文档文本内容
2025 学年第二学期丽水发展共同体期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 复数
的共轭复数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简复数成标准式，利用共轭复数定义求解.
【详解】因为
，
所以
的共轭复数为
.
2. 已知
，
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量减法及数乘运算的坐标表示计算即可.
【详解】因为⃗OA =(2,8)，⃗OB =(−7,2)，
所以1
3⃗AB = 1
3 (⃗OB−⃗OA)= 1
3
(−7−2,2−8)= 1
3
(−9,−6)=(−3,−2).
3. 若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得.
【详解】因为圆锥的母线
，高
，
所以底面半径
，
故其体积
.
故选：A.
4. 若
，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解.
【详解】解法一：因为
，所以
.
因为
，
所以
.
解法二：令
，则
，
，
所以
.
故选：D.
5. 已知在矩形
中，
，
，
，
，则
的值为（ ）
A. 9
B.
C. 15
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理用
分别表示
，再结合向量数量积运算即可.
【详解】由
，得
，因此
，
则
；
由
，得
，因此
，
则
，
所以⃗AE⋅⃗AF =(⃗AB+ 1
3⃗AD)⋅(
1
3⃗AB+⃗AD)
= 1
3|⃗AB|
2+⃗AB⋅⃗AD+ 1
9⃗AD⋅⃗AB+ 1
3|⃗AD|
2
因为
，代入
，
，可得：⃗
AE⋅⃗AF = 1
3|⃗AB|
2+ 1
3|⃗AD|
2= 1
3 ×6
2+ 1
3 ×3
2=12+3=15 .
6. 记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
，
，则
的面积为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
7. 已知三棱锥
的侧棱
，
，
两两垂直，
，
，若该三棱锥的外接球
体积为
，则该三棱锥的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为
的长方体中，由三棱锥的外接球的体积列式
求解，则三棱锥的表面积可求
【详解】
如图，
，
，且
，
，
两两垂直，
，设
，依题意，
可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为
的长方体中，
可得其外接球的半径
，
又由
，解得
，
故
，解得
，
所以该三棱锥的表面积为
故选：C
8. 在
中，若
，
，则
的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换化简求解.
【详解】设
，则
，
，
两式相除得
，在
中，
，
则
，即
，
又
，即
，
由
，得
，又
，
所以
.
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0 分．）
9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数
，则
B. 若复数
满足
，则
或
C. 若复数满足
，则
D. 若复数
满足
，则
在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】由复数
求出其共轭复数
，并求出
，即可判断A；设复数
，根据复数模
的几何意义，得到复数
所对应的点
的轨迹方程
，即可判断B；取满足
的特殊
复数
，
，验证
是否成立，即可判断C；设复数
，分别求出
和
，并将等式
变形化简得到
，即可判断D.
【详解】若复数
，则其共轭复数
，所以
，故A 正确；
设复数
，若
，则
，
所以复数
所对应的点
在以原点
为圆心，1 为半径的圆上，
所以复数
不是只有
或
这4 个值，故B 错误；
设复数
，
，此时
，满足
，
但是
，
，显然
，故C 错误；
设复数
，
则
，
，
若
，将其两边平方可得
，
即
，即
.
所以复数
在复平面内对应的点的轨迹为直线
，故D 正确.
10. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度
（单位：m）满足
．已知当
时，过山车到达第一
个最高点，最高点距地面28m，当
时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（ ）
A.
B. 过山车启动时距地面13m
C.
D. 一个周期内过山车距离地平面不低于23m 的时间是4s
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用最高点和最低点满足的方程可判断A；求出周期可判断C；利用最高点求出
，然后把
代入解析式可判断B；解三角函数不等式可判断D.
【详解】最高点满足 A + B =28 ，最低点满足
，联立解得A =10,B =18 ，故A 错误；
第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 T
2 =10−4 =6 ⟹T =12s ，
因此
，故C 正确；
将参数代入得h(t )=10sin(π
6 t +φ)+18 ，
时为最高点，故 sin(π
6 ×4+φ)=1 ，
即 2π
3 +φ =π
2 +2k π ， 解得
，结合
得
，
因此解析式为h(t )=10sin(π
6 t −π
6 )+18 ，
启动时
，代入得h(0)=10sin(−π
6 )+18=10×(−1
2 )+18=13 m ，故B 正确；
要求h(t )≥23 ，代入得不等式10sin(π
6 t −π
6 )+18≥23 ⟹sin(π
6 t −π
6 )≥1
2，
解得一个周期内（t ∈[0,12] ）满足条件的范围是
，区间长度为6−2= 4s ，故D 正确.
11. 如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
，
，
为
的中点，点
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A. 若
，则四面体
的体积为定值
B. 若
，则点
的轨迹长度为
C. 若
，平面
截正方体所得截面为四边形
D. 若
，则存在点
在线段
上，使得
的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 项，在侧面
内作出点
的轨迹线段，利用该线段与
平行，说明点
到平面
的距离不变，从而判断体积为定值；B 项，把点
放到侧面
内研究，由
得到轨迹方程，
判断轨迹为一段圆弧，再求弧长；C 项，取特殊位置作反例，例如取
为
的中点，直接作出截面并判
断截面形状；D 项，把空间最值问题转化为平面内折线最短问题，借助射影和作辅助线，把
的
最小值化为一条线段的长度来求.
【详解】对于A 选项.
当
时，点
在正方形
内的轨迹是一条线段
，
其中点
在
上，且
；点
在
上，且
.
因为在正方形
中有
，
所以
.又因为在直四棱柱中
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
.
这说明当点
在线段
上运动时，点
到平面
的距离保持不变.
而
的面积是定值，所以四面体
的体积为定值.因此A 项正确；
对于B 选项.
过点
作平面
的垂线，垂足为
，则
平面
，且A1 H = AD sin 60
∘=√3.
由
，得H Q
2= A1Q
2−A1 H
2=7−3= 4 ，即
.
所以点
的轨迹是平面
内以
为圆心、2 为半径的圆与侧面四边形
的公共部分，即一段
圆弧.
设该段圆弧的端点分别为
，其中E∈D D1，F ∈D1C1，则
，D1 F =1 ，
，
HE = HF =2 ，所以
.
故轨迹长为
. 因此B 项正确.
对于C 选项.
取
，则点
为线段
的中点.
此时作平面
，可得该平面分别与棱
交于点
，
于是所得截面为五边形
，并不是四边形.因此C 项错误；
对于D 选项.
当
时，点
为侧面
的中心.
设点
为点
在平面
上的射影，则点
为
的中点，且
.
在正方形
内，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
.
由正方形的性质可得
，MK = √2
2 ，HK = √2
2 .
在平面
内，过点
作
，
并取点
在直线
与点
的同侧，使
.
对于线段
上任意一点
，有EQ
2= E M
2+ M Q
2.
又因为E M
2= E K
2+ M K
2，E N
2= E K
2+ K N
2，
所以
，即
.
于是
. 因为点
在直线
两侧，且直线
与线段
的交点在线段
上，
所以当点
为直线
与线段
的交点时，
取得最小值，最小值为
.
又在平行于
和垂直于
的两个方向上，点
到点
的距离分别为
和AH + KN ，
所以A N
2= H K
2+( AH + KN )
2=(
√2
2 )
2
+(√2+√
7
2)
2
=6+2√7.
故
，即
的最小值为
. 因此D 项正确.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知向量
，则
在
方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可得；
【详解】
在
方向上的投影向量的公式为：
，
所以
，
，
将结果代入公式:
.
13. 四棱锥
的底面为平行四边形，如图所示，点
是棱
上一点，
，若
且满足
平面
，则
________．
【答案】
##0.5
【解析】
【分析】连接BD，交AC 于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明
平面ACE，结
合
平面ACE，则证明平面
平面ACE，再利用面面平行的性质则有
，即可得到答
案.
【详解】如图，连接BD，交AC 于点O，连接OE，
由四边形
是平行四边形，得
，
在线段PE 上取点G，使得
，由
，得
，
连接BG，FG，则
，由
平面
，
平面
，
得
平面
，而
平面
，
，
平面
，
因此平面
平面
，又平面
平面
，平面
平面
，
则
，所以
.
14. 在锐角
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且若
，
，则
的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式和余弦定理对已知条件进行变形并求出A，再利用正弦定理及和角的正弦
公式，结合正切函数、对勾函数性质求解.
【详解】在锐角
中，
，则
，
，
由余弦定理得
，则
，
由
，得
，因此
，
而
，则
，由正弦定理得
，
于是
，由
是锐角三角形，得¿，解得
，
则
，由函数
在
上单调递增，得
，
因此
，所以
的取值范围为
.
四、解答题：本大题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数
，其中为虚数单位，
．
（1）若
是纯虚数，求
的值；
（2）若
在复平面内对应的点在第四象限，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数定义列方程求参数；
（2）由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围.
【小问1 详解】
由
是纯虚数，则
，故
.
【小问2 详解】
由
在复平面内对应的点在第四象限，
，
所以
.
16. 如图，在直三棱柱
中，
，点
为
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求三棱锥
的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
，设
与
的交点为
，连接
，结合中位线性质和线面平行的判定定理证
明；
（2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥
的高为
，再利用
，结合棱锥体积公
式求解即可.
【小问1 详解】
连接
，设
，连接
，
在直三棱柱
中，四边形
为平行四边形，则
为
的中点，
又因为
为
的中点，则
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
【小问2 详解】
由直三棱柱可知，三棱锥
的高为
，
，
在
中，
，
为
的中点，由（1）知
，
所以
．
因此
．
17. 已知函数
，且函数
图象的一个对称中心
为
.
（1）求
的值；
（2）若
在区间
上的值域是
，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得
，再结合条件，可得
，即可求解；
（2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【小问1 详解】
，
因
图象的一个对称中心为
，则
，
解得
，又
，则取
，得
．
【小问2 详解】
当
时，
，
因为
，结合
函数图象可知，欲使
在区间
上的值域是
，
则
，解得
．
18. 如图，在棱长为2 的正四面体
中，
为
上的动点，
为
上靠近
的三等分点，
为
的中点，
与
交于点
．
（1）用
，
表示
；
（2）若点
为
的中点，求
的值；
（3）若
，求
的值．
【答案】（1）
（2）1 （3）
或
．
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）利用空间向量的线性运算得到
，然后利用三点共线求出
，最后利用空间向
量数量积的运算律结合余弦定理即可求解；
（3）设
，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出
，解方程即可
求解.
【小问1 详解】
在
中，
，
∴⃗AM = 1
3⃗AB = 1
3 (⃗PB−⃗PA)，
．
【小问2 详解】
设
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
三点共线，
，
，
，
，
由余弦定理可得
，
，
∴⃗PQ⋅⃗PB =(
2
5⃗PA + 1
5⃗PB)⋅⃗PB = 2
5⃗PA ⋅⃗PB+ 1
5⃗PB
2=1 ．
【小问3 详解】
设
，由余弦定理可得
，
由正四面体得
，
∵cos∠APB = (√x
2−2 x + 4)
2+(√x
2−2 x + 4)
2−2
2
2⋅√x
2−2 x + 4⋅√x
2−2 x + 4
= 2 x
2−4 x + 4
2(x
2−2 x + 4)
，
∴⃗PQ⋅⃗PB = 2
5 (√x
2−2 x + 4)
2⋅2 x
2−4 x + 4
2(x
2−2 x + 4)
+ 1
5 ⋅(√x
2−2 x + 4)
2= 3 x
2−6 x +8
5
，
化简得
，
解得
或
，
或
．
19. 已知函数
，若对于任意实数
，
，
，
都能构成三角形的
三条边长，则称函数
为
上的“完美三角形函数”．
（1）试判断函数
是否为
上的“完美三角形函数”，并说明理由；
（2）设向量
，
，若函数
为
上的“完
美三角形函数”，求实数
的取值范围；
（3）已知函数
为
（
为常数）上的“完美三角形函数”．函数
的图象
上，是否存在不同的三个点
，满足
，
？若存
在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）函数是
上的“完美三角形函数”，理由见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得
，
，再根据
即可判断；
（2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对
分类讨论；
（3）求出
，根据
得到
，则得到
，再利用反证法得
到互相矛盾的点即可证明.
【小问1 详解】
，
，
，
，
，
是
上的“完美三角形函数”．
【小问2 详解】
，
，
其中，
，
，
，
，
①当
时，
，
，
，则
；
②当
时，
，满足题意．
③当
时，
，
，
，则
.
综上所述，实数
的取值范围为
．
【小问3 详解】
由
，
，
，
，
，
，
，
，
假设存在满足题意的三个点
，
，
而
，
，
即
，
则
，
即
，
即
，
，
，即
，
，
，
则cos(x1−x3)∈(
√3
2 ,1]，与
矛盾，
故不存在点
满足题意．
