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浙江省A9 协作体2025-2026 学年第二学期高一期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8 小题，共40 分。
1.在复平面内，复数
所对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.在
中，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
3.已知
与
的夹角为
，则
（ ）
A. 2
B.
C.
D. 3
4.如图，在正方体
中，点
是
的中点，则下列直线中与平面
平行的是（ ）
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
5.已知m,n 是两条不同的直线,
,
是两个不同的平面,则以下说法正确的是( )
A. 若m
,n
,
,则m
n
B. 若m
,m
n,
,则n
C. 若m
,n
,
,则m
n
D. 若m
n,n
,m
,则
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6.如图，用斜二测画法画出
的直观图是
，直线
垂直于
轴，
，则在
中，
点
到边
的距离是（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
7.已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3,高均为4,则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知
在
所在平面内，满足
，若
，
，
则
的面积是（ ）
A. 2
B. 3
C.
D. 4
二、多项选择题：本大题共3 小题，共18 分。
9.下列说法中不正确的是（）
A. 若
，则
B. 若
，则
是一个单位向量
C. 若
，则
D. 若
，则
与
的夹角为钝角
10.在
中，角
的对边分别为
，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
为等边三角形
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C. 若
，则
的面积最大值为
D. 若
，则满足条件的
有两个
11.在正四棱台ABCD-
中,AB=
,其内切球O 的半径是2,则下列说法中正确的是( )
A. 球O 的表面积是16
B. 直线OC 与直线
是异面直线
C. 正四棱台ABCD-
的体积是
D. 直线
与平面ABCD 的夹角是
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.已知复数
，则
.
13.在平面直角坐标系中，已知点
，点
，若点
在以
为直径的圆上，
，则
.
14.在
中，角
的对边分别为
，若
，点
满足
，则
的最大值
是 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13 分)
设复数
=(m+1)-(2m-2)i,
=(n-1)+ni,
=m+ni.
(1)若
是实数,
是纯虚数,求
|;
(2)若
,
互为共轭复数,求
.
16.(本小题15 分)
在锐角
中，角
的对边分别为
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
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17.(本小题15 分)
如图,在平行四边形ABCD 中,AB=2AD=4,A=
,点E 为AB 的中点,将
ADE 沿直线DE 翻折成
DE(点
不在面BCDE 内),点F 为
C 的中点.在
ADE 翻折过程中,
(1)证明:直线FB
平面
DE;
(2)若
C=
,求二面角
-DE-C 的大小.
18.(本小题17 分)
如图，在梯形
中，
，点
在
上，且
与
相
交于点
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
；
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(3)若点
在以点
为圆心，2 为半径的圆上，求
的取值范围.
19.(本小题17 分)
如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
是等边三角形，平面
平面
，点
是
的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)若直线
与平面
的夹角的正切值为
，
（i）求四棱锥
的体积；
（ii）求三棱锥
的外接球的半径.
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1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】解:(1)由
是实数知2m-2=0,故m=1，
由
是纯虚数知
,故n=1，
所以
=1+i,
|=
；
(2)由
,
互为共轭复数可知
,
解得
，
故
=4+6i.
16.【答案】（1）解：因为
所以，根据正弦定理边化角得
即
，
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所以
，
又因为
，所以
，即
又因为
，所以
（2）解：因为
，
，
所以，由
得
因为，在锐角
中，
，所以
，
所以
，所以
所以
周长的取值范围为
17.【答案】解：（1）证明：取
的中点
，连接
，
为线段
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
，
，
四边形
为平行四边形，则
平面
，
平面
，可得
平面
，
又
，
，
平面
，
可得平面
平面
，
平面
，
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则
面
.
(2)由A=
及(1)可得
DE 及
GDE 是等边三角形,
设DE 中点为O,则
O
DE,GO
DE,
所以
OG 即为二面角
-DE-G 的平面角，
在
DC 中,由余弦定理有
DC=
=
,
解得
G=
，
又在
DE 中,
O=
,
在
GDE 内,GO=
.
所以在
OG 中,
O=OG=
G,故
OG=
,
所以二面角
-DE-C 的大小为
.
18.【答案】（1）解：梯形
中，
，
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所以
为等腰梯形，
因为点
在
上，且
，
所以
，
，
所以
.
（2）解：设
，则
因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
，即
（3）解：
由（2）可得
又
如图，由向量数量积的几何意义知，
，即
所以
所以
.
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19.【答案】解：1）证明：设
中点为
，则由
是等边三角形知
由四边形
为矩形得
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
所以
平面
，
又
平面
，所以
又
，
平面
所以
平面
.
由点
是
的中点，得
，
所以
四点共面，
所以直线
平面
（2）解：（i）设
中点为
，
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所以
，又因为
，
所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
过点
作
平面
，因为平面
平面
，
所以点
在
上.
所以
是直线
与平面
所成的角，
因为
是等边三角形，
，
所以在
中，
，
，
因为直线
与平面
的夹角的正切值为
所以在
中，
，所以
.
因为四边形
为矩形，
所以在
中，
，即
，解得
，
所以
因此四棱锥
的体积是
.
（ii）由（1）知直线
平面
中点为
，
所以，点
与点
关于平面
对称，
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所以，三棱锥
的外接球与三棱锥
的外接球关于平面
对称，
接下来求三棱锥
的外接球半径.
设
中点为
中点为
中点为
，
三棱锥
的外接球球心为
，半径长为
.
则
平面
，
，
即
，
解得
，因此
.
所以三棱锥
的外接球的半径为
