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山东省烟台市2025-2026 学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题
一、单选题
1．已知复数满足
（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知向量，满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．6
3．一水平放置的四边形
，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形
，如图所示，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
4．已知圆台上、下底面半径分别是1 和3，体积为
，则该圆台的高为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
5．在
中，
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．如图，为测量河对岸
两点间的距离，在楼顶A 处观察C 的俯角为30°，观察点D 的俯角为60°，B 为
楼底一点且
平面
，若楼高
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知在梯形
中，
，
，
，
，点E 在
边上运动（包
含端点），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，则角A 的大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
，
且
，下列说法正确的有（ ）
A．
是纯虚数
B．若
，则
C．
是虚数
D．若
，则
是纯虚数
10．已知向量
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若向量，夹角为锐角，则
C．若
，则
D．若向量在方向上的投影向量为
，则
或
11．在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知向量
，
，若
，则的值为_____.
13．已知正三棱柱
，
，
，则其外接球表面积为______.
14．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
_____；
的最大值为_______.
四、解答题
15．复数
，
，其中i 是虚数单位，且
为纯虚数.
(1)求复数
：
(2)设复数
，
，
在复平面内对应的点分别为
，
，
，O 为坐标原点，若以O，
，
，
四
个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数
.
16．如图，圆锥
的母线长为
，侧面展开图为半圆，过
上一点
作平行于底面的截面，以该截
面为底面挖去圆柱
.
(1)若
，求剩下几何体的表面积；
(2)当挖去的圆柱
侧面积最大时，求圆柱的体积.
17．如图，观测站C 在目标A 的南偏西
方向，经过A 处有一条南偏东
走向的公路
，在C 处观测
到有一轿车从A 处沿此公路向B 处行驶，行驶
后到达D 处，此时测得
.
(1)求A，C 两地的距离；
(2)若此轿车从D 处继续行驶，经过20 分钟后到达B 处，且
，求该车行驶的速度（单位：
）.
18．在①
，②
，③
这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，
c，且______.
（注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分）
(1)求角
的大小；
(2)D 为
上一点，且
.
（i）若D 满足
，
，求
的值；
（ii）若D 是线段
的中点，求
的最大值.
19．在
中，
，
，点
平面
，
，且点B，D 位于直线
两
侧.
(1)若
，
，求
的值；
(2)若为钝角，
，求四边形
面积的最大值.
参考答案
1．D
【详解】因为
，则
，
所以在复平面内对应的点为
，位于第四象限.
2．A
解：
．
3．C
【详解】在等腰梯形
中，
，
，
，则
，
将直观图复原为原图，如图所示：
则
，所以
.
4．B
【详解】设圆台的高为，
则
，解得
．
5．B
【详解】因为
，
，
则
，
若
，则
，所以
.
6．C
解：由题可知
，
又
平面
，
平面
，
，
又
，所以
，
又
，所以
．
7．D
【详解】以A 为原点，
、
所在的直线分别为
轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
，
，所以
，
设
，故
，
因为
，所以
，
则
，
，
所以
，
因为
，其对称轴为
，取得最小值
，
当
，取得最大值
，所以
8．A
【详解】设
的外接圆半径为
，
则
，
因为
，即
，可得
，
又因为
，
由余弦定理可得
，即
，
且
，所以
.
9．ABD
【详解】因为复数
，
且
，则
.
对于选项A：
是纯虚数，故A 正确；
对于选项B：若
，即
，
则
，所以
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
若
，则
为实数，故C 错误；
对于选项D：若
，则
因为
，所以
是纯虚数，故D 正确.
10．BCD
【详解】因为向量
，
，则
，
对于选项A：因为
，
，
若
，则
，解得
，故A 错误；
对于选项B：若向量，夹角为锐角，则
，且向量，不共线，
则
，解得
，故B 正确；
对于选项C：若
，则
，
，
所以
，故C 正确；
对于选项D：因为向量在方向上的投影向量为
，
则
，解得
或
，故D 正确.
11．ACD
【详解】因为
，整理可得
，
则
，即
，
且
，则
，可得
，
即
，所以
，故A 正确，B 错误；
由余弦定理可得
，即
，
又因为
，则
，解得
，
且
，则
，解得
，
综上所述：
，故C 正确；
因为
，
且
在
内单调递增，则
，
所以
，故D 正确.
12．
【详解】因为向量
，
，则
，
若
，则
，解得
.
13．
【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为
，
则
，解得
，
，
则其外接球表面积为
．
14． 3
【详解】由余弦定理和
，可得
，
所以
，则
；
由余弦定理，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
而
，
由
可得
为锐角，且
，则
，
故
的最大值为
.
15．(1)
(2)
或
或
【详解】（1）因为复数
，
，
则
，
若
为纯虚数，则
，解得
，
所以
.
（2）由题意可知：
，
，则
，
，
因为以O，
，
，
四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，
若
为平行四边形，则
，
所以
，即
；
若
为平行四边形，则
，
所以
，即
；
若
为平行四边形，则
，
所以
，即
；
综上所述：
或
或
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设圆锥
的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为
，圆柱的高为
，
因为圆锥
的侧面展开图为半圆，则
，解得
，
则圆锥的高
，
若
，则
，
，
所以剩下几何体的表面积为
.
（2）因为
，即
，则
，
，
可得圆柱的侧面积为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当挖去的圆柱
侧面积最大时，圆柱的体积为
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：
，
且
，则
为锐角，可得
，
则
，
在
中，由正弦定理
可得
.
（2）在
中，由余弦定理可得
，
即
，可得
，解得
或
（舍去），
则
，所以该车行驶的速度为
.
18．(1)
(2)（i）；（ii）
（1）解：选择条件①：由正弦定理
，
即
，
，又
，
，
，即
，
又因为
，所以
；
选择条件②：
，
即
，
解得
，又
，所以
，
所以
；
选择条件③：
，
解得
，又
，
，
，
；
（2）（i）因为
，
和
分别是与
、
同向的单位向量，
所以
是
的角平分线，即
，
又
，即
，
化简得
，即
，
由余弦定理
，可得
，
即
，
将
代入上式可得
，
令
，则
，
即
，解得
或
(舍去)，
所以
，则
，
由正弦定理
，可得
，
，
所以
；
（ii）因为
是线段
的中点，所以
，
，
，
由余弦定理
，可得
，即
，
根据基本不等式
，可得
，即
，当且仅当
时取等号，
所以
，则
，
故
的最大值为
．
19．(1)
(2)
【详解】（1）在
中，因为
，
，则
，
由正弦定理
可得
，
又因为
，则
，
在
中，由正弦定理
可得
，
又因为
，则
，
所以
.
（2）在
中，因为
，则
，
由正弦定理
可得
，
又因为
，则
，
且
，则
，
可得四边形
面积
，
又因为
，则
，
当
，即
时，
取得最大值
，
所以四边形
面积的最大值为
.
