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绝密★考试结束前
2025 学年第二学期S9 联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，每题只有一项是符合要求的.
1. 设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】集合
，
，则A ∩B ={2,3,4} .
2. 已知点
与点
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】因为
，
，所以⃗AB =(1−3,−2−5)=(−2,−7)，
所以|⃗AB|=√(−2)
2+(−7)
2=√53.
3. 已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
，则
（ ）
A. 1∶4∶9
B. 1∶2∶3
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为
，所以
，B =60
°，C =90
°，
所以
4. 函数
的零点所在的区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为函数
与
在
上均是单调增函数，
所以函数
是
上的单调增函数，
因为
，
，
又函数
的图象连续不间断，
所以函数
的零点所在的区间为
.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题.
5. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为
，则正方体的棱长为（ ）
A.
B. 2
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】设正方体的棱长为
，外接球的半径为
，因为正方体的体对角线等于外接球的直径，
即
，得R = √3
2 a ，球的体积公式为V = 4
3 π R
3，代入可得：32π
3
= 4
3 π(
√3
2 a)
3
，
解得a
3= 64√3
9
，所以
.
6. 如图，
是水平放置的
的直观图，其中
，
，则
的周长是（
）
A. 12
B. 24
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直观图得到原图
的形状和边长求和即可.
【详解】由直观图得到原图
是一个直角三角形，且
，
，
，
所以
，
所以
的周长为
.
7. 已知定义域为
的偶函数满足
，且当
时，
，则
（ ）
A. 2
B.
C.
D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】由题意知周期
，所以
又因为
为偶函数，所以
.
8. 在△ABC 所在平面内有一点P，满足
，则△PAB 与△ABC 的面积之比是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵
，
∴PA
→
+ PC
→
= AB
→
+ PB
→
−PA
→
= AB
→
+ AB
→
，
∴
，
设AC 中点为D，如图所示，
所以
，⃗PD =⃗AB，
因为
、
、
、
四点不共线，连接
，
∴四边形
为平行四边形，
所以S△PAB= S△ABD= 1
2 S△ABC
∴
.
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，每题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分.
9. 关于复数z 与其共轭复数
，模
，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若
，则
的最大值是3
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义及复数运算判断AB，根据复数的乘法运算判断C，根据复数的几何意义结
合圆上的点到定点的距离判断D.
【详解】设
，
，则
.
对于A：
，A 正确.
对于B：z⋅z =(a+bi)⋅(a−bi)=a
2−b
2i
2=a
2+b
2∈R ，B 正确.
对于C：z
2=(a+bi)
2=a
2+2abi+b
2i
2=a
2−b
2+2abi ，
z
2=(a−bi)
2=a
2−2abi+b
2i
2=a
2−b
2−2abi ，
所以
不一定成立，C 错误.
对于D：
表示复数
在复平面内对应点的轨迹是以
为圆心，以2 为半径的圆.
表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为1，所以
的最大值为
，D 正确.
10. 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ）
A.
B. 若
，则
C. 若
，
，
，则符合条件的△ABC 有两个
D. 若△ABC 为锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，由诱导公式知
，错误；
对于B，由
和正弦定理可得
，由大边对大角可知
，正确；
对于C，若
，
，
，则
，
即
，所以符合条件的△ABC 有两个，正确；
对于D，∵
，∴
，∴
，正确.
11. 如图，AC 为圆锥SO 的底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A，C 的动点，
，
，则下
列结论正确的是（ ）
A. 圆锥SO 的侧面积为
B. 圆锥SO 截面△SAB 面积取值范围为
C. 三棱锥S-ABC 体积的最大值为1
D. 若
，E 为线段AB 上的动点，则
的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于
B，先求
，确定范围，再求△SAB 面积的范围，对于C，先求
的面积最大值，结合体积公式
求体积最大值即可，对于D，将
以
为轴旋转到与
共面的位置，结合平面几何知识求结论
即可判断.
【详解】在
中，
，则圆锥的母线长
，半径
，
对于A，圆锥SO 的侧面积为：
，A 正确；
对于B，因为轴截面的顶角为
，故
时，所以面积最大为2，B 错误
对于C，当
时，△ABC 的面积最大，此时
，
则三棱锥S-ABC 体积的最大值为：
，C 正确；
对于D，由
，
，得
，
，
有△SAB 为等腰三角形，将△SAB 以AB 为轴旋转到与△ABC 共面的位置，
得到
为等腰三角形，
，
，
，
于是
，
S1C
2= S1B
2+ BC
2−2S1B⋅BC ⋅cos(∠S1BA +π
2 )=2
2+3
2−2⋅2⋅3⋅(−√13
4 )=13+3√13，
所以
最小为√13+3√13，D 错误．
三、填空题：本题3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知复数
满足
，则复数
的虚部为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数
，结合复数的概念可得结果.
【详解】由题意可得z =(2−i)⋅i=1+2i ，
故复数
的虚部为
.
13. 已知
，
，向量
，
，且
，则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【详解】∵
∴
∴
，
当且仅当x
y = 2 y
x ，即
时取等号，又因为
，所以
，
时，
有最小值，为
.
14. 若函数
在
上恰好存在
个不同的
满足
，则
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由
可求得
的取值范围，根据题意得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，当
时，所以
，
由
可得
，
函数
在区间
上从大到小第二个最小值点为
，第三个最小值点为
，
因为函数
在
上恰好存在
个不同的
满足
，
所以
，解得
，即正实数
的取值范围是
.
四、解答题：本题共5 个小题，共77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在长方体
中，
，
.
（1）求此长方体的表面积与体积；
（2）求图中棱锥
的体积与长方体的体积之比.
【答案】（1）表面积
，体积
（2）
【解析】
【小问1 详解】
表面积
体积
【小问2 详解】
∴
.
16. 已知向量
，
，
．
（1）当
时，求k 的值；
（2）当
时，求k 的值；
（3）若向量
且
，求实数x，k 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
由
，可得
，解得
．
【小问2 详解】
因为
，所以
，解得
．
【小问3 详解】
因为⃗c = x⃗a+2⃗b=(4 x−2,2 x +2k )，
所以¿，解得¿．
17. 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.
（1）若
，试判断三角形形状，并说明理由；
（2）若
，
，
，求△ABC 的面积；
（3）若
，
，
，求
.
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将已知等式利用正弦定理进行边化角，利用两角差的正弦公式求角.
（2）利用余弦定理和三角形面积求角.
（3）利用二倍角的余弦公式、余弦函数的图像和性质、正弦定理、两角和的正弦公式求解.
【小问1 详解】
由
得
，
∴
，
∴
，
∴
，
△ABC 为等腰三角形.
【小问2 详解】
因为
，
，
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
，
故△ABC 的面积为
.
【小问3 详解】
因为
，所以
，
由
可知A 为锐角，即
，
又因为
且余弦函数
在
上单调递减，
由正弦定理得
，
即
，
所以
，
故
，
所以
，
由正弦定理
得
.
18. 已知函数
.
（1）求
的最小正周期及
的单调递增区间；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值，以及取最值时x 的值；
（3）已知
，
，求
的值.
【答案】（1）
；单调递增区间为
，
（2）
时
有最大值2；
时
有最小值
（3）1
【解析】
【分析】（1）利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和单调性的性质求解.
（2）利用正弦函数的图像和性质求解.
（3）将
转化为(α +π
4 )−π
3 ，利用两角差的余弦公式求解.
【小问1 详解】
；
令
，
，
得
，
，
故
的单调递增区间为
，
；
【小问2 详解】
，
，
，∴2 x +π
4 ∈[
π
4 ,π+π
4 ]，
∴−√2
2 ≤sin(2 x +π
4 )≤1 ，∴−√2≤2sin(2 x +π
4 )≤2 ，
的最大值为2，此时
，解得
，
有最小值为
，此时
，解得
，
综上可知，
时
的最大值为2；
时
有最小值
.
【小问3 详解】
，
∵f(
α
2)=√3，
∴sin(α +π
4 )= √3
2 ，
∵
，
∴
，
∴cos(α −π
12)=cos[(α +π
4 )−π
3 ]=cos(α +π
4 )cosπ
3 +sin(α +π
4 )sinπ
3 =1 .
19. 在锐角△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角C；
（2）若
，点D 在边AB 上，CD 为∠ACB 的平分线，且
，求边长a 的值；
（3）若
，求△ABC 的周长取值范围.
【答案】（1）
（2）4 （3）(6+2√3,12+ 4√3)
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解
(2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解
(3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域
【小问1 详解】
已知
，由正弦定理得
，
又
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，故
，即
，
又
，所以
；
【小问2 详解】
由（1）知，
，
又
为
的平分线，故
，
其中
，
由三角形面积公式得S△ACD= 1
2 AC ⋅CD sin ∠ACD = 1
2 ×4×2√3× 1
2 =2√3，
S△BCD= 1
2 BC ⋅CD sin ∠BCD = 1
2 a⋅2√3× 1
2 = √3
2 a ，
又S△ABC = 1
2 AC ⋅BC sin ∠ACB = 1
2 ×4 a⋅√3
2 =√3a ，
显然
，即
，解得
.
【小问3 详解】
∵
∴a+c =
4
sin B
(sin A +sinC)=
4
sin B(sin(B+π
3 )+sinπ
3 )
∴a+c =
4 sin(B+π
3 )+2√3
sin B
= 2sin B+2√3cos B+2√3
sin B
=2+ 2√3(cos B+1)
sin B
∴
由
是锐角三角形得
，
，
tan π
12 = tan(
π
3 −π
4)=
tan π
3 −tan π
4
1+ tan π
3 tan π
4
= √3−1
√3+1 =2−√3，
∴
∴a+c∈(2+2√3,8+ 4√3)
∴周长a+b+c∈(6+2√3,12+ 4√3).
