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浙江杭州北斗联盟2025-2026 学年第二学期高一期中联考数学试题
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {0,1}，B = {-1,0,1,2}，则A ∩B =( )
A. {-1,0,1}
B. {0,1}
C. {-1,0}
D. {1}
2.如果空间两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )
A. 共面
B. 平行
C. 是异面直线
D. 可能平行，也可能是异面直线
3.函数f (x)=sin(2 x + π
6)
的最小正周期是( )
A. 2π
B. 3 π
2
C. π
D. π
2
4.已知平面α，β，直线m，m⊂α，则“α // β”是“m// β”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.已知平面向量a⃗=(-1,2)，b⃗=(1,m)，若⃗a⊥⃗b，则|b⃗|=( )
A. √5
2
B. 2
C. √5
D. 5
6.已知函数f (x)={
3
- x , x ≤-1
- x
2+6 x +1, x>-1
，则不等式f (x)<1的解集为( )
A. (-∞,-1)
B. (6,+∞)
C. (-∞,0)∪(6,+ ∞)
D. (-1,0)∪(6,+∞)
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中
有两个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos( A ,B)=cos⟨OA⃗,OB⃗⟩(其中
⟨OA⃗,OB⃗⟩为向量⃗OA，⃗OB的夹角)，余弦距离为1-cos( A ,B).已知M (cosα ,sin α )，N (0,1)，若M，N
的余弦距离为3
5
，则sin(
π
2 -2α)=( )
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A. - 24
25
B. - 17
25
C. 17
25
D. 24
25
8.已知定义在R上的偶函数f (x)，满足f (x +2)= f (x -2)，且当x∈[0,2]时，f (x)=e
x -1若a= f (-3)，
b= f (4)，c = f (lo g27)，则a,b,c的大小关系为( )
A. c<b<a
B. a<b<c
C. b<a<c
D. b<c<a
二、多选题：本题共3 小题，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z =-1-2i，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部为-2i
B. z的共轭复数为-1+2i
C. |z|=√5
D. z
1-i = 1+3i
2
10.已知函数f (x)=2sin(2 x - π
3)-1，则( )
A. f (0)= f(
π
2)
B. f (x)的单调递增区间为[kπ - π
12 ,kπ + 5 π
12](k ∈Z)
C. f (x)的值域为[-3,1]
D. x = 5 π
12
是f (x)图象的一条对称轴
11.已知正四棱台ABCD - A1B1C1 D1上底面的边长为√2，下底面边长为2√2，且高为3，则下列说法正
确的有( )
A. 该四棱台的体积为14
B. 若E为C C1的中点，则A C1//平面BDE
C. 该四棱台的侧面积为3√19
D. 该四棱台的外接球表面积为20 π
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.函数y =√x -1+
1
3- x
的定义域是 ．
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13.在▵ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c .若A = π
4
，a=2，则▵ABC外接圆的面积为 ．
14.已知函数f ( x)={
1,( x⩾1
2 )
-1,( x< 1
2 )
，向量⃗e1
，⃗e2
，⃗e3
是平面内三个不同的单位向量，其中向量⃗e1
，⃗e2
相互垂
直，且满足f (e1⃗⋅e2⃗)+ f (e2⃗⋅e3⃗)+ f (e3⃗⋅e1⃗)=1，则(√3e1⃗+e2⃗)⋅e3⃗
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC中的内角A，B，C所对的边为a，b，c，asin B =√3bcos A．
(1)求角A；
(2)若a=2，bc = 8
3
，求▵ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知函数f (x)=sin (x +φ)+cos x，|φ|< π
2
，满足f(
π
3)=1
(1)求φ的值；
(2)若f (α )= √3
2
，且α ∈(0,π )，求cosα．
17.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，已知AB =2，∠DAB =60
∘，点E，F分别是AB，AD的中点，点G为BC的四
等分点(BG = 1
4 BC )，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b．
(1)用向量⃗a，⃗b表示EG⃗
，FG⃗
；
(2)判断EF，EG是否垂直？用向量的方法证明你的结论；
(3)点P为线段CD上的一个点，求AP⃗⋅AB⃗
的取值范围．
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18.(本小题17分)
如图所示，四棱锥P - ABCD，底面ABCD为正方形，AD =2，▵PAD为正三角形，PB = PC =3，点E在
PB上.
(1)若E为中点，求证：PD //平面AEC；
(2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值；
(3)若PE: EB =2:1，在棱PC上是否存在一点F，使DF //平面AEC？并证明你的结论．
19.(本小题17分)
已知函数f (x)= 2
x -2
- x
2
，g(x)= 2
x+2
- x
2
．
(1)求证：[g(x)]
2-[f (x)]
2=1；
(2)设函数h(x)= g(2 x)-2mf (x)，其中m∈R．
(ⅰ)当m=2时，求函数h(x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值；
(ⅱ)若函数h(x)在(0,2)上有两个零点x1，x2，且x1+ x2=2，求实数m的值．
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参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.A
6.D
7.C
8.C
9.BC
10.BCD
11.ABD
12.{x| x ≥1 且x≠3}
13.2π
14.[√3,2]
15.解：(1)由正弦定理得：sin A sin B =√3sin Bcos A
∵sin B≠0，∴tan A =√3，
∵0< A <π，∴A = π
3
(2)由余弦定理a
2=b
2+c
2-2bc cos A，
得：4 =(b+c)
2-3bc，又bc = 8
3
，
∴b+c =2√3，
故▵ABC的周长为a+b+c =2+2√3
16.解：(1)∵f(
π
3)=sin(
π
3 +φ)+cos π
3 =1
∴sin(
π
3 +φ)= 1
2
，
∴π
3 +φ =2kπ + π
6
或π
3 +φ =2kπ + 5 π
6
，k ∈Z
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∴φ =2kπ - π
6
或φ =2kπ + π
2
，k ∈Z
∵|φ|< π
2
，∴φ =- π
6
．
(2)由题意得f (x)=sin(x - π
6)+cos x = √3
2 sin x - 1
2 cos x +cos x
= √3
2 sin x + 1
2 cos x =sin(x + π
6)
，
由f (α )= √3
2
，得sin(α + π
6)= √3
2
，
∵α ∈(0,π )，∴α + π
6 ∈(
π
6 , 7 π
6 )
，
∴α + π
6 = π
3
，或α + π
6 = 2π
3
，∴α = π
6
，或α = π
2
，
故cosα = √3
2
，或cosα =0
17.解：(1)根据向量三角形法则：
EG⃗= EB⃗+ BG⃗= 1
2 AB⃗+ 1
4 BC⃗= 1
2 a⃗+ 1
4 b⃗，
FG⃗= FA⃗+ AB⃗+ BG⃗
=- 1
2 AD⃗+ AB⃗+ 1
4 BC⃗=- 1
2 b⃗+a⃗+ 1
4 b⃗=a⃗- 1
4 b⃗．
(2)EF⃗= EA⃗+ AF⃗=- 1
2 a⃗+ 1
2 b⃗，
EF⃗⋅EG⃗=(- 1
2 a⃗+ 1
2 b⃗)⋅(
1
2 a⃗+ 1
4 b⃗)=- 1
4 a⃗
2+ 1
8 a⃗⋅b⃗+ 1
8 b⃗
2，
已知|a⃗|=|b⃗|=2，∠DAB =60
∘，a⃗⋅b⃗=2，a⃗
2=b⃗
2= 4，
所以EF⃗⋅EG⃗=- 1
4 ≠0，
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∴EF⃗
与EG⃗
不垂直，故EF与EG不垂直．
(3)设DP⃗=t DC⃗
，t ∈[0,1]，AP⃗= AD⃗+ DP⃗=b⃗+t a⃗
，
∴AP⃗⋅AB⃗=(b⃗+t a⃗)⋅a⃗=b⃗⋅a⃗+t a⃗
2= 4 t +2，
∵t ∈[0,1]，AP⃗⋅AB⃗
的最大值为6，最小值为2，
∴AP⃗⋅AB⃗∈[2,6]．
18.解：(1)连接BD交AC于点O，连接OE，
因为ABCD是正方形，所以O为BD中点，
所以在▵PBD中，OE为中位线，OE // PD，
又∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PD //平面AEC；
(2)取PD的中点Q，因为O为BD中点，
所以在▵PBD中，QO为中位线，所以QO // PB，QO = 1
2 PB = 3
2
，
所以∠QOA为异面直线PB与AC所成角(或其补角)，
在▵QOA中，AQ =√A D
2- DQ
2=√4 -1=√3，AO = 1
2 AC =√2，QO = 3
2
，
由余弦定理可得cos∠MOA = A O
2+QO
2- A Q
2
2 AO⋅QO
=
2+ 9
4 -3
2×√2× 3
2
= 5√2
24
，又∠QOA ∈(0,π )，
所以∠QOA为锐角，
所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为5√2
24
；
(3)当F是棱PC中点时，BF //平面AEC
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证明如下：取PE中点M，连接FM，DM，则FM //CE，
∵FM ⊄平面AEC，EC ⊂平面AEC，
∴FM //平面AEC，
在▵BDM中，E为BG中点，O为BD中点，OE // DM
DM ⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以DM //平面AEC；
DM ∩MF = F，所以平面DFG//平面AEC；
DF ⊂平面DFG，∴DF //平面AEC
19.解：(1)由平方差公式可得[g(x)]
2-[f (x)]
2=[g(x)- f (x)][g(x)+ f (x)]，
g(x)- f (x)=2
- x，g(x)+ f (x)=2
x，
因此代入得[g(x)- f (x)][g(x)+ f (x)]=2
- x⋅2
x =2
0=1，
所以[g(x)]
2-[f (x)]
2=1；
(2)(ⅰ)当m=2时，h(x)= g(2 x)- 4 f (x)= 2
2 x+2
-2 x
2
-2(2
x -2
- x)= (2
x -2
- x)
2+2
2
-2(2
x -2
- x)，
令t =2
x-2
- x，则φ(t )= 1
2 t
2-2t +1，
因为函数y =2
x为增函数，y =2
- x为减函数，
所以函数t =2
x-2
- x为增函数，
当x =-1时，t =- 3
2
，当x =2时，t = 15
4
，
所以若x∈[-1,2]，则t ∈[- 3
2 , 15
4 ]
，
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二次函数φ(t )= 1
2 t
2-2t +1开口向上，对称轴为t =2，
所以当t ∈[- 3
2 , 15
4 ]
时，φ(t )≥φ(2)=-1，φ(t )≤φ(- 3
2)= 41
8
，
所以当t =2时，φ(t )取最小值，最小值为-1，
当t =- 3
2
时，φ(t )取最大值，最大值为41
8
，
所以函数h(x)在区间[-1,2]上的最大值为41
8
，最小值-1；
(ⅱ)
方法一：函数h(x)在(0,2)上有两个零点x1
，x2
可转化为方程1
2 t
2-mt +1=0在t ∈(0, 15
4 )
有两个不等根，
设H (t )= 1
2 t
2-mt +1，
所以{
Δ>0
- b
2a ∈(0, 15
4 )
H (0)>0
H(
15
4 )>0
，即{
m
2-2>0
0<m< 15
4
1>0
225
32 - 15
4 m+1>0
,
解出√2<m< 257
120
，
设t1,t2
为方程1
2 t
2-mt +1=0在t ∈(0, 15
4 )
的两根，
则{
t1+t2=2m
t1t2=2
，因为t1=2
x1-2
- x1，t2=2
x2-2
- x2，
t1+t2=2
x1-2
- x1+2
x2-2
- x2=(2
x1+2
x2)(1-
1
2
x1+ x2)=2m，
又x1+ x2=2，得到2
x1+2
x2= 8
3 m①，
t1t2=(2
x1-2
- x1)(2
x2-2
- x2)=2
x1+ x2-2
x1- x2-
1
2
x1- x2 +
1
2
x1+ x2 =2，
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两边同乘2
x1+ x2得，(2
x1+ x2)
2+1-(2
2 x1+2
2 x2)=2⋅2
x1+ x2，x1+ x2=2，
代入整理得9=(2
2 x1+2
2 x2)=(2
x1+2
x2)
2-2⋅2
x1+ x2，
整理得9=(2
x1+2
x2)
2-8 ②，
结合①②得(
8
3 m)
2
=17，求出m= 3√17
8
，满足题意．
方法二：函数h(x)在(0,2)上有两个零点x1，x2，
可转化为关于t的方程1
2 t
2-mt +1=0在t ∈(0, 15
4 )
有两个不等根，
故关于t的方程m= 1
2 t + 1
t
在区间(0, 15
4 )
上有两个不相等的实数根，
所以y =m与y = 1
2 t + 1
t
，t ∈(0, 15
4 )
有两个交点，
函数y = 1
2 t + 1
t
，t ∈(0, 15
4 )
在(0,√2)上单调递减，在(√2, 15
4 )
上单调递增，
当t =√2时，1
2 t + 1
t =√2，当t = 15
4
时，1
2 t + 1
t = 257
120
，
所以√2<m< 257
120
，
设t1,t2
为方程1
2 t
2-mt +1=0在t ∈(0, 15
4 )
的两根，
则{
t1+t2=2m
t1t2=2
，因为t1=2
x1-2
- x1，t2=2
x2-2
- x2，
t1+t2=2
x1-2
- x1+2
x2-2
- x2=(2
x1+2
x2)(1-
1
2
x1+ x2)=2m，
又x1+ x2=2，得到2
x1+2
x2= 8
3 m①，
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t1t2=(2
x1-2
- x1)(2
x2-2
- x2)=2
x1+ x2-2
x1- x2-
1
2
x1- x2 +
1
2
x1+ x2 =2，
两边同乘2
x1+ x2得，(2
x1+ x2)
2+1-(2
2 x1+2
2 x2)=2⋅2
x1+ x2，x1+ x2=2，
代入整理得9=(2
2 x1+2
2 x2)=(2
x1+2
x2)
2-2⋅2
x1+ x2，
整理得9=(2
x1+2
x2)
2-8 ②，
结合①②得(
8
3 m)
2
=17，求出m= 3√17
8
，满足题意．
