高一数学学科试题答案第1 页(共5 页)
2025 学年第二学期期中考试
高⼀数学学科答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
C
A
B
D
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0 分.
9
10
11
AC
ABD
ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．16 24
,
13 13
13．2
14．11
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
原牛考院15．解：(1)过点C 作CF
AB
，垂足为F ，则
4
CF
，
3
BF
，
所以
5
BC
……3 分
25
8
35
68
S
S
S
S
表
半球
侧
下底面
;
……8 分
(2)V
V
V
半球
台
=
2
2
3
1
1 4
(
)
3
2 3
r
R
Rr h
r
= 1
1 4
(4
25
10) 4
8
3
2 3
=140
3 .
……13 分
16．解：(1)
1
2
1
2
4
,
2
AC
AB
BC
e
e
CD
e
me
，
……2 分
若
,
,
A C D 三点共线，即
,
AC CD
共线，即存在实数t 使得AC
tCD
成立，
……4 分
即
1
2
1
2
4
(2
)
e
e
t
e
me
，即
1
2
4
2 )
(1
)
0
t e
tm e
(
，
……5 分
则4
2
0
1
0
t
tm
，所以
1
2
2
t
m
，
.
……7 分
(2)
ABD
是钝角，则
0
BA BD
，且BA
BD
与
不共线，
……9 分
又
1
2
2,0
1,2
e
e
，
，
4
4
BA
，
，
9,2
2
BD
m
m
，
……10 分
即
12
28
0,
BA BD
m
即
7
3
m
，
……12 分
又
11
BA
BD
m
不共线，即
与
，
……14 分
高一数学学科试题答案第2 页(共5 页)
综上，
7
11
3
m
m
且
.
……15 分
17．解：(1)
( )
cos2
3sin 2
2sin 2
6
f x
x
x
x
，
……4 分
要求
( )
f x 的增区间，即令
3
2
2
2
,
2
6
2
k
x
k
k
Z
，
……5 分
解得
5
,
3
6
k
x
k
k
Z
，
……6 分
即
( )
f x 的增区间为
5
,
,
3
6
k
k
k
Z
.
……7 分
(2)可得( )
2sin
6
x
x
g
，
……10 分
已知
y
g x
m
在区间
,
3 2
上有两个不同的零点，
等价于方程2sin
6
x
m
在区间
,
3 2
上有两个不同的实根，
……11 分
令
6
t
x
，则
2
6
3
t
，
，
……12 分
已知函数
2sin
y
t
在
6 2
t
，
上单调递减，在
2
2
3
t
，
上单调递增，
当
6
t
时，
1
y ；当
2
t
时，
2
y ；当
2
3
t
时，
3
y
……14 分
所以
3.
m
-2
……15 分
18．解：(1)选①2sin
sin
2sin
cos
B
C
A
C
，
所以
2 sin
cos
cos
sin
sin
2sin
cos
A
C
A
C
C
A
C
，
……2 分
所以2cos
sin
sin
A
C
C
，
……3 分
因为sin
0
C
，所以
1
cos
2
A
，所以
3
A
……5 分
选②
sin
sin
sin
0
a
b
B
A
c
b
C
所以
0
a
b
b
a
c
b c
，
……2 分
所以
2
2
2
0
b
a
c
bc
，即
2
2
2
b
c
a
bc
……3 分
所以
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，所以
3
A
……5 分
选③
sin
sin
2 3
cos
a
B
b
A
c
a
B
，
所以
sin
sin
sin
sin
2 3 sin
sin
cos
A
B
B
A
C
A
B
,
……2 分
所以2sin
sin
2 3cos
sin
A
B
A
B
……3 分
高一数学学科试题答案第3 页(共5 页)
因为sin
0
B
，所以tan
3
A
，所以
3
A
……5 分
(2)(ⅰ)因为
2
BD
DC
，所以
1
2
3
3
AD
AB
AC
．
……6 分
所以
2
2
2
1
4
4
9
9
9
AD
AB
AC
AB AC
，即
2
2
1
4
2
1
9
9
9
c
b
bc
……7 分
所以
2
2
2
2
2
2
2
3
9
4
2
2
2
2
2
2
4
b
c
c
b
bc
b
c
bc
b
c
b
c
……9 分
所以
2
2
12
b
c
，2
2 3
b
c
（当且仅当2
3
b
c
时，取等号）
……10 分
所以2b
c
的最大值为2 3
……11 分
(ⅱ)因为AE
EB
，所以
1
2
AE
c
……12 分
因为
2
2
2
2
cos
CE
AC
AE
AC AE
CAE
所以2
2
2
2
1
1
4
2
t b
b
c
bc
，所以
2
2
2
1
1
1
3
1
1
4
2
4
4
c
c
c
t
b
b
b
……13 分
因为
sin
sin
cos
cos
sin
1
3
sin
sin
2
2tan
c
C
A
B
A
B
b
B
B
B
……14 分
因为
ABC
为锐角三角形，所以
0
2
2
B
B
A
，所以6
2
B
，
……15 分
所以
3
tan
3
B
，所以
1 ,2
2
c
b
，
……16 分
所以
2
3 ,1
4
t
，所以
3 ,1
2
t
所以实数t 的取值范围为
3 ,1
2
．
……17 分
19：（1）当
1
a 时，
( )
f x 为R 上的偶函数．理由如下：
……1 分
当
1
a 时，
2
( )
log (4
1)
x
f x
x
2
2
4
1
log (
)
log (2
2
)
2
x
x
x
x
，
……3 分
2
(
)
log (2
2 )
( )
x
x
f
x
f x
，
( )
f x 为R 上的偶函数．
……5 分
（2）法一：可作
2
|
( ) | |
3|
y
g x
x
x
在(0,
)
上的草图.
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①当[ , ]
(0,1)
m n
，则
|
( ) |
y
g x
在[ , ]
m n 上单调递减，
2
3
2
3
m
kn
m
n
km
n
，
两式相除整理得(
) (
3)
0
m
n
m
n
，
3
m
n
与
2
m
n
相矛盾．
……7 分
②当[ , ]
[1, 2]
m n
，则
|
( ) |
y
g x
在[ , ]
m n 上单调递增，
2
3
2
3
m
km
m
n
kn
n
，
可以理解为
2
2
3
1
k
t
t
在
[1, 2]
t
上有2 个不同实根．
令
1
2
[
,1]
2
u
t
，
2
2
3
1
( )
2
3
1
2(
)
4
8
u
u
u
u
，
2
3 2
(
)
2
2
2
u
，
3
1
(
)
4
8
u
，
(
1)
0
u
，
要使
( )
k
u
有两个不等实根，则3 2
1
2
2
8
k
.
……9 分
③当[ , ]
( 2,2]
m n
，则
|
( ) |
y
g x
在[ , ]
m n 上单调递减，
2
3
2
3
m
kn
m
n
km
n
，
两式相除整理得(
) (
3)
0
m
n
m
n
，
3
m
n
，
3
3
,
2
2
n
m
m
m
，
此时
2
2
2
3
3
2
2
2
1
1
3
9
(3
)
(
3
(
2
4
m
m
m
m
k
n
m
m
m m
m
）
）
5
3 2 1
7
9
，
综上所述：
5
3 2
1
7
9
k
或3
1
2
2
2
8
k
.
……11 分
（3）
2
2
1
( )
log [(2
) 4
1]
log [(2
) 2
]
2
x
x
x
f x
a
x
a
，
……12 分
关于x 的方程
( )
2
2
f x
x
g
在区间[1,2] 上只有一解，
可转化为
1
2
2
) 2
=2
3
2
2
x
x
x
x
a
（
在区间[1,2] 上只有一解，
即
1
(1
) 2
3
0
2
x
x
a
在区间[1,2] 上只有一解，
……13 分
2
3
1
1
3
13
1
2
4
2
4
2
x
x
x
a
……14 分
高一数学学科试题答案第5 页(共5 页)
当
[1,2]
x
时，1
1 1
,
4 2
2x
，
27
9
16
4
a
，
……15 分
另一方面，还需(2
) 4
1
0
x
a
在区间[1,2] 上能成立．
1
33 9
2
,
16 4
4x
a
，
9
4
a
.
……16 分
（或者由
3
1
1
1
2
2
4
4
x
x
x
a
，知
1
1
0
2
2x
或1
1
2x （舍））
综上所述：a 的取值范围为27
9
16
4
a
……17 分
（利用一元二次方程根的分布求解，酌情给分）
