文档文本内容
2025 学年第二学期浙里特色联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字
､
､
､
.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一单选题：本大题共
､
8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合
，利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
，
故
.
2. 已知复数
，且
，则
的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数
，利用复数的概念可得结果.
【详解】因为
，所以
，故
的虚部为
.
3. 如图所示，矩形
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
，则原图形的面
积为（ ）
A. 12
B.
C. 24
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【详解】由题意得
，所以矩形
的面积为
，
由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是
，故D 正确.
4. 设
、
、
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若
，则
，由不等式的基本性质可得
，
即“
”
“
”；
若
，不妨取
，
，
，则
，
但
，所以“
”
“
”.
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
5. 如图，在正四棱锥
中，侧棱长均为
，且相邻两条侧棱的夹角为
，
，
分别是线段
，
上的一点，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知
的最小值为
，然后在
中求解即可
【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，
则
的最小值为
．
在
中，
，
，
则
．
故选：D
6. 已知
，
在
上单调递增，则
取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简得出
，由
可得出
的取值范
围，根据正弦型函数的单调性可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，且
，
所以
，
因为
在
上单调递增，则
，
所以
，解得
.
7. 如图，在四边形
中，
，
，
是线段
上的一动点，若
，则
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设
，利用平面向量的线性运算和基本定理可得出
，再利用基本不等式
可求得
的最大值.
【详解】因为
，所以
，
设
，则
，解得
，
又因为
，
且
、
不共线，所以
，这两个等式相加得
，
因为
，
，由基本不等式可得
，解得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最大值为
.
8. 如图所示，放置的边长为的正方形
沿
轴滚动，点
恰好经过原点，设顶点
的轨迹方
程是
，则对函数
有下列判断：①若
，则函数
是偶函数；②对任
意的
，都有
；③函数
在区间
上单调递减；④函数
在
区间
上单调递增.其中判断正确的序号是（ ）
A. ①②③
B. ①③④
C. ①②④
D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】对
的取值进行分类讨论，分析点
的轨迹，可知函数的周期为
，作出其图象，逐项判断即可.
【详解】当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为的
圆，
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为
的
圆，
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为的
圆，
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为的
圆，故函数的周期是
.
因此最终构成图象如下：
①根据图象的对称性可知函数
是偶函数，故①正确.
②由图象经分析可知函数的周期是
，故②错误.
③函数
在区间
上单调递减，故③正确.
④函数
在区间
上单调递增，由函数的图象即可判断是真命题，故④正确.
二､多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.
9. 已知复数
，则（ ）
A.
B.
C.
在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若复数
是方程
的一个根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质化简复数
，即可判断A；进而可求模长，即可判断B；再根据复数的几何
意义判断C；分析可知方程另一个根为
，结合韦达定理运算求解.
【详解】因为
，故A 错误；
则
，故B 正确；
且
在复平面内对应的点为
，位于第二象限，故C 正确；
若复数
是方程
的一个根，则另一个根为
，
则
，可得
，即
，故D 正确.
10. 已知向量
，
，则（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C.
的最大值为
D. 若
，则
在
上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A 选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B 选项；利用
向量模的三角不等式可判断C 选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若
，则
，化简可得
，A 对；
对于B 选项，若
，则
，
又因为
，解得
或
，B 错；
对于C 选项，
，
当且仅当
、
同向时，即当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为
，C 对；
对于D 选项，若
，则
，
则
在
上的投影向量为
，D 错.
11. 在锐角
中，
所对边分别为
，已知
，则（ ）
A. 若
，则
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A 使用余弦定理可以计算出
；选项B 使用和差化积公式进行化简可以得到
；
选项C 在B 选项基础上使用正弦定理；选项D 在B 选项基础上使用三角函数进行转换为全部tanA 的函数,
最后再换元进行计算.
【详解】选项A，由
，
根据正弦定理得：
，由余弦定理得：
，
代入
可得，
，所以选项A 正确；
选项B，对
用和差化积公式：
，
在
中，
，因此原式等价于：
，
，故
，
因此
或
（舍去），即
，所以B 选项正确；
选项C，由
，根据正弦定理
，
所以选项C 错误；
选项D，由
得
，
因此
，
由
为锐角三角形得：
，
因此
.令
，则
，
根据对勾函数性质可知，函数
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
故
，所以选项D 正确.
非选择题部分
三填空题：本大题共
､
3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 求值：
__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值.
【详解】原式
.
13. 若
，则
的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
.
14. 正四棱台
，其上、下底面的面积分别为
，
，该正四棱台的外接球表面积为
，则该正四棱台的体积为______.
【答案】
或
.
【解析】
【分析】根据题意可知外接球的半径为
，取正方形
的中心为
，正方形
的中心为
，可知该几何体的外接球的球心
在
上，分类讨论球心
在线段
上或在
的延长线上，结
合正四棱台的结构特征列式求解.
【详解】设正四棱台的高为
，外接球的半径为
，则
，解得
.
取正方形
的中心为
，正方形
的中心为
，连接
，则
，
可知该几何体的外接球的球心
在
上，连接
，
，
，
.
设上、下底面正方形的边长分别为
，
，
则
，
，解得
，
，故
，
.
设
，
当
在线段
上时，则
，
由勾股定理得
，解得
，
所以该正四棱台的体积为
；
当
在
的延长线上时，
，
由勾股定理得
，解得
，
所以该正四棱台的体积为
.
综上所述：该正四棱台的体积为
或
.
故答案为：
或
.
四解答题：本大题共
､
5 小题，共77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
､
.
15. 已知复数
（1）若
是纯虚数，求
的值；
（2）若复数
满足
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解；
（2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运动求解.
【小问1 详解】
是纯虚数得出
得
；
【小问2 详解】
设
，所以
，即
，
，
则
，
因为
当且仅当
取等，则
，
可得
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1 米，长度为0.3 米
的圆柱形玻璃管水平连通的.
（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？
（2）小明欲将鱼缸注水至
的高度，需要多少立方米的水？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解.
（2）利用柱体体积公式列式求解.
【小问1 详解】
依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2 倍，然后加上
圆柱的侧面积，
因此所求面积为
，
所以需要
平方米的玻璃.
【小问2 详解】
由圆柱体距离鱼缸底部
，得注水至0.3 米时，圆柱体刚好注至一半的体积，
，
所以需要
立方米的水.
17. 在
中，角
的对边分别为
，若
，
（1）求角
的大小；
（2）若
为
中点，
，求边
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理对
把边转换为三角函数，变形化简计算出角
的三
角函数值，计算角
的大小；
（2）利用向量加法的法则可知
，再利用余弦定理，计算边a.
【小问1 详解】
因为
，
所以由正弦定理可得
，
在
中，
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，
因为
，所以
；
【小问2 详解】
因为
，所以
，
又
，所以
,所以
，
又因为
，所以
.
18. 已知函数
（
、
为非零常数）
（1）当
时，
为偶函数，求
的值；
（2）当
时，求
满足
的
的取值范围；
（3）当
，
时，若存在
，对任意
，都有
，求
的
取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于
的等式，解之即可；
（2）当
时，由
化简得出
，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）当
，
时，利用复合函数法分析函数
在
上的单调性，并求其最大值，于是
得出
，再利用参变量分离法得出
，等价于
大于等于
的最
大值且小于等于
的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得
的取值范围.
【小问1 详解】
当
时，
，
因为
是偶函数，所以对任意
，都有
，
即
，化简得
，
即
对任意的
恒成立，故
，所以
.
【小问2 详解】
当
时，
，
由
得
，化简得
，
因为
，所以
，可得
，解得
.
【小问3 详解】
当
，
时，
.
设
，
，
因为
在
上单调递增，
在
单调递增，
所以
在
单调递增，所以
的最大值为
，
从而依题意可得
对任意
恒成立，
将
变形得
，可得
，
所以
恒成立等价于
大于等于
的最大值且小于等于
的最小值，
函数
在区间
单调递增，有最大值
，
函数
（当且仅当
取等号）有最小值
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
19. 如图所示，设
、
是平面内相交成
角的两条数轴，
、
分别是与
、
轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
（1）已知在
仿射坐标系中，
，
.
①若
，求
；
②若
，求
；
（2）在
仿射坐标系中，
，
，设
与
的夹角为
，若
，
恒
成立，求
的取值范围.
【答案】（1）①
；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由已知条件得出
，利用平面向量数量积的运算性质可求得
的
值；
②求出
的值，利用平面向量数量积的定义可得出关于
的值，解之即可；
（2）由已知条件得出
，
，利用平面向量数量积的运算性质结合
对
恒成立，以及
且
，可求出
的取值范围，再利用平面数量积的运算性质可求
得
的取值范围.
【小问1 详解】
因为
，
所以
，
①因为
，所以
.
②因为
，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，解得
.
【小问2 详解】
因为
，
，
所以
，
，
由
，得
，
即
对
恒成立，
因为
且
，所以
，
所以
，
化简得
，所以
，
又因为
且
，所以
或
因为
与
的夹角为
，
所以
，
而
或
，
所以
或
，
即
，故
的取值范围为
.
