文档文本内容
2025 学年第二学期嘉兴市八校联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字
､
､
､
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效
4.考试结束后，只需上交答题纸选择题部分
一单选题：本大题共
､
8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若复数
，则
的虚部是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果.
【详解】因为复数
，则
的虚部是
，
故选：B
2. 已知
，则
的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助平面向量坐标运算法则计算即可得.
【详解】由
，则
.
3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A.
是棱台
B.
是圆台
C.
不是棱柱
D.
是棱锥
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念即可判断．
【详解】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A 错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B 错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C 错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念的理解，属于基础题．
4. 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A 等于（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】结合余弦公式即可求解
【详解】由
，又
，解得
，
故选：B
【点睛】本题考查由余弦定理求角，属于基础题.
5. 已知平面向量
，
，则
与
夹角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】设
与
的夹角为
，则
，
，
.
故选：B.
6. 如图，
在正方体
中，
分别为棱
的中点，有以下四个结论：①
直线
与
是相交直线；②直线
与
是平行直线；③直线
与
是异面直线；④直线
与
是异面直线.其中正确的结论为（ ）
A. ③④
B. ①②
C. ①③
D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线的判定定理逐一判断.
【详解】因为
平面
，
平面
，且
，
故直线
与
是异面直线，故①错误；
因为平面
平面
，
平面
，
平面
，
所以
没有公共点，
又
，
不平行，
故
不平行，即
为异面直线，
即
四点不共面，
所以直线
与
也是异面直线，故②错误；
因为
平面
，
平面
，
，
所以直线BN 与
是异面直线，故③正确；
因为
平面
，但
平面
，
，
所以直线AM 与
是异面直线，故④正确．
7. 如图所示，已知在
中，
是线段
上的靠近A 的三等分点，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】因
是线段
上的靠近A 的三等分点，则
.
8. 已知在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
，
，则
的
值为（ ）
A.
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由余弦定理得
，
又
，所以
，所以
，
所以由正弦定理得
．
二､多选题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数
，则下列叙述正确的是（ ）
A.
的实部为1
B.
的共轭复数为
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【详解】对于A，
的实部为1，正确；
对于B，
的共轭复数为
，正确；
对于C，
，正确；
对于D，
，错误.
10. 已知向量
，则下列说法正确的有（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
与
的夹角为钝角，则
且
D.
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据数量积的运算律得到
，再由数量积的坐标表示判
断B，根据向量夹角公式计算并排除共线情况判断C，根据投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：因为
，所以
，解得
，故A 错误；
对于B：若
，则
，
即
，
所以
，即
，解得
，故B 正确；
对于C：因为
与
的夹角为钝角，所以
，
且
与
不共线，解得
且
，故C 正确；
对于D：因为
，
，所以
在
上的投影向量为
，故D 正确.
11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于
1996 年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli 的屋顶，得到圆锥SO（其中S 为顶点，
为底面圆心），
已知圆锥
的侧面积和表面积分别为
和
，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长为
B. 圆锥
的体积为
C. 圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为
D. 若
是
的中点，过点
且与圆锥
底面平行的平面将圆锥
分成两部分，这两部分的体积分别
为
，则
【答案】AC
【解析】
【分析】求出圆锥
的底面半径、高、母线长后，结合圆锥体积和圆台体积公式逐项判断可得答案.
【详解】设圆锥底面半径为
，高为，母线长为，
则¿，解得¿，则h=√l
2−r
2=8 ；
对A：圆锥的母线长为
，故A 正确；
对B：圆锥
的体积
，故B 错误；
对C：
，故C 正确；
对D：
，则圆锥
的高为
，底面半径为
，
则V 1= 1
3 π⋅(
r
2)
2
⋅h
2 =12π ，故
，
即
，故D 错误.
非选择题部分
三､填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知
，
，
与
的夹角为60°，则
________.
【答案】10
【解析】
【分析】
由数量积的定义直接计算.
【详解】
.
故答案为：10.
13. 如下图，
是
用“斜二测画法”画出的直观图，其中
，那么
的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积即可得.
【详解】将直观图还原后，如图所示：
由
，则
，
，
故
.
14. 已知关于
的实系数方程
有一个模为1 的虚根，则实数
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的
关系，可以求出结果.
【详解】因为关于
的实系数一元二次方程
有一个模为1 的虚根，
所以方程
的判别式小于零，即
或
，
由已知两根是互为共轭的虚根，设为
，而由题意可知：
，
由根与系数的关系可得：
，而
，
因此有
，解得
.
或
，
舍去，
满足题
意.
故答案为：
.
四､解答题：本大题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
.
（1）若
，求
的值.
（2）设
，向量
与
的夹角为
，求
的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两向量共线的充要条件坐标表示式计算即得；
（2）利用数量积运算律化简等式求出
的值，再利用向量夹角的坐标表示式即可求得.
【小问1 详解】
由
可得
，解得，
；
【小问2 详解】
由
可得，
，即
，解得
，
此时，
，
，
，
则
，因
，故
.
16. 已知复数
，
．
（1）若
是纯虚数，求
；
（2）若
在复平面内对应的点位于第二象限，求
的取值范围．
【答案】（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出
，再利用复数的模长公式计算即可；
（2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可.
【小问1 详解】
因为
是纯虚数，所以
，解得
，
则
，所以
，故
．
【小问2 详解】
由题意可得
，解得
，
所以
的取值范围为
．
17. 在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为
，b，c，
．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理即可求得
，进而可求B；
（2）由余弦定理及已知条件可求
的值，进而利用三角形面积公式求得答案.
【小问1 详解】
在△ABC 中，由正弦定理，因为
，
所以
，又
，
∴
，所以
，即
，
因为
，所以
；
【小问2 详解】
因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得
，
∴
，解得
，则
，
所以△ABC 的面积
.
18. 如图，已知直四棱柱
的底面是边长为2 的正方形，
，
分别为
的中点.
（1）求三棱锥
的表面积；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求证：
四点共面.
【答案】（1）16 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解；
（2）根据棱锥的体积公式求解；
（3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可.
【小问1 详解】
由题意，
，
在三角形
中，
，
所以
，
所以
.
【小问2 详解】
,
因为三棱锥
的高
，
所以
.
【小问3 详解】
连接
，
因为
分别为
的中点，所以
且
.
因为
是直四棱柱，且底面是正方形，
所以
，且
，即四边形
是平行四边形，
所以
又
，所以
，
所以
四点共面.
19. 在
中，角
的对边分别为
已知
（1）求角
（2）过
作
，交线段
于D，且
，求角
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为
变换角
，最后进行三角恒等变化即可求解；
（2）利用
，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得.
【小问1 详解】
由正弦定理得：
．
∵
，∴
，
∴
∴
，
又
，∴
，又
为三角形内角，∴
．
【小问2 详解】
因为
在
边上，且
，所以
．
因为
，所以
，
即
，
所以
．
在
中，由
，
，可得
.
