2025 学年第二学期 S9 联盟期中联考 高一年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂
相应数字；
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每题只有一项是符合要求的.
1. 设集合 A ={x∣−1≤x ≤4 },B ={2,3,4 ,5,6} ，则 A ∩B = ()
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4 }
2. 已知点 A (3,5) 与点 B (1,−2) ，则 |⃗AB|= ( )
A. (−2,−7) B. (4 ,3) C. √53 D. 5
3. 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a,b,c ,若 A :B:C =1:2:3 , 则
a:b:c = ( )
A. 1:4:9 B. 1:2:3 C. 1:√2:√3 D. 1:√3:2
4. 函数 f (x)=e
x+ x−4 的零点所在的大致区间是( )
A. (1,2) B. (−1,0) C. (0,1) D. (2,3)
5. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上,若球的体积为 32π
3 ,则正方体的棱
长为( )
A. 2√2 B. 2
C. 4√3
3 D. 2√3
3
6. 如图， ΔO
′ A
′ B
′ 是水平放置的 ΔOAB 的直观图，其中 O
′ A
′ =3 ， O
′ B
′ =5 ，
则 △OAB 的周长是 ( )
A. 12 B. 24
C. 11+√61 D. 9+√41
7. 已知定义域为 R 的偶函数满足 f (x)= f (x−4) ，且 x∈[−4 ,−2] 时
f (x)=1−x
2 ， 则 f (2026)= ( )
A. 2 B. -2
C. −1
2 D. 0
8. 在 △ABC 所在平面内有一点 P ,满足 2⃗PA +⃗PC =⃗AB+⃗PB ,则 △PAB 与 △PBC
的面积之比是( )
A. 1
2 B. 1
3 C. 2
3 D. 2
5
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 每题给出的选项中, 有多项符合
题 目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 关于复数 z 与其共轭复数 ´z ,模 |z| ,下列说法正确的是( )
A. z + ´z∈R B. z⋅´z∈R
C. z
2= ´z
2 D. 若 |z−1|=2 ，则 |z| 的最大值是 3
10. 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c ，以下判断正确的是( )
A. cos( A + B)=cosC
B. 若 sin A >sin B ，则 A >B
C. 若 a=√5,b=√15, A =30
∘ ,则符合条件的 △ABC 有两个
D. 若 △ABC 为锐角三角形,则 sin A >cos B
11. 如图, AC 为圆锥 SO 的底面圆 O 的直径,点 B 是圆 O 上异于 A ,C 的动
点， SO =1,OC =√3 ，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥 SO 的侧面积为 2√3 π
B. 圆锥 SO 截面 Δ SAB 面积取值范围为 (0,√3)
C. 三棱锥 S−ABC 体积的最大值为 1
D. 若 AB = 1
2 AC ， E 为线段 AB 上的动点，则 SE+CE 的最小值为 2√3+1
三、填空题:本题 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 z 满足 z =(2−i)⋅i ，则复数 z 的虚部为_____.
13. 已知 x>0, y >0 ，向量 ⃗a=(x , y),⃗b=(1,2) ，且 ⃗a⋅⃗b=1 ，则 1
x + 1
y 的最小值
为_____.
14. 若函数 f (x)=3sin(ωx −π
4)(ω>0) 在 [−π
4 , π
4 ω] 上恰好存在 2 个不同的 x0
满足 f (x0)=−3 , 则 ω 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15. 如图所示，在长方体 ABCD−A
′ B
′C
′ D
′ 中， AB = 4 , AD = A A
′ =2 .
(1)求此长方体的表面积与体积；
(2)求图中棱锥 D
′−A
′CD 的体积与长方体的体积之比.
16. 已知向量 ⃗a=(4 ,2),⃗b=(−1,k ),k ∈R .
(1)当 ⃗a//⃗b 时，求 k 的值；
(2)当 ⃗a⊥⃗b 时，求 k 的值；
(3)若向量 ⃗c =(5,6) 且 ⃗c = x⃗a+2⃗b ，求实数 x ， k 的值
17. 记 △ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c .
(1)若
a
cos A =
b
cos B ，试判断三角形形状，并说明理由；
(2)若 a=2,b=3,c =√7 ，求 △ABC 的面积；
(3) 若 a=2,b=3,1+cos B =2cos
2 A ，求 c .
18. 已知函数 f (x)=2sin(2 x + π
4) .
(1)求 f (x) 的最小正周期及 f (x) 的单调递增区间；
( 2 )求 f (x) 在区间 [0, π
2] 上的最大值和最小值，以及取最值时 x 的值.
(3)已知 α ∈[0, π
4],f(
α
2)=√3 ,求 cos(α −π
12) 的值.
19. 在锐角 △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 2a−b=2c cos B
.
(1)求角 C ；
(2)若 b= 4 ，点 D 在边 AB 上， CD 为 ∠ACB 的平分线，且 CD =2√3 ，求
边长 a 的值.
(3)若 b= 4 ，求 △ABC 的周长取值范围.
高一期中试卷参考答案
一, 单选题 (40 分)
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
D
C
D
A
C
C
A
B
7. A 解析: 由题意知周期 T = 4 ,所以 f (2026)= f (2+506×4)= f (2)
又为 f (x) 偶函数,所以 f (2)= f (−2)=1−−2
2 =2
8. B 解析: ∵2⃗PA +⃗PC =⃗AB+⃗PB
∴2⃗PA +⃗BC =⃗AB
∴2⃗PA =−(⃗BA +⃗BC)
设 AC 中点为 D , AD 中点为 E . 则 2⃗PA =−2⃗BD ,
∴ 四边形 ABEP 为平行四边形, BP 过点 E .
∴S△PAB
S△PBC
= AE
EB = 1
3
二、多选题(18 分)
题号
9
10
11
答案
ABD
BCD
AC
10. BCD 解析: 对 A 由诱导公式知 cos( A + B)=−cosC ,错误;
对 B ,由 sin A >sin B 和正弦定理可得 a>b ,由大边对大角可知 A >B ,正确;
对 C ,若 a=√5,b=√15, A =30 ,则 bsin A = √15
2 < √20
2 =√5<√15 ,
即 bsin A <a<b ,所以符合条件的 △ABC 有两个,正确;
对 D ,∵A + B> π
2 ,∴A > π
2 −B ,∴sin A >sin(
π
2 −B)=cos B ,正确.
故选: ABC
11. AC
解析: 在 Rt △SOC 中, SC =√SO
2+OC
2=2 ,则圆锥的母线长 l =2 ,半径 r =OC =√3
,
对于 A ,圆锥 SO 的侧面积为: S = πrl =2√3 π ， A 正确；
对于 B ,轴截面最大时 ∠ASB = π
2 ,所以面积最大为 2,B 错误
对于 C ,当 OB⊥AC 时, △ABC 的面积最大,此时 S△ABC = 1
2 ⋅2√3⋅√3=3 ,
则三棱锥 S−ABC 体积的最大值为: V = 1
3 ⋅3⋅1=1 ， C 正确；
对于 D ,由 AB = 1
2 AC ,∠ABC = π
2 ,得 AB =√3,BC =3 ,
有 △SAB 为等腰三角形，将 △SAB 以 AB 为轴旋转到与 △ABC 共面的位置，
得到 Δ S1 AB 为等腰三角形， S1B =2, AB =√3 ，
sin ∠S1BA =√
2
2−(
√3
2 )
2
2
= √13
8
于是 (SE+CE)min= S1C ,
S1C
2= S1B
2+ BC
2−2S1B⋅BC ⋅cos(∠S1BA + π
2)=2
2+3
2−2⋅2⋅3⋅(−√13
8 )= 26+3√13
2
所以 SE+CE 最小为 √
26+3√13
2
, D 错误.
三、填空题(15 分)
12. 2 13. 3+2√2 14. [9,17]
13. 解析: ∵⃗a⋅⃗b=1∴x +2 y =1
∴1
x + 1
y =(x +2 y)(
1
x + 1
y)=3+ 2 y
x + x
y ≥3+2√
2 y
x ⋅x
y =3+2√2
14. 解析: ∵x∈[−π
4 , π
4 ω],∴ωx −π
4 ∈[−ωπ
4 −π
4 ,0]∵f (t )=3sin t 时
f(−π
2)=−3= f(−5 π
2 )= f(−9 π
2 )∴−9 π
2 <−ωπ
4 −π
4 ≤−5 π
2 ,∴9≤ω<17
四、解答题
15.(1)表面积 S =(4⋅2+2⋅2+ 4⋅2)⋅2= 40 3 分
体积 V = 4⋅2⋅2=16 3 分
(2) V D
′−A
′CD=V C −A
′ D D
′= 1
3 ⋅1
2 ⋅2⋅2⋅4 = 8
3 4 分
∴
V D
′−A
′CD
V ABCD−A
′ B
′C
′ D
′ = 1
6 3 分
16. 解 (1) 由 ⃗a//⃗b 得 4 k +2=0∴k =−1
2 . 4 分
(2) ∵⃗a⊥⃗b∴−4 +2k =0∴k =2 .
(3) ∵⃗c = x⃗a+2⃗b=(4 x ,2 x)+(−2,2k )=(4 x −2,2 x +2k )
∴{
5= 4 x−2
6=2 x +2k ,3 分 ∴{
x = 7
4
k = 5
4
. 4 分
17. (1) 由
a
cos A =
b
cos B 得 sin A
cos A = sin B
cos B
∴sin A cos B−cos A sin B =0∴sin ( A −B)=0
∴A = B Δ ABC 为等腰三角形. 4 分
(2)因为 a=2,b=3,c =√7 ，
由余弦定理可得 cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 4 +9−7
2×2×3 = 1
2 ,
因为 C ∈(0,π ) ,所以 C = π
3 , 2 分
故 △ABC 的面积为 S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×2×3× √3
2 = 3√3
2
3 分
(3) 5
2 _____解 5 (3) Lφ = Lσ =2cos
2 A ，所以 cosB =2cos
2 A −1=cos2 A ， 由 a<b
可知 A 为锐角,即 A ∈(0, π
2) ,
又因为 B∈(0,π ) 且余弦函数 y =cos x 在 (0,π ) 上单调递减,
由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B ，即
2
sin A =
3
sin 2 A =
3
2sin A cos A ，
所以 cos A = 3
4 ,故 sin A =√1−cos
2 A =√
1−(
3
4)
2
= √7
4 ,2 分
所以 sinC =sin ( A + B)=sin ( A +2 A)=sin A cos2 A +cos A sin 2 A
=sin A (2cos
2 A −1)+2sin A cos
2 A =sin A (4 cos
2 A −1) ， 2 分
由正弦定理
a
sin A =
c
sinC 得
c = asinC
sin A = 2sin A (4 cos
2 A −1)
sin A
=2(4 cos
2 A −1)=2×(4× 9
16 −1)= 5
2 . 2 分
18.(1) T = 2π
2 = π ; 2 分
令 −π
2 +2kπ ≤2 x + π
4 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z ,得 −3 π
8 + kπ ≤x ≤π
8 +kπ ,k ∈Z ,
故 f (x) 的单调递增区间为 [−3 π
8 +kπ , π
8 +kπ],k ∈Z ; 3 分
(2) x = π
8 时 f (x) 有最大值 2； x = π
2 时 f (x) 有最小值 −√2 . 6 分
(3) ∵f(
α
2)=√3∴sin(α + π
4)= √3
2
∵α ∈[0, π
4]∴cos(α + π
4)= 1
2 3 分
∴cos(α −π
12)=cos[(α + π
4)−π
3]=cos(α + π
4)cos π
3 +sin(α + π
4)sin π
3 =13 分如学生
直接得出 α = π
12 ,求得结果也给满分.
19. (1)C = π
3 ;(2)4
解析: (1) 2a−b=2c cos B ,由正弦定理得 2sin A −sin B =2sinC cos B ,2 分
又 sin A =sin[π −(B+C )]=sin (B+C )=sin B cosC +cos B sinC ,
所以 2sin BcosC +2cos BsinC −sin B =2sinC cos B ,即 2sin BcosC −sin B =0 ,
因为 B∈(0,π ) ,所以 sin B>0 ,故 2cosC −1=0 ,即 cosC = 1
2 ,2 分
又 C ∈(0,π ) ,所以 C = π
3 ;
(2)由(1)知， C = π
3 ，
又 CD 为 ∠ACB 的平分线,故 ∠ACD =∠BCD = π
6 ,
其中 CD =2√3 ，由三角形面积公式得
S△ACD= 1
2 AC ⋅CD sin ∠ACD = 1
2 ×4×2√3× 1
2 =2√3 ，
S△BCD= 1
2 BC ⋅CD sin ∠BCD = 1
2 a⋅2√3× 1
2 = √3
2 a,
又 S△ABC = 1
2 AC ⋅BC sin ∠ACB = 1
2 ×4 a⋅√3
2 =√3a ，
显然 S△ABC = S△ACD+ S△BCD ,即 √3a=2√3+ √3
2 a,4 分
解得 a= 4 . 2 分
(3) ∵
a
sin A =
c
sinC =
b
sin B =
4
sin B
∴a+c =
4
sin B
(sin A +sinC)=
4
sin B(sin(B+ π
3)+sin π
3) 2 分
∴a+c =
4 sin(B+ π
3)+2√3
sin B
= 2sin B+2√3cos B+2√3
sin B
=2+ 2√3(cos B+1)
sin B
∴a+c =2+ 2√3
tan B
2
2 分
由 △ABC 是锐角三角形得 π
6 <B< π
2 , π
12 < B
2 < π
4
∴tan B
2 ∈(2−√3,1)
∴a+c∈(2+2√3,8+ 4√3)
二周长 a+b+c∈(6+2√3,12+ 4√3) 2 分
第三问利用图像做也可以.
