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荆州中学 2024~2025 学年高一下学期二月月考
数学试题
（全卷满分150分 考试用时120分钟）
一、单选题
1．已知一个扇形的圆心角为 ，且面积为 ，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若 ， ，则
D．向量 与向量 的长度相等
3．已知角 的终边上有一点 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
4．若关于 的方程 有两相异实根 ，且 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
5．设 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
6．存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B． C． D．7．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针
转动一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计时，则下列说法错误的是
（ ）
A．点 第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点 距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点 在水面下方，距离水面2米
D．点 距离水面的高度 （米）与时间 （秒）之间的函数解析式为
8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4>0的解集为(－∞，m)∪( ，＋∞)，其中m<0，则
＋ 的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
二、多选题
9．已知 ，下列式子中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若正实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最小值 D． 有最小值11．把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数
图象恰好关于 轴对称，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 关于点 对称
C． 在 是上单调递增
D．若 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围为
三、填空题
12．已知 ，则 .
13．计算： .
14．已知函数 ， 的最小正周期 ，若函数 在 上单调，
且关于直线 对称，则符合要求的 的所有值的和是 .
四、解答题
15．计算下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
16．已知 ， ， ， .(1)求 的值；
(2)求 的值.
17．已知函数 的最大值为 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)英国数学家泰勒 发现了如下公式： ，其
中 ，该公式被编入计算工具，计算足够多的项就可以确
保显示值的准确性．运用上述思想，计算 的值： 结果精确到小数点后 位，参考
数据： ，
18．如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成 角，该铁棒欲通过该直角走
廊，求：
(1)铁棒长度L（用含 的表达式表示）；
(2)当 时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．19．我们将满足下列条件的函数 称为“ 伴随函数”：存在一个正常数 ，对于任意
的 都有 且 .
(1)是否存在正常数 ，使得 是“ 伴随函数”？若存在，请求出一个 的值；
若不是，请说明理由；
(2)已知 是“ 伴随函数”，且当 时， .
（i）求当 时， 的解析式；
（ii）若 为方程 在 上的根，求
的值.
