文档文本内容
数 学
注意事项：
1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数z 满足
，则z 的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得
，可得
的虚部为
.
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 若
，则
为单位向量
B. 若
，则
C. 若四边形
是平行四边形，则
，
D. 若
是平面内所有向量的一个基底，则
也可以作为一个基底
【答案】C
【解析】
【详解】对于AB，根据单位向量和相等向量、平行向量的定义，可知A，B 正确；
对于C，若四边形
是平行四边形，则
，
，故C 错误；
对于D，若
不能作为基底，则
与
共线，设
，
，
所以
，即
与
共线，这与
是平面内的基底矛盾，所以假设错误，故D 正确.
3. 如图，在四边形
中，
，
，
，现将其水平放置，用斜
二测画法画出其直观图，则直观图的面积为（ ）
A.
B. 4
C.
D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】原直角梯形
的面积为
，水平放置的平面图形的斜二测画法直观图的面积
与原图的面积之比为
，
故直观图的面积为
.
4. 在
中，
，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算将
用
表示，再利用平面向量的基本定理求得正确答案.
【详解】由
，得
，
则
，
又
，则
，
，所以
.
5. 为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2 米，底面周长为0.8 米.现计
划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，
则装饰带的长度为（ ）
A. 3.6 米
B. 4 米
C. 4.4 米
D. 4.8 米
【答案】B
【解析】
【分析】由题，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，可得长方形的宽就是灯柱的高，长方形的长即
为圆柱底面周长的3 倍，装饰带的长度即为该长方形的对角线长，计算得解.
【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽
灯柱的高
米，
长方形的长
三个圆柱的底面周长
（米），
装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为
（米）.
6. 已知向量
，
，
，若
，则实数
的值（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件列式计算求解
【详解】因为
，
，
又
，所以
，解得
.
7. 已知圆锥
的底面半径为2，母线长为4，在该圆锥内有三个半径相等的球，当球最大时，其中一个
球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得当三个球两两相切且与圆锥相切时，球的半径最大，设最大时的球的半径为R，在
圆锥的轴截面中，三个球的球心构成一个边长为2R 的等边三角形，利用高为
建立等式求出
，得解.
【详解】易知圆锥的轴截面为等边三角形，边长为4，高为
，
当三个球两两相切且都与圆锥侧面相切，下方两个球与圆锥底面相切，上方一个球在中间时，此时球的半
径最大，设最大时的球的半径为R，
在圆锥的轴截面中，三个球的球心构成一个边长为2R 的等边三角形
，
如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面圆的圆心，
分别是内切球的球心，
连接
，
与
交于点
，过点
作
，垂足为
，
可得
，
，
，
所以
，解得
，
所以其中一个球的表面积
.
8. 在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A. 6
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】将条件式
利用正弦定理及三角恒等变换化简求得
，再将
利用正弦定理角化边，结合
，求得
，最后利用余弦定理求解.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
由
，得
，则
，
即
，
即
，又
，所以
，
因此
，即
，
由
，得
，则
，所以
.
由
及正弦定理，得
，代入
，可得
，解得
，则
，
所以由余弦定理可得
，
解得
.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 已知复数
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，
，
，
，故A 错误；
对于B，
，则
，故B 正确；
对于C，
，
，
，则
，故C 正确；
对于D，
，
，
，
，所以
，故D 正确.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱
B. 棱台的各侧棱所在直线交于一点
C. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于A，若两个相邻侧面为矩形，则这两个侧面的公共侧棱一定与底面垂直，
从而所有侧棱垂直于底面，所以该棱柱是直棱柱，故A 正确；
对于B，因为棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后必交于一点，故B 正确；
对于C，底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，故C 错误；
对于D，圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D 正确.
11. 设P 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若
，△ABC 的面积为1，则△PAC 的面积为2
B. 若
，且
，则点P 是△ABC 的重心
C. 若
，
，则
D. 若
，则
的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】 对于A，由题可得
且
，利用面积关系求解即可；对于B，取AB 的中点
D，化简可得点P 在AB 的中垂线上，结合
可得P 为△ABC 的外心，对于C，利用向量的线性
运算求解即可；对于D，根据题意可得
，设BC 的中点为D，化简
，结合向量数量积运算即可求解.
【详解】对于A，∵
，∴
，
如图，
且
，则点C 到AB 的距离与点A 到PC 的距离相等，
又
，∴
，故A 正确；
对于B，如图，取AB 的中点D，则
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴点P 在AB 的中垂线上，∴
，又
，∴
，∴P 为△ABC 的外心，
故B 错误；
对于C，如图，由图可知
，
即有
，又
，
不共线，
∴
，
，∴
，故C 错误；
对于D，
，
如图，设BC 的中点为D，则
，
∴
，设AD 的中点为O，
则
，
当
时，即点P 与点O 重合时，
取得最小值
，故D 正确.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 在正三棱柱
中，
，
，以该三棱柱上、下底面的内切圆为上、下底
面挖去一个圆柱，则剩余几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】
【详解】正三棱柱的下底面面积为
，则正三棱柱的体积为
，
因为底面的内切圆半径为
，所以内切圆的面积
，
所以被挖去的圆柱的体积为
，
所以剩余几何体的体积为
.
13. 在平面四边形
中，
，
，
，
，则四边形
的面积
为__________.
【答案】
【解析】
【分析】连接
，在
和
中，分别由余弦定理结合
，可求得
，
利用三角形面积公式分别求得
和
，得解.
【详解】如图连接
，在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
∵
，∴
，解得
，
∴
，
，∴
，
∴
，
，
∴四边形
的面积
.
14. 若平面向量
，
满足
，
，记
与
的夹角为
，则
的最大值为
__________.
【答案】
##
【解析】
【分析】由题可得
，不妨设
，
，
，
，
，则
，
，利用两角差的正切公式结合基本不等式求解.
【详解】因为
，
，所以
，
不妨设
，
，
，则
，
，
如图，设
，
，则
，易知
，
当
时，
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最大值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若复数
（
）在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的
取值范围；
（2）计算：
.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【详解】（1）
，
因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以
，
解不等式①，得
；
解不等式②，得
或
.
所以
，即m 的取值范围是
.
（2）因为
，
，
，
故原式
.
16. 如图，在梯形ABCD 中，
，
，
，
.以BC 所在的直线为旋
转轴，将梯形ABCD 旋转一周，得到一个几何体.
（1）求该几何体的表面积；
（2）若一只蚂蚁从点A 出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A，求最短爬行路程.
【答案】（1）
（2）24.
【解析】
【分析】（1）将直角梯形ABCD 以BC 边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为
，下底面半径为
，母线长
的圆台，利用圆台的表面积公式求解即可；
（2）将圆台的侧面沿母线AD 剪开，展开后得到一个扇环，蚂蚁从点A 出发，沿该几何体的侧面爬行一周
回到起点A 的最短路径即为线段
，结合几何性质求解即可.
【小问1 详解】
如图所示，将直角梯形ABCD 以BC 边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为
，
下底面半径为
，母线长
的圆台，
其表面积为
.
【小问2 详解】
将圆台的侧面沿母线AD 剪开，展开后得到如图所示的一个扇环.
∵圆台上、下底面半径的关系为
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
.
设
，则
的长
，
解得
，连接
，可知
为等边三角形，
∴
，
∴蚂蚁从点A 出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A 的最短路径即为线段
，
∴蚂蚁爬行的最短路程为24.
17. 在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
.
（1）求A；
（2）求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
.
【解析】
【分析】（1）将条件式利用正弦定理边化角结合三角恒等变换化简求解；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可得
，结合三角形面积公式得解.
【小问1 详解】
由
及正弦定理，得
，
即
，
即
，
在
中，
，则
，即
，
又
，所以
.
【小问2 详解】
因为
，
，当且仅当
时取等号，
所以
，得
，
所以
的面积
，当且仅当
时取等号，
故
面积的最大值为
.
18. 如图，在梯形
中，
，
，
，
，
，点E 在边
上，
且
.
（1）设
，
，试用
和
表示
；
（2）证明：
；
（3）设F 是线段
上的动点，且
，求
的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）22.
【解析】
【分析】（1）由
，利用向量的线性运算求解；
（2）利用向量的线性运算将
用
表示，验证
，得证；
（3）以
，
所在直线分别为x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据
求得点
的
坐标，进而求得
的坐标，求得
关于的函数，运算得解.
【小问1 详解】
因为
，
，
，
所以
，化简得
.
【小问2 详解】
由题意知
，所以
，则
，
故
，
又
，
所以
，
故
.
【小问3 详解】
根据题意，以A 为坐标原点，
，
所在直线分别为x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
，
因为
，
所以
（
），
所以点
，所以
，
，
所以
，
，
因为
的图象的对称轴为直线
，
所以该函数在
上单调递减，
所以当
时，
取得最小值，最小值为22，
故
的最小值为22.
19. 在
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
，且
，
的中点为M.
（1）求B；
（2）求
内切圆面积的最大值；
（3）若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
.
【解析】
【分析】（1）由
，利用三角恒等变换结合三角函数性质求解；
（2）由
，利用余弦定理求得
，利用三角形面积公式结合余弦定理和基本
不等式求解；
（3）由正弦定理得
，
，由
，利用向量运算结合三角恒等变换可
得
，求出
的范围结合三角函数性质得解.
【小问1 详解】
由
，得
，
又
，所以
，
所以
，
.
【小问2 详解】
由
，
，得
，
由余弦定理得
，整理得
.
设
的内切圆半径为r，则
，
所以
，
由余弦定理得
，
得
，
所以
，
由基本不等式得
，
可得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
，
故
的内切圆面积的最大值为
.
【小问3 详解】
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
.
由
的中点为M，得
，
所以
.
因为
为锐角三角形，所以
，得
，
则
，所以
，
，
则
，
故
的取值范围是
.
