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2024-2025 学年浙江省 A9 协作体高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 ，则 在复平面内对应的点为
A. =5−6 B . C. D.
2.如(5图,6)，已知水平放置的 (5,−的6直) 观图中， ′(5,′6 ) ， ′ ′ (5，,−那6么 ) 的面积为
△ =3 =2 △
A. B. C. D.
3.已3知平面 ，直线 ， 满足4 ， ，则5“ ”是“ ”6 的
A.充分不必 要条件 1 2 1 ⊄ 2 ⊂ B.必要 1/不/ 充2 分条件 1//
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 与 的夹角为 ， ， ，若 ，则实数
60° | |= 1 | |= 3 ⊥( + ) =
A. B. C. D.
3 4
5.在−三2角形 中，内角 ，1 ， 所对的边分别为−3， ， ，且 2 ，则三角形
的形状为 (2 − )cos = −
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.给出下列命题，正确的是
A. 的充要条件是 且
B. 若 = ，则它们的起| |点=和| 终 | 点 均//相 同
C.若 存 =在 实 数 ，使得 ，则
D.若 ， ， ， 是平 面 =内 的 四点 ， //且 ，则 ， ， ， 四点一定能构成平行四边形
7.已知 复 数 是关于 的方程 = 的 一个根，则 等于
2
A. =2+ B. + +C .=0( , ∈ ) D. | + |
8.已知21正方体的棱长为 ， ，41， ， 为该正方2体上6四个不共面的顶5点，则四面体 内切球的半径最
大值为 1
A. B. C. D.
2−1 1 3 3 3
2 2− 6 6 4
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1 7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正四棱台 中，下列说法正确的是
− 1 1 1 1
A. 和 异面 B. 和 共面
C.平 1面 1 平面 D. 平 面1 1与平面 相交
10.已知 圆1 锥 的//底面半 径1 为1 ，母线长为 ，则下列说 法1 正 确的是 1 1
8 10
A.其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B.该圆锥表面积为
8
C.该圆锥的体积为 5 D.过该圆锥顶点的截80面 面积的最大值为
11.任意一个复数 都12可8写 成复数的三角形式，即 ， 50 ，
2 2
棣莫弗定理 由法国数学家棣莫弗创立．设 两=个 复+数 用 =三 角(co函s 数+形 式 表 )示为 =| |= + ≥0 ，∈
[0,2 ). ，则 1 = 1(cos 1+ 1)
2 = 2(cos 2+ 2) 1 2 = 1 2[cos( 1+ 2)+ ( 1+ 2)]
A.
3 3
B. −1 是 + 方 = 程 2 cos 的4虚 + 数 s 根 in ，4则
3 2
0 =1 0 = 0
C. ，则 的范围为
2 3
D. |满 |足=1 | + +1| 的复数4有,3且只有 个
2025 6
三、填空 题：=本(题 +共13)小=题1，每小题 5分，共215分。
12.已知 ， 为两个不共线的向量， ， ，则 ________ 用 ， 表示
13.在锐角 1 三 角 2 形 中，内角 ， ， =所2对 1 的 +边 分 2 别 为=3， 1 −，2， 2 且 −2 = ， (， 则 1 2 面)积
的最大值为_____ __ _ sin =2cos2 =2 △
14.已知 为等边三角形，线段 的中点为 ，且 ，则 的取值范围是________
四、解答△题 ： 本题共5小题，共77分 。解答应写 出文字 说=明 ， 证=明1过程或 演 ⋅算 步 骤。
15. 本小题 分
设复(数 13 ) ， ．
若 1 =2是−实 数 ( ，∈求 )； 2 =1+
1
(1) 若 1+ 是 2 纯虚数，求 2的共轭复数．
(2) 1 2 1
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2 716. 本小题 分
已知(向量 15 )， ， ．
若 ， 所=成(1角,3为) 钝 角=，( 求,−的2)取值 =范(围2,；−1)
(1)若 ，求 在 上的 投影向量 结果用坐标表示 ．
(127). 本 小⊥题( − 分) ( )
( 15 )
已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ．
10
求△角 ； cos = 10 2 ( − )= sin
(1)设 ，求 的面积．
(128). 本 小=题2 分△
( 17 )
如图所示，正四棱锥 ， ，底面边长 ， 为侧棱 上的点，且
2
− =1 = 2 =3
求正四棱锥 的体积；
(1)若 为 的中 点−， 证 明： 平面
(2) //
侧棱 上是否存在一点 ，使 平面 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由
( 1 3 9 ). 本小 题 分 //
在 ( 中，17内角) ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
△求 角 ； + cos = 3 sin =2
(1)若 为锐角三角形，求 的取值范围
(2) △ +
若 的面积 ， 为线段 上一点，且存在 ，使得 ，求 长度的
3
(取3)值范△围 ∈ 0, 2 >0 = | | + | |
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.−4 1 +5 2
3
14.
1 3
15.解
− ：4,4
为实数，
，(1)∵ 1+ 2 =3+(1− )
∴ =1 ；
1 2− (2− )(1+ ) 3 1
∴ 2 =1+ =(1+ )(1− )=2+2 ，
(2) 1 是2 =纯(虚2数−， )(1+ )=2+ +(2− )
∵ 1 2
，解得 ，
2+ =0
∴ =−2
，
2− ≠ 0
∴ 1的=共2轭+复2 数 ．
∴16 .1解：因为 ，2所−成2 角为钝角，所以 ，
因为 ， ⋅ <0
由 ⋅ =可1×得 +3×(−，2解)=得 −6，
当 与⋅ <共线0 时， 有−6<0 <6，即 ，解得 ，
2
1×(−2)−3 =0 −2−3 =0 =−3
因为当 时， 与 夹角为 ，不符合钝角的条件，
2 ∘
=−3 180
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4 7所以要舍去 ，所以 的取值范围是 ．
2 2 2
因为
=−3
，
又因为
(−∞
，
,−3)∪(−3,6)
(所2)以 − =(2− ,1) ⊥ ( ，− 解 )得 ，
则 ⋅( − )，=1×(2− )+3×1=0 =5
所 以 =(5,−2) ， ， ，
2 2 2
所以 在⋅ 上=的1×投5影+向3量×为(−2)= 5−6=−1 | |= 5 +(−2) = 25+4 = 29 | | =29
5 2
17.解 ： 已知 (−2，9, 所29以 ). ，则 ，
因为 (1) + + ，=所 以 = −( + ) ，sin =sin( −( + ))= sin( + )
所以2sin( − )= sin 2sin( − )= sin( +， )
所以2(sin cos −cos sin )= sin cos +cos sin ，
所以2sin cos −2cos sin = sin cos +cos sin ，
即 2sin cos −sin cos， =2cos sin +cos sin
sin cos =3cos sin
已知 ，且 ，
10
cos = 10 ∈ (0, )
可得 ，
2 10 2 1 3 10
sin = 1−cos = 1−( 10 ) = 1−10= 10
将 ， 代入 中，得到 ，
3 10 10 3 10 10
所以 sin = 10 ， cos 因 为 = 10 si ， n 所 co 以 s =3c ． os sin 10 cos =3× 10 sin
cos =sin 0< < =4
因为 ， ，
(2) = −( + ) = 4
所以 ，
3 10 2 10 2 2 5
sin =sin( + )= sin cos +cos sin = 10 × 2 + 10 × 2 = 5
由正弦定理 可得 ，
3 10 3
sin 2× 10 10 3 10 2 6 5
sin =sin = sin = 2 = 2 = 5 × 2= 5
2 2
所以 ．
1 6 5 2 5 1 24 12
18.解 ： △ =取底2×面正5 方×形2× 5 的=中2×心5，=连5接 ， ．
(1)
中， ， ， ，
1 3
=1 =2 = 2
1 1 1 3 3
= ℎ= × × = ;
连 ，交 于 ，
3 3 2 2 12
(2)， 分别为 ， 的中点， ，
∵ ∴ //
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5 7又 平面 ， 平面 ， 平面
⊄ ⊂ ∴ // ;
存在， ，
(理3)由如下： 取=2中点 ，连结 ， ， ．
，
∵ = ，=又2 平面 ， 平面 ，
∴ // 平 面 ．⊄ ⊂
∴ //
， ，
∵又 =平 面=1 ∴， // 平 面 ，
⊄ 平面 ， 又 ⊂ ，
∴平 面/ / 平 面 ． ∩ =
∴又 平 面//
⊂平面 ．
∴19 .解 /：/ 因 为 ，所以由正弦定理得： ，
而 是 (1) 的内 +角 ，co因s此 =由 3 sin s得in +sin cos = 3，sin即 sin ．
1
△ sin +sin cos = 3sin sin 3sin −cos =1 ( −6)= 2
因为 ，所以 ，因此由 得 ，即 ．
5 1
0< < −6 < −6 < 6 ( −6)= 2 −6 =6 = 3
因为由 知： ，且 ，所以由正弦定理得： ，
2 4 3
(2) (1) = 3 =2 = = 3 = 3
因此
4 3 4 3 2 3 1
+ = 3 ( + )= 3 [ + ( 3 − )]=4( 2 +2 )=
．
4 ( +6)
因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，因此 ，
0< < 2 2
△ { 2 6 < < 2 3 < +6 < 3
所以 ，即 0< 3 − 的 取 < 值2范围是 ．
4 ( +6)∈(2 3,4] + 2 3,4
因为 为线段 上一点，且存在 ，使得 ，所以 是 的平分线，
(3) >0 = ( + ) ∠
| | | |
因此 的面积 ，而 ，
1 1 1 1 3
△ =2 · 6+2 · 6 =4 ( + ) =2 3 = 4
所以 ．
3
= +
因为 ， ，所以 ，即 ，
2 2 2 2 2
=2 = 3 4= + −2 3 = + − =( + ) −3 + = 3 +4
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6 7因此 ．
3 3 3
= + = 3 +4 = 3 1 2
+4
因为 ，所以由 得 ，因此 ，
3 3 1 1
∈(0, 2 ) = 4 0< <2 ∈ 2,+∞
所以 ，即 长度的取值范围是 ．
3 30 30
0< < 1 1 2 = 5 0, 5
3×2+4× 2
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7 7
