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广东实验中学2025—2026 学年（下）高一级中段模块考试
数
学
本试卷共4 页，满分150 分，考试用时120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数�满足z 1 +
3i =−4�(�是虚数单位)，则|�| =(
)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
2．将水平放置的∆���用斜二测画法得到的直观图∆�'�'�'如图所示，已知�'�' = 3，�'�' = 2，
则边��的实际长度为(
)
A.
13
B. 5
C. 6
D.
40
3．已知�= 20.4，b = log0.42，c = tan43∘，则(
)
A. �> �> �
B. �> �> �
C. �> �> �
D. �> �> �
4．如图，�为平行四边形����所在平面外一点，�为��的中点，�为��上一点，当��//平面���
时，��
��=(
)
A. 4
9
B. 2
3
C. 1
3
D. 2
9
5．在∆���中，∠���=
�
3，�是��上的一点，若��是∠���的角平分线，��= 3，则∆���
面积的取值范围是(
)
A.
9 3
+ ∞
B.
3 3
2
+ ∞
C.
3 3
+ ∞
D.
3 3
4
+ ∞
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6. 若圆锥的高为3，体积是3�，则它的侧面展开图的面积为(
)
A.
3�
B. 3
3�
C. 6�
D. 9�
7．若函数�(�)(�∈�)是周期为4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为�(�) = �(1 −�), (0 ≤�≤1)
cos��, 1 < �≤2，
则�
11
2
+ �
22
3 的值为(
)
A. −4
9
B. 4
9
C. −1
9
D. −2
9
8．如图所示的四个正方体中，�，�为正方体的两个顶点，�，�，�分别为其所在棱的中点，能
得出��//平面���的图形的序号为(
)
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ②④
二、选择题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．已知函数�(�) = ���3�+ 8�，则(
)
A. �(�)在�上单调递增
B. �(�)的值域为�
C. �( 1
3 ) = 1
D. �(�)的零点小于1
9
10．下列四个命题中错误的是(
)
A. 如果�，�是两条直线且�∥�，那么�平行于经过�的任何一个平面
B. 如果直线�和平面α 满足�∥α，那么�与平面α内的任何一条直线平行
C. 如果直线�，�和平面α 满足�∥�，�∥α，�⊄α，那么�∥α
D. 如果直线�与平面α内的无数条直线平行，那么直线�必平行于平面α
11. 如图，在棱长为2 的正方体����−�1�1�1�1中，已知�, �, �分别是棱�1�1，��1，��的
中点，点�在线段��1上，则下列结论正确的是(
)
A. ��//平面���1�1
B. 若�，�，�，�四点共面，则��= 1
2
C. 过点�有且仅有一条直线与��1，��1都相交
D. 点�在侧面��1�1�上(包括边界)，且�1�//平面���，则三棱锥�−���的体积为
2
3
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比
原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是
．
13．已知函数�(�) = (
3����+ ����)����−1
2，若�(�)在区间[ −�
6 , �]上的值域为[ −1
2 , 1]，
则实数�的取值范围是
．
14．已知平面向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ，对任意实数�，�都有|�Ԧሬ−��Ԧሬ| ≥|�Ԧሬ−�Ԧሬ|，|�Ԧሬ−��Ԧሬ| ≥|�Ԧሬ−�Ԧሬ|成立.
若|�Ԧሬ| =
2，则�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ−�Ԧሬ)的最大值是
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题13 分)
已知函数
π
( )
2sin(
)(0
2,0
)
2
f x
x
，(0)
3
f
且
π
( )
( )
6
f x
f
恒成立．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)记∆���的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
( )
0
f B
，
4
a
，∆���的面
积为2 3 ，求∆���的周长．
16．(本小题15 分)
如图所示，在扇形广场���中，∠���为锐角，四边形����是
平行四边形，点�在弧��
上，点�，�分别在线段��，��上，
��= 2
3，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 6，记∠���= �．
(1)当�= �
6 时，求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ;
(2)草地为阴影部分，求面积�关于�的函数关系式，并求当�为何值时，�取得最小值．
17．(本小题15 分)
如图，在棱长都为4 的直三棱柱�1�1�1 −���中，D，�，�，�，�
分别为��，��1，��1，�1�1，�1�1的中点．
(1)求直三棱柱�1�1�1 −���的体积；
(2)证明：�，�，�，�四点共面，且此平面与�1�平行；
(3)证明：��，��，��1三线共点．
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18．(本小题17 分)
已知在锐角∆���中，内角�, �, �所对的边分别为�, �, �，cos�=
2
2 ，
�为∆���的外心，∆���、∆���、∆���的面积分别记�ΔA��、�Δ���、�Δ���
满足�Δ���⋅�AԦ
ሬሬሬሬ+ �ΔA��⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �Δ���⋅�CԦ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
(1) 求证：��Ԧ
ሬሬሬሬ+ sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ；
(2)若�=
2，求3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围；
(3)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，求�+ �的最大值．
19. (本小题17 分)
已知i 为虚数单位，定义�
n＝1 的解称为n 次单位根或单位根，这n 个单位根分别为
ωk＝cos
2��
�
+ �⋅���
2��
�（k＝0，1，2，…，n﹣1）．复数单位根相关领域都有广泛的应用．
例如在平面几何中，记��1
→
对应的复数为z1＝r（cosα+isinα），将��1
→
绕原点O 逆时针旋
转
2��
�得到��2
→
，则��2
→
对应的复数为�2 = �1��= �[���(�+ 2��
�) + ����(�+ 2��
�)]．
(1)方程�
2+�+1＝0 在复数域上的两根为z1，z2，将z1，z2对应的向量��1
→
，��2
→
逆时针旋转
�
2
后得到��3
→
，��4
→
，记��3
→
，��4
→
对应的复数为z3，z4，求z1，z2，z3，z4（用代数形式表示）；
(2)若把平面直角坐标系中的点P(�0,�0)绕原点�逆时针旋转�弧度后得到点�(�,�)，
请用�0 、�0、�分别表示出�、�；（其中�0 、�0、�、�均为实数）
(3)定义在整数集上的函数�(�) =
1，�= 3�(�∈�)
�，�= 3�+ 1(�∈�)
�2，�= 3�+ 2(�∈�)
（ω＝cos
2�
3 +isin
2�
3 ），
若�(�1)+�(�2)�+�(�3)�2＝0，其中�1，�2，�3∈{0，1，…，9}，令�＝100�1+10�2+�3
求�(�)的所有可能取值；
