文档文本内容
浙江台州十校联盟2025-2026 学年第二学期期中联考高一年级数学学
科试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1. 已知复数
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】复数
，则
，
故选：A
2. 在三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c.若
，
，
，则C=（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知三角形的三边长，利用余弦定理可求出角C 的值
【详解】因为
，
，
，
所以由余弦定理得，
，
因为
，所以
，
故选：C.
3. 如图，
，设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可知：
.
4. 如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，已知
则四边形
ABCD 的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析直观图等腰梯形，结合斜二测的
夹角，求出直观图腰长，再按斜二测规则还原，得
到原图形上下底和腰长，并在还原后的直角梯形中，用勾股定理算出斜边，最后将四条边长相加，得到四
边形的周长即可.
【详解】由题意可知， 直观图
为等腰梯形，
，
，
过点
作
于
，
， 则
，
在
中，
，
，
根据斜二测画法规则还原原图形
，如图：
则
，
，
∵
在
轴上，
，
作
于
，则
，
，
，
四边形
的周长为：
，
故四边形
的周长为
.
5. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是
，则圆锥的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得
，代入
求出r 和l，
再求出圆锥的高，代入体积公式计算．
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
，即
，
由题意得，侧面积
，
解得
，
，圆锥的高
，
圆锥的体积
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题．
6. 在
中，“
”是“
是锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积运算律可得角
为锐角，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若
，即
，
整理可得
，可知
，
且
，可知角
为锐角，
所以
，等价于角
为锐角，
因为角
为锐角不能推出
是锐角三角形，但
是锐角三角形可以推出角
为锐角，
所以“
”是“
是锐角三角形”的必要不充分条件.
7. 如图，在正方体
中，
为
中点，
为线段
上一动点，过
的平面截
正方体的截面图形不可能是（ ）
A. 三角形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据点
在
、
以及
三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项.
【详解】B 选项，当点
与
重合时，
取
中点
，因为
是
中点，则
，且
，
连接
，则四边形
为平行四边形，
又因为
，所以平行四边形
为矩形，故排除B 选项；
C 选项，当点
与
重合时，
取
中点
，因为
是
的中点，所以
，
连接
，截面四边形
为梯形，故排除C 选项；
D 选项，当点
为
中点时，
因为
是
中点，所以
且
，
连接
，则四边形
是平行四边形，
又因为
，
，
因为是正方体，所以
，所以
，
所以平行四边形
是菱形，故排除D 选项；
不管点
在什么位置，都不可能是三角形.
故选：A.
8. 如图，在梯形
中，
，点
分别在线段
上
运动且
，求
的最大值（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，进而可得数量积的一个二次函数，通过函数求得最
大值.
【详解】以
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，设
，如图：
则
，
，
所以
，
，
，
当
时，
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知复数
满足
，则（ ）
A.
的实部是
B.
的虚部是
C.
D.
在复平面内所对应的点位于第二象限
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数除法运算可化简得到
，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算
与几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】
；
对于A，由实部定义知：
的实部为
，A 正确；
对于B，
，
的虚部是
，B 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，
对应的点为
，位于第二象限，D 正确.
故选：AD.
10. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面
，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理即可判断；根据选项B 的条件得
来判断B；根据
面面垂直的判定定理判断C；根据面面平行的判定定理判断D.
【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条不同直线互相平行，故A 正确；
对于B，因
，不妨设直线
的方向向量分别为
，则
可看成平面
的法向量，
又因
，则
，故
，故B 错误；
对于C，根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
故C 正确；
对于D，根据面面平行判定定理，若
，才能得到
，
因缺少
的位置关系，故得不到
，即D 错误.
11. 在
中，斜边
为
中点，
的角平分线交
于点
，
与
交于点
，下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A 由角平分线可得
，再结合直角三角形中的边角关系可得；对B 先在
中解直角三角形得
，再由角平分线的性质可得；对C 分别在
和
分别
使用等面积法并化简可得；对D 由BC 选项解析可得
，进而计算可得结果.
【详解】设
，则
，
A 选项，根据
为角平分线且
可得
，
化简得
，
而在
中，
，所以
，
将
代入得
，解得
，故A 正确．
B 选项，根据角平分线的性质：三角形内角平分线分对边所得的两条线段的比等于夹这个角两边的比.
因为
为角平分线，则在
中，
为
的角平分线，则有
，
根据
得
，所以
，
根据
，解得
，故B 正确．
C 选项，在
和
分别使用等面积法可得
，且
，
化简得
，两式相除可得
，
，即
，将
代入得
，故C 错误．
D 选项，根据C 选项可得
，
根据B 选项可得
，而
，
所以
，得证，故D 正确．
非选择题部分
三、填空题：本大题共3 小题，每题5 分，共15 分．
12. 在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
______．
【答案】
或
【解析】
【分析】直接由正弦定理可得所求角，再用内角和定理检验可得
【详解】因为
中，
，由正弦定理
，
得
，因为
，所以
或
，
因为
，经检验，
或
均符合题意.
13. 已知
，则
在
上的投影向量为______．
【答案】
【解析】
【详解】
,
在
上的投影向量为
.
14. 在三棱锥
中，三条棱
两两垂直，且
，
，
．若点
为
三棱锥
的外接球球面上任意一点，则点
到平面
距离的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，将三棱锥
还原成长方体
，则该长方体的体对角线即为三棱
锥
外接球的直径，根据长度，求出外接球的半径，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定
理及同角三角函数的关系，求出
的值，根据正弦定理，求出
的外接圆半径r，分析求解，
即可得答案.
【详解】如图，因为
两两垂直，
所以三棱锥
的外接球，即为长方体
的外接球，
因为
，
，
，
所以长方体
的体对角线
，
所以长方体
外接球半径即三棱锥
的外接球半径为
，
又
，
，
，
在
中
，
由
余
弦
定
理
，
，
则
，
由正弦定理，可得
的外接圆半径为
，
所以球心到平面ABC 的距离为
，
所以点M 到平面ABC 距离的最大值为
．
故答案为：
四、解答题：本大题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数
，
．
（1）若
是实数，求
；
（2）若
是纯虚数，求
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1 详解】
因为
是实数，
所以
，即
，
所以
；
【小问2 详解】
，
因为
是纯虚数，所以
，解得
，
所以
，
．
16. 已知平面向量
，其中
．
（1）若
为与
方向相同的单位向量，求
的坐标；
（2）若
且
与
垂直，求向量
夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数乘及向量的模求解即可.
（2）根据向量垂直及向量数量积运算律求出
，结合向量夹角的求法求解即可.
【小问1 详解】
设
由
得
，解得
所以
【小问2 详解】
因为
与
垂直，所以
即
，
又
，
，所以
.
所以向量
夹角的余弦值
.
17. 如图，圆柱
轴截面
是边长为
的正方形，动点
在底面圆周上．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若点
为弧
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线线垂直证
平面
，进而可得
平面
，再由面面垂直的判定定
理可得；
（2）先根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中用余弦定理可得角的余弦值.
【小问1 详解】
如图，连接
，
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
平面
平面
，
.
又
为圆
的直径
平面
平面
,
平面
，又
，
平面
，
平面
∴平面
平面
【小问2 详解】
延长
交圆
于点
，连接
易得
，所以
且
，所以
.
且
，所以四边形
是平行四边形，即
且
，
因此可得
且
，四边形
是平行四边形，即
.
所以
或其补角即为异面直线
与
所成角.
∵点
为弧
的中点且
为直径，
且
，可得
.
，在
中，
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
18. 在
中，角
的对边分别是
，若
．
（1）求
；
（2）若
，
，求
的面积；
（3）若
，求锐角
面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合
消去
，化简后通过同角三角函数关系求
；
（2）已知
，先用余弦定理列方程解出
，再代入三角形面积公式
计算；
（3）先用正弦定理将
用
表示，结合锐角三角形条件求出
的范围，再将面积转化为关于
的三角函
数，结合单调性求值域．
【小问1 详解】
由
得
，
因为
，所以
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，又因为
，所以
；
【小问2 详解】
由
，得
，解得
，
（舍去），
所以
；
【小问3 详解】
因为
，
，所以
，
由
，得
，
所以
，
因为
为锐角三角形且
，所以
，
则
，
，
，
，
所以
．
19. 如图，在四棱锥
中，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若平面
底面
，求直线
与底面
所成角的正切值；
（3）若
，求锐二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得；
（2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得
即为所求角，然后在直角三角形中计算可得；
（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得.
【小问1 详解】
取
的中点为
，连接
，则
，且
，
又
，且
，所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
，且
平面
平面
，所以
平面
.
【小问2 详解】
由（1）知
，所以直线
与底面
所成角即直线
与底面
所成角，
如图，过
作
于
，
又平面
底面
，平面
底面
平面
，
则
底面
，
所以
即为直线
与底面
所成角.
取
的中点
，连接
，因为
，则
．
因为
为
的中点，所以
为
的中点．
又
，
则
，
在
中，
，
所以
，
即直线
与底面
所成角的正切值为
【小问3 详解】
如图，过
作
交
于
，连接
，
因为
，
则
即为平面
和平面
的夹角的平面角.
因为四边形
为直角梯形，
，
所以
，又因为
，
，所以
．
当
时，在
中，
，
由余弦定理得
，
在
中，
，
由余弦定理得
．
