2024-2025 学年浙江省杭州市 S9 联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( )
2 2
A. ={ ∈ | B−. 9<0} ={ ∈C .| = −1, ∈ }D. ∩ =
2.在{0复,1,平2}面内，复数 {1,2} 对应的[−点1位,3于) ( ) (−3,3)
A.第一象限 =(B2.−第5二 )象(−限1−2 ) C.第三象限 D.第四象限
3.已知 ， ， ，则过点 且与线段 平行的直线方程为( )
A. (3,1) (1,−2)B. (1,1) C. D.
4.设3 +2 ，−则5“=0 ”是“2 −3 ”+的1(=0) 3 −2 −1=0 2 +3 −5=0
2
A.充 分∈不 必要条件 >1 > B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数 的单调递增区间是( )
A. ( )=( −2) B. C. D.
(−∞,2) (2,+∞) (−∞,1) (1,+∞)
6.椭圆 的两个焦点分别为 、 ，以 、 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角
2 2
形的另两 2 边+， 2 则=椭1(圆 >的离 >心0率) 为( ) 1 2 1 2
A. B. C. D.
3+1 3+2
7.正方2 体 中3，−直1线 与平面 4(2−所成3角) 的正弦值为4( )
− 1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 6 3
8.定4理：如果函数 及 3满足：①图像在闭区3间 上连续不断；2②在开区间 内可导；③对
( ) ( ) [ , ] ( , ) ∀ ∈
， ′ ，那么在 内至少存在一点 ，满足 成立，该定理称为柯西中值定理．请
( )− ( ) ′ ( )
( , ) ( )≠ 0 ( , ) ( )− ( )= ′ ( )
利用该定理解决下面问题：已知 ，若存在正数 ， ，满足 ，则实数
2 −
的取值范围是( ) ( )= ( < ) ( )= ln + ( )
A. B. C. D.
32 1 8 2 4 1 4 2
二、 − 多 4 选 , 题 ：本题共3小题， − 共 4 1 , 8 分。在每小题给 − 出 4 的 , 选项中，有多项 − 符 4 合 , 题目要求。
9.已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列选项正确的
是 { } ≠0 11 =110 7 3 9
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1 7A. B.
C. 1有2 =最 大 值3+ 9 =20 D. 当=−2 时， 的最大值为
>0 21
10.已知函数 则下列结论正确的有( )
A. 的最小
(
正
)
周
=
期
s
为
in 2 +3 .
B. ( )是 的最大值
2 ( )
C.把函数 的图像上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图像
=sin2 6 = ( )
D.将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于原点对称，则 的最小值为
11.如图所 示 = ， 在 ( 棱 ) 长为 的正方体 ( >0) 中， ， 分别为棱 ， 的中 点，则以下四6个结论
正确的是( ) 1 − 1 1 1 1
A.棱 上存在一点 ，使得 平面
B.直线 1 1 到平面 的距离 为 / / 1
2
1 1 1 3
C.过 且与面 平行的平面截正方体所得截面面积为
9
1 1 1 8
D.过 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
3
三、填 空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 8
12.甲射手击中靶心的概率为 ，乙射手击中靶心的概率为 ，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中
1 1
靶心的概率为________． 3 2
13.已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ．
14.已知斜率 为 的直线与抛60物° 线| |= 2 交| 于|=，1 两点| ，+若2 |= 的外心为 为坐标原点 ，则当
2 | |
最大时， 1 ________． =4 △ ( ) | |
四、解答题| ：|本=题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
在 ( 中，13角 )、 、 的对边分别为 、 、 ， ， ．
△ =2 = 3
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2 7若 ，求 ；
(1) 若 = 4 的面 积 ，求 ， ．
(126). 本△小 题 分 = 3
( 15 )
已知数列 的前 项和 ，数列 是正项等比数列，满足 ， ．
2
+ ∗
求 {， } 的 通项公 式= 2 ( ∈ ) { } 1 = 2 3 = 8
(1) { } { } ;
设 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
,( =2 −1) ∗
(2) = ( ∈ ) { } 99
17. 本小题 ,( 分 =2 )
已知(函数 15 ) ，
若 存( 在)=极 小值−， 且−极1小 值( 为)= ，ln求 .
(1)若 ( ) ，求 的取值范围．−1 ;
(128). 本 小( )题≥ (分 )
如图(，在三棱17锥 ) 中， ， 为 的中点，平面 平面 ．
− = ⊥
证明： ；
(1)若 =， ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
(129). 本 小 题⊥ 分 =2 = =1
( 17 )
已知双曲线 ： 的实轴长为 ，一条渐近线的方程为 ，过点 的直线 与
2 2
2
的右支交于 ， 2 两−点 2 ．=1( >0, >0) 4 = 2 (6,0)
求 的标准 方 程；
(1) 是 轴上的定点，且 ．
((ⅰ2)求) 的 坐标； ∠ =90°
(ⅱ)若 的外接圆被 轴截得的弦长为 ，求外接圆的面积．
△ 16
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
5
13.6
14.2 3
15.4解：10 由 ，
(1) sinA=sinC
得 ．
3
2×2
= = 2 = 6
2
，
1
(2) =2
即 ，得 ，
1 3
又2×2 ， × 2 = ， 3 =2
故 =2 为 等 = 边3三角形，
所以△ ．
=2
16.解： 当 时， ，
2 2
+ ( −1) +( −1)
又 (时1)， ≥2 ， =符合 − −1 ，=故2 − ， 2 ， =
∗
=1 1 = 1 =1 = = ∈
设等比数列 的公比为 ，则
1 = 2 =2
( >0) ,
解得 3 = 8 =8
=2
,
1 =2
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4 7， ；
−1 ∗
∴ = 1 =2 ∈
, =2 −1 ∗
(2)∵ = ( ∈N ),
, =2
，
50×(1+99)
∴ 1+ 3+ 5+⋯⋯+ 99 = 1+ 3+ 5+⋯⋯+ 99 = 2 =2500
，
49 50
4(1−4 ) 4 −4
2+ 4+ 6+⋯⋯+ 98 = 2+ 4+ 6+⋯⋯+ 98 = 1−4 = 3
所以 ．
50 50
4 −4 4 +7496
17.解 ： 99 = 求3导 +′2500= 3，令 ′ ，则 ，
因为 (1存)在极 小值( ，)且=极 小−值 为 ，( )=0 =
所以 ( ) −，1所以 ，
ln
经检验 ( ， )= 符合−题 意 ；−1=−1 =
由 = 可得 ，
(2) ( )≥ ( ) − −1≥ ln
因为 中 的定义域为 ，移项可得 在 上恒成立，
− l n −1
>0(ln >0) ⩽ (0,+∞)
设 ，则 ，
− ln −1
ℎ( )= ( >0) ⩽ℎ( )min
求导 ′ ，
( −1)+1− ( −1)( −1)
ℎ ( )= 2 = 2
令 ′ ，即 ，
( −1)( −1)
因为ℎ ( )=，0 2 =时0 ，所以 ，解得 ，
2
当 >0 时，−1>0( >，0 ) ， 则−1′=0 ， 所=以1 在 上单调递减，
当0< 时<，1 −1，<0 −1，>则0 ′ℎ ( )，<所0以 在ℎ( ) (0,1上) 单调递增，
>1 −1>0 −1>0 ℎ ( )>0 ℎ( ) (1,+∞)
由单调性可知 在 处取得最小值， ，
1
−1×ln1−1
所以 的取值范ℎ围( )是 =1 ． ℎ(1)= 1 = −1
18. 证明：因为 为(−∞的, 中−点1]， ，所以 ，
因为(1平)面 平 面 ，平面 =平 面 ⊥， 平面 ，
所以 平 面 ⊥ ， ∩ = ⊂
又因为 ⊥ 平 面 ，所以 ，
因为 为 ⊂的中点 ， 所以 ⊥ ；
解 ：如 图，取 的中点 ，=连 接 ，
(因2)为 ，所 以 ，
由 = 平 面 ， ⊥ 平 面 ，
(1) ⊥ ⊂
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5 7所以平面 平面 ，
因为平面 ⊥平面 ， 平面 ， ，
所以 平 面 ∩ ， = ⊂ ⊥
如图， 以⊥ 为坐 标 原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，
过点 且与 平行的直线 为 轴 ， 建立空间直角坐 标系 ，
−
因为 ， ， ， 为 的中点，所以 ，
1
因为 ⊥ ， = 所 以 =2 ，所以 ， =2 = 2
2 2 2
则 = ， =1 ， +， = ， ⊥
1 1 2
(0,0,0) (2,0,0) (0,2,0) (2,2, 2 )
所以 ， ， ，
1 1 2
设平面 =(的2,一2,个2法)向 量 为=(2,0,0) =，(0,2,0)
1 =( 1, 1, 1)
所以 ，即 ，
1 1 2
1 ⋅ =0 2 1+2 1+ 2 1 =0
令 1 ⋅ ， 解=得0 2， 1 =0 ，所以 ，
设平 1面=−1 的一个 法1 =向0量为 1 = 2 1， =(0, 2,−1)
2 =( 2, 2, 2)
所以 ，即 ，
1 1 2
2 ⋅ =0 2 2+2 2+ 2 2 =0
令 2 ⋅ ， 可=得0 2 2，=0 ，所以 ，
设平 2面=−1 与平面 2 = 的2夹角 2为=，0 2 =( 2,0,−1)
则 ，
| 1 ⋅ 2 | 1 1
=| 1 || 2 |= 3× 3=3
平面 与平面 的夹角的余弦值为
1
3
19.解： 因为 的实轴长为 ，渐近线方程为 ，
(1) 2 =±
所以 ， ，
2
解得2 =，4 = 2，
=2 = 2
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6 7所以 的标准方程为 ；
2 2
是 轴上的定点，4 且− 2 =1 ，
∘
(故2)直 线斜 率不为 ，设直∠线 的 方=程90为 ，
设 ， 两点坐标0为 ， ，= +6
( 1, 1) ( 2, 2)
联立 ，化简得， ，
= +6
2 2 2 2
( −2) +12 +32=0
4 − 2 =1
则 2 ，解得 ，
−2≠0
2 2
= 12 −4×32× −2 >0
− 2< < 2
32
1 2 = 2 −2<0
所以 ， ．
12 32
设 1+ ， 2 则 =2− 2 1 2 = ， 2 −2 ，
所以 ( ,0) =( 1− , 1) =( 2− , 2)
⋅ =( 1− )( 2− )+ 1 2 =( 1+6− )( 2+6− )+ 1 2
2 2
=( +1) 1 2+(6− ) ( 1+ 2)+(6− )
，
2 2
32( +1) 12 (6− ) 2
=得 2 −2 − 2 −2 +(6− ) =0 ，
2 2 2 2
32( +1)+12( −6) +(6− ) ( −2)=，0
2 2 2
[ 所 (6 以 − ) +12( −6)+32] +32−2( −6) =0
2
(6− ) +12( −6)+32=0
2 ,
解得 ，所以 的坐标为
32−2( −6) =0
因 为=2 ， 所以 (2,0外);接圆是以 为直径的圆，记为圆 ，
(因3)为 ⊥外 接 圆被 轴△截 得 的弦长为 ， 且 ，
所以圆△ 交 轴于另一 点 ， 16 (2,0)
所以圆心 在直线 (上18，,0显) 然 ，
=10 ≠0
联立 ，得 ，
4
= +6
=
所以 =10的外接圆圆心 ，即为 中点，
4
△ (10, )
所以 ，即 ，
4 1+ 2 6 2 4
= 2 =2− 2 =5
所以圆 半径的平方 ，
2 2 2 4 2
所以 外接圆的 面 = 积 | 为 | = ． 10−2 +( −0) =84
△ 84
第 页，共 页
7 7
