆半径
，
圆柱的高
，
所以圆柱的表面积
．
（2）直三棱柱的外接球球心
位于上下底面外心连线的中点，
设
外接圆的圆心为
，
底面直角三角形外心
是斜边
的中点
，则
，
，所以
，
外接球半径
，
体积
．
（3）设底面
的内心为，
由球的几何性质，
的取值范围为
，
代入
得
，
即
的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心
的距离
的最大值的平方，
设点
在底面
的投影为
，
到底面的竖直距离为，
，
当
取最大值
（即
在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量
的
最大值出现在底面内切圆圆周上，
因此
的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得，
在
中，内切圆半径
，外接圆半径为
，
内心到外心
的距离为
，
，
，
故
．
19．(1)
(2)①
；②
【详解】（1）根据已知，由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
由
得
，故
．
（2）①由（1）知
，则
，
由面积
得
，即
，
又由余弦定理
，
代入
，
得
，
设
的中点为
，则
，
，
故中线长
为
．
②由角平分线得
，
又
，得
，
，
则
，
由余弦定理
，即
，
所以
，
，
由
（当且仅当
时取等号），得：
所以
，
又
为三角形边长，则
，故
综上所述，
的取值范围为
．
