文档内容
2025 学年第一学期杭州 S9 联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标，则答案可求.
【详解】 ，
对应的点位于第四象限.
故选：D.
的
【点睛】本题考查了复数代数形式 乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.
2. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得直线 与直线 平行，即充分条件成立；由直线 与直线 平行，求得 的值为 ，即必要条件成立；
【详解】因为 ，所以直线 ，直线 ，则 与 平行，故充分条
件成立；
当直线 与直线 平行时， ，解得 或 ，当
时，直线 与直线 重合，当 时，直线 ，直线
平行，故必要条件成立.
综上知，“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件.
故选：A.
3. 已知 是空间直角坐标系 中一点，与点 关于 平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案.
【详解】易知点 关于 平面对称的点的坐标是 .
故选：B.
4. 如图，在平行六面体 中， ， ，
则 （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图及空间向量加法可得 ，后由题意及模长公式可得答案.
【详解】设 ，因为六面体 是平行六面体，
所以 ，因为 ，
代入计算可得：
，
故有： ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故选：B
5. 已知 是正实数，直线 平分圆： 所围成的面积，则
的最小值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 25
【答案】D
【解析】【分析】由题意可得直线过圆心，根据均值不等式中“1”的妙用，可得答案.
【详解】由圆： 整理可得： ，则该圆的圆心为 ，
由题意可得直线 过圆心 ，则 ，整理可得 ，
所以 ，
由 为正实数，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 .
故选：D.
6. 函数 的图象向右平移 个单位长度后，其图象关于 轴对称，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于 轴对称（函数为偶函数）求得 值．
【详解】把函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度，
所得图象对应的函数是 （ ），且它是偶函数，
所以 （ ）， ，（ ），
又因为 ，所以 .
故选：B．7. 若直线 在 轴上的截距为 ，且它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则
的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用截距求出 ，再利用倾斜角的关系，结合斜率与二倍角公式列式求出 即可.
【详解】由直线 在 轴上的截距为 ，得 ，解得 ，
由直线 的倾斜角为 ，得 ，直线 的倾斜角为 ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故选：A
8. ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 （
与 不重合， 为坐标原点），则以下结论：（1） 为定值；（2） 的面积的最
大值为 ；（3） 的最大值为5；（4） 的最大值为 .其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】先求出定点 的坐标，根据直线方程可得两条直线垂直即 ，进而判断（1），结合
基本不等式可判断（2），进而可得点P的轨迹方程，然后根据圆的性质及柯西不等式判断（3）（4）.
【详解】对于直线 ，变形为 ，令 ，解得 ， 定点 ，
对于直线 ，变形为 ，
令 ，解得 ， 定点 ，
对直线 和直线 ，
，故两条直线垂直， ,
, ， 为定值，故（1）正确，
设 ，由以上可知 ，根据基本不等式可得 ，当且仅当
时等号成立，
的面积 ，
的面积的最大值为 ，故（2）正确；
设 ， ， ，则 ， ，
，即 ， 在以 为圆心，
为半径的圆上，
故 的最大值为 ，故（3）正确；设 ，由上可知 ，根据柯西不等式可得 ，即
，
，当且仅当 时取等号， 的最大值为 ，故（4）正确.
故选： .
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，不同的平面 ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则
B. 若 ，且 ，则
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可.
【详解】A，因为 ， ，所以 ，
又 ，所以不同的平面 满足 ，故A正确；
B，若 ，且 ，则 或两平面相交，
比如：正方体的底面和侧面中分别取直线 ，且 ，但是底面和侧面并不平行，故B错误；
C，若 ，且 ，则两平面相交或平行，
比如：正方体的上下两个底面中分别取直线 ，且 ，上底面与 平行，但是上底面与下底面并不
垂直；故C错误；D，因为 ， ，则 ，又 ，所以 ，故D正确.
故选：AD
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 过点 ）且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为
B. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C. 圆 与圆 恰有三条公切线，则
D. 已知圆 ，过点 向圆 引两条切线 为切点，则直线 方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据截距可为零、点到直线距离、圆与圆的位置关系，公共弦所在直线方程等知识对选项进行分
析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，如果截距为零，则直线方程为 ，故A错误.
B选项，圆 的圆心为原点，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，
所以圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1，B选项正确.
C选项，圆 的圆心为 ，半径为 .圆 的圆心为 ，
半径为 ，
由于 、 有三条公切线，所以两个圆外切，
所以 ， ，C选项正确.
D选项，圆 的圆心为原点 ，半径为 . ，以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
则 所在直线方程为 即 .
故D选项正确.
故选：BCD
11. 棱长为2的正方体 中，点 在棱 上运动，点 是棱 的中点，则下列说法
正确的是（ ）
的
A. 若 是棱 中点，则 平面
B. 存在点 使
C. 若 与平面 所成的角记为 ，则
D. 点 到直线 的距离最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用中位线定理与平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得其正误；对于 B，根
据勾股定理以及余弦定理，结合一元二次方程有解的条件，可得其正误；对于 C，由题意建立空间直角坐
标系，计算平面的法向量，结合线面角的向量公式，可得其正误；对于D，根据线面垂直可得距离的垂线
段，结合勾股定理，可得其正误.
【详解】对于A，由题意取 的中点为 ，并连接 ，作图如下：在正方体 中，由 分别为 的中点，
则易知 ，且 ，
所以在平行四边形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，由题意作图如下：
设 ，则 ， ，
， ，
在 中， ，
令 ，化简可得 ，
由 ，则方程无实数解，故B错误；
对于C，以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：则 ， ， ， ，
取 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量 ，
可得 ，
当 时， ，当 时，令 ，
由函数 在 上单调递减，则 ，
所以 ，可得 ，
综上可得 ，故C正确；
对于D，取 的中点 ，连接 交 于 ，
在平面 内，过 作 于 ，连接 ， ， ，作图如下：
在正方形 中，易知 ， ，在正方体 中，易知 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
由 ，当且仅当 重合时，等号成立，
在 中， ，在 中，由 ，则 ，
所以 ，即 到 的距离最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知 ，则 的最小值是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用两点间距离公式求出 ，利用二次函数求最小值.
【详解】 ， ，
当 时， 最小， 的最小值为2.
故答案为：2.
13. 圆心在直线 上且与直线 相切于点 的圆的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.
【详解】依题意，过切点 的圆的半径所在直线方程为 ，即 ，由 解得 ，因此所求圆的圆心为 ，半径 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为：
14. 已知直线 与圆心在原点的圆 相切，函数 过定点 ，过点
作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积的最大值为__________.
【答案】15
【解析】
【分析】根据圆的切线性质，可得圆的半径，根据对数函数的性质求得定点坐标，再根据弦长公式以及基
本不等式，可得答案.
【详解】由原点到直线 的距离 ，则圆的半径 ，
由 ，则 ，即 ，
由题意作 ， ，分别垂足为 ，如下图：
易知四边形 为矩形，则 ，
易知四边形 的面积，
当且仅当 ，等号成立.
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出 ，再由 是锐角三
角形，即可算出角 的大小；
（2）由余弦定理 的式子，结合题意化简得 ，与联解
得到 的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得 的面积．
【详解】解：（1） 中， ，
根据正弦定理，得 ，
锐角 中， ，
是锐角 的内角， ；（2） ， ，
由余弦定理 ，得 ，
化简得 ，
，平方得 ，
两式相减，得 ，可得 ．
因此， 的面积 ．
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；
求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求
最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
16. 已知两直线 .
（1）求过两直线的交点且与直线 平行的直线方程.
（2）已知两点 ，动点 在直线 运动，求 的最小值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案；
（2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案.
【小问1详解】
联立 ，所以两直线的交点为
设与直线 平行的直线方程为 ，
将 代入得，所以所求的直线方程为
【小问2详解】
设点 关于直线 对称的点为 ，
，解得
则 ，
故 的最小值为 .
的
17. 如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2 菱形， ，
，点 分别为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
为
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，由已知可证得四边形 平行四边形，可得
，则得 平面 .
（2）连接 ，交于点 ，可得平面 平面 ，则 为直线 与平面 所成
的角的平面角，以 为原点，直线 所在直线分别为 轴，过点O垂直于平面 的直线为z
轴，建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，求得平面 的一个法向量 ，取平面
一个法向量为 ，由 即可求得二面角 的余弦值.
【小问1详解】
如图：
取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 且 ，
又四边形 为菱形，且 为 中点，所以 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
如图：
连接 ，交于点 ，
因为四边形 为菱形，所以 ，且 为 的中点，
又因为 ，所以 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 ，
所以 是直线 在平面 内的射影，
则 为直线 与平面 所成的角的平面角，则 ，
又 ，
所以 ，
如图，以 为原点，直线 所在直线分别为 轴，
过点O垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 .
取平面 一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，则 ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨
迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为 （ 且 ）的点P的轨迹为
圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点 ， ，若动点P满足 ，动点P轨迹为圆C.
（1）求圆C的方程；
（2）过点 的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长 ，求直线l的方程；
（3）若Q是x轴上的动点， ， 与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线 是否恒过定点？若
是，求出定点坐标：若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2） 或
（3）过定点，
【解析】
【分析】（1）直接法求轨迹，设 ，代入坐标化简即可；
（2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得；
（3）设 ，用 表示出切点弦方程，根据方程可知过定点．
【小问1详解】
设 ，则由 可得 ，
即 ，
则点P的轨迹方程为： ；
【小问2详解】
易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意；
故直线l存在斜率，设直线l为 ，
则点 到直线l的距离为
则
则
所以 或
直线l为 或
【小问3详解】
设 ，则以 为直径的圆的圆心为 ，
记 ，半径为 ，
则此圆的方程为 ，即 ，记此圆为圆P.
因为直线 为圆C与圆P的相交弦所在直线，
所以两圆方程作差可得直线FG的方程为 ，
即 .
由 ，解得
所以直线 恒过定点，定点坐标为 .
19. 在空间直角坐标系 中，定义：过点 ，且方向向量为 的直线
的点方向式方程为 ；
过点 ，且法向量为 的平面的点法向式方程为
，将其整理为一般式方程为 ，其中 ．
（1）已知直线 的点方向式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，求
直线 与平面 所成角的余弦值；（2）已知平面 的一般式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，平面
的一般式方程为 ，若 ，证明： ；
（3）已知斜三棱柱 中，侧面 所在平面 经过三点
，侧面 所在平面 的一般式方程为 ，侧面 所在平面 的
一般式方程为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成
的角的余弦值.
（2）求平面 与 交线的方向向量和平面 的法向量，利用向量的方法，证明直线与平面平行.
（3）分别求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值.
【小问1详解】
由直线 的点方向式方程为 可知直线 的一个方向向量坐标为
由平面 的一般式方程为 可知平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以有 ，所以 ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
【小问2详解】
由平面 可知平面 的一个法向量为 ，
由平面 可知平面 的一个法向量为 ，
设两平面交线 的方向向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由平面 可知平面 的一个法向量为
，
因为 ，即 ，且 ，所以 ．
【小问3详解】
因平面 经过三点 ，可得 ，
设侧面 所在平面 的法向量为
则 ，令 ，解得 ，可得 ，
由平面 可知平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的交线 （即直线 ）的方向向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，可得 ，
由平面 可知平面 的一个法向量为 ，
由 ，则 ，解得 ，即 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解题中给出的结论，并能利用结论解决问题.
