文档内容
2024-2025 学年浙江省 9+1 联盟高一下学期 4 月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，集合 ，则 ( )
A={x|−6B”是“sinA>sinB”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4
4.已知sin(α+β)= ，tanα=3tanβ，则sin(α−β)=( )
5
1 2 1 2
A. B. C. D.
10 5 5 3
5.设a，b∈R，若−1−1
a b
6.已知函数 f(x)= { log 2 x,x≥1 ，若 f(2−a2 )>f(a) ，则实数 a 的取值范围是( )
−x2+2x−1,x<1
A. (−∞,−1)∪(2,+∞) B. (−1,2)
C. (−2,1) D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
7.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 为常数 ，则 的值为( )
f(x) R x≥0 f(x)=2x+m(m ) f(−log 3)
2
2 2
A. 2 B. −2 C. D. −
3 3
8.已知⃗AB与⃗AC是平面内两个非零向量，|⃗AB|=2，|⃗AC|=3，∠BAC=60∘，点P是∠BAC平分线上
的动点 . 当 P ⃗ A⋅(P ⃗ B+P ⃗ C) 取最小值时， |P ⃗ A| 的值为( )
3√3 5√3 √6 6
A. B. C. D.
5 8 4 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 页，共 页
1 19.已知向量 ⃗a=(1,2) ，⃗b=(−2,1) ，⃗
c=(3,1)
，则以下说法正确的是( )
A. ⃗
|a|=√5
3 1
B.
⃗在⃗c方向上的投影向量为(
, )
a
2 2
C. ⃗a+⃗b与⃗c垂直
D. 若⃗a+k⃗b与⃗c的夹角为锐角，则k的取值范围是(−∞,1)
10.对于复数z，下列说法正确的是( )
A. 若z2≥0，则z∈R
1
B. 若|z|=1，则z+ ∈R
z
C. 若z3=1，则z=1
D. |z−2+i|表示复平面上z对应的点到点(2,−1)的距离
⃗ ⃗ ⃗
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 中，AP=λAC+μA A ，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，下
1
列结论正确的是( )
A. 若μ=1时，三棱锥C−PBD的体积为定值
B. 若λ+μ=1时，△BPD周长的最小值为2+√2
9
C. 若2λ=μ=1时，三棱锥P−BCD外接球体积为 π
16
3
D. 若M为BC中点，则B P+PM的最小值为
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
第 页，共 页
2 12 2√3
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= π，a=2，c= ，则b= ．
3 3
13.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为50πcm2，则此圆锥的体积为 cm3．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=3bcosA，且b=3，则△ABC面积的
最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=(log x−1)(log x−3)．
2 2
(1)求不等式f(x)≤0的解集A;
(2)若对任意的x∈A，不等式f(x)≥mlog x恒成立，求实数m的取值范围．
2
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，F是线段AD上靠近点A的三等分点，
⃗ ⃗
BG=λBC
，设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b．
1
(1)若λ= ，求∠FEG的大小;
3
1 ⃗ ⃗ 1
(2)若λ= ，EF⋅EG= ，求cos<⃗a，⃗b>.
2 3
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA，请在
①a=2;②b=2;这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
(1)求角A的大小;
(2)若 ，求△ABC面积的取值范围．
18.(本小题17分)
第 页，共 页
3 14
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=2，AC=2√2，且三棱锥P−ABC的体积V = ，D是AB上靠近点A
3
的三等分点，E是BC中点，连接CD、AE交于点F，G在线段PF上，直线AG交平面PBC于点M，且
AG PG
= ．
GM GF
(1)若AF=λFE，求λ的值;
(2)求三棱锥P−FBM的体积;
(3)若PA+PC=4，求此三棱锥P−ABC的高．
19.(本小题17分)
在△ABC中，AB=1，AC=√3，∠BAC=θ，
π
(1)当θ= 时，P是△ABC内一点，
2
①若P是△ABC的内心，求线段AP的长;
π 2π
②若∠APB= ，∠APC= ，求线段AP的长;
2 3
π
(2)当θ= 时，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且△≝¿是正三角形，求△≝¿的面积的最小值．
3
第 页，共 页
4 1参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.B
8.B
9.ABC
10.ABD
11.ACD
2√3
12.
3
125√3
13. π
3
14.9
15.解：(1)令t=log x，
2
则原不等式f(x)=(log x−1)(log x−3)⩽0可化为(t−1)(t−3)⩽0，解得1⩽t⩽3，
2 2
即1⩽log x⩽3，
2
所以2⩽x⩽8，
不等式f(x)⩽0的解集为A={x|2⩽x⩽8}．
由题意得： ，
(2) (log x) 2−4log x+3⩾mlog x
2 2 2
3
因为2⩽x⩽8，所以log x+ ⩾m+4
2 log x
2
令t=log x，t∈[1,3]．
2
3
原不等式可化为t+ ⩾m+4对于t∈[1,3]能成立，
t
3
因为t+ ⩾2√3，当t=√3时取等号．
t
故2√3⩾m+4，
第 页，共 页
5 1所以m⩽2√3−4，
即m的取值范围是 ．
⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗
16.解：(1)EF= b− a，EG= a+ b，
3 2 2 3
⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
EF⋅EG=( b− a)⋅( b+ a)= b2− a2=0，
3 2 3 2 9 4
π
故∠FEG= ;
2
⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗
(2)EF= b− a，EG= a+ b，
3 2 2 2
⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1 ⃗ ⃗ 1⃗ 1
EF⋅EG=( b− a)( b+ a)= b2− a⋅b− a2= ，
3 2 2 2 6 12 4 3
故⃗a⋅⃗b=2，
⃗ ⃗
⃗ a⋅b 2 1
故cos<⃗a，b>= = = ．
⃗ ⃗ 2×3 3
|a||b|
17.解：
(1)∵2bcosA=acosC+ccosA⇒2sinBcosA=sin AcosC+sinCcosA⇒2sinBcosA=sin(A+C)⇒2sinBcosA=sinB
1
∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，∴cosA= ，
2
π
∵A∈(0,π)，∴A= ，
3
(2)若选①a=2;
a b c 4√3
由正弦弦定理可知： = = = ，
sin A sinB sinC 3
1 √3 4√3 4√3 2π 4√3 √3 1
S = bcsin A= bc= sinBsinC= sinBsin( −B)= ( sinBcosB+ sin2B)
ΔABC 2 4 3 3 3 3 2 2
4√3 √3 1−cos2B 4√3 1 π 1 2√3 π √3
= ( sin2B+ )= ( sin(2B− )+ )= sin(2B− )+ ，
3 4 4 3 2 6 4 3 6 3
第 页，共 页
6 1π π 2√3
又因为锐角三角形，B∈( , )，故S ∈( ,√3];
6 2 ΔABC 3
若选②b=2，
2π
√6 2√2sin( −B)
由正弦定理可知a= ， 2√2sinC 3 ，
sinB c= =
sinB sinB
2
√3sin( π−B)
1 √3 √3 2sinC 3 3 √3，
S = bcsinA= c= = = +
ΔABC 2 2 2 sinB sinB 2tanB 2
π π √3
又因为锐角三角形，B∈( , )，S ∈( ,2√3).
6 2 ΔABC 2
⃗ ⃗ ⃗ 3 ⃗ ⃗ 3
18.解：(1)设BF=xBA+ yBC= xBD+ yBC，∵F，D，C三点共线，故 x+ y=1①
2 2
同理 B ⃗ F=xB ⃗ A+ yB ⃗ C=xB ⃗ A+2yB ⃗ E ，∵A，F，E三点共线，故x+2y=1②，
1 1
由①②可得x= ，y= ，
2 4
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
故BF= BA+ BE，故F为AE中点，故AF=FE，即λ=1；
2 2
(2)连接PE，∵M∈AG，AG⊂平面PAE，∴M∈平面PAE，
又∵M∈平面PBC，且平面PAE∩平面PBC=PE，∴M∈PE，
AG PG
连接MF，在ΔGAP和ΔGMF中， = ，且∠AGP=∠MGF，
GM GF
第 页，共 页
7 1故△GAP∽△GMF，故∠GAP=∠GMF，故AP//MF，
又∵F为AE中点，故M为PE中点，
1
V =V = S ℎ
P−FBM F−PBM 3 ΔPBM F→面PBM
1 1 1
= ×( S )×( ℎ )
3 4 ΔPBC 2 A→面PBM
1 1 1 4 1
= × S ℎ = × = ；
8 3 ΔPBC A→面PBC 8 3 6
1
(3)S = AC⋅AB⋅sin∠BAC=2√2sin∠BAC≤2√2，当∠BAC=90∘时，取到等号，
△ABC 2
在△PAC中，设PA=x，PC= y，∠APC=θ，AC边上的高为ℎ，
x2+ y2−8 (x+ y) 2−2xy−8 8−2xy 4−xy
则cosθ= = = = ，
2xy 2xy 2xy xy
√x2y2−(4−xy) 2 √8xy−16 1 1
则sinθ= = ，则 AC×ℎ = xysinθ，故
xy xy 2 2
xysinθ √8xy−16
ℎ
= = =√xy−2，
AC 2√2
又因为x+ y=4≥2√xy⇒xy≤4，故ℎ =√xy−2≤√2，当且仅当x= y=2时取到最大值，
设三棱锥P−ABC的高为H，则H≤ℎ，
1 1 1 4
则V = S H≤ S ℎ≤ ×2√2×√2= ，当∠BAC=90∘时且PA=PC=2且H= ℎ时，取到
P−ABC 3 ABC 3 ABC 3 3
第 页，共 页
8 1等号，
故三棱锥P−ABC的高为H=√2．
π
19.(1)①因为，AB=1，AC=√3，∠BAC=θ= ，所以BC=√12+(√3) 2=2，
2
三角形周长为C =1+2+√3=3+√3
△ABC
设内切圆半径为r，则
√6−√2
故AP=√2r=
2
π
②设∠PAC=α，则∠ACP= −α，
3
AP √3
= =2
在△ABP中，AP=sinα，在△APC中， π 2π ，
sin( −α) sin
3 3
π √3 √21
所以sinα=2sin( −α)， 于是tanα= ，所以AP= ．
3 2 7
2π 2π
(2)设∠BDE=α，BC=a，DE=x，则∠ADF= −α，∠AFD=α，∠EFC= −α，
3 3
BE x xsinα
在△BDE中， = ，所以BE= ，
sinα sinB sinB
CE x
=
在ΔEFC中， 2π sinC，
sin( −α)
3
2π
xsin( −α)
所以 3 ，因为BE+EC=a，
CE=
sinC
第 页，共 页
9 11 √3 a
所以 在△ABC中， = = ，
sinC sinB sin A
1 a 1 a
所以 = ， = ，
sinB √3sin A sinC sin A
a 1
x= =
所以 2a 2√3a 2π 2 2√3 2π
sinα+ sin( −α) sinα+ sin( −α)
3 3 3 3 3 3
2 2√3 2π 2+√3 √16+4√3
因为 sinα+ sin( −α)= sinα+cosα= sin(α+φ)，
3 3 3 3 9
√ 9
所以x≥ ，
16+4√3
9√3
所以ΔDEF面积的最小值为S = ．
min 64+16√3
第 页，共 页
10 1
