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襄阳四中 2025 级高一年级下学期期中学情质量检测
数 学 试 题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 若复数 满足
，则 在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（
）
A. 四棱台
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱
3. 设
是非零向量，“
”是“
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 在
中，角
、 、
的对边分别为 、 、 ，
的面积记为 ，若
且
，则
的形状为（
）
A. 直角三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形
D. 钝角三角形
5. 已知复数 满足
，且
，则
（
）
A. 1
B.
C.
D.
6. 已知向量
满足
，则
（
）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
7. 在
中，角
， ，
，所对的边分别为 ， ， ，
，
点为
上一点且
，
，则
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
8. 17 世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
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求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在
中， 若三个内角均小于
， 则
当点 满足
时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称
为费马点.根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且
，
，则
的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知向量
，
，
，则下列说法正确的有（
）
A.
B. 若
，则
C. 若
，则
D.
在 上的投影向量坐标为
10. 对于
，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A. 若
，则符合条件的
有两个
B. 若点
为
的重心，则
C. 若点 为
所在平面内的动点，且
，
，则点 的轨
迹经过
的垂心
D. 已知 是
内一点，若
分别表示
的面积，
则
11. 在△ABC 中，角
的对边分别为
，且
则下列说法正确的是（
）
A.
为钝角三角形
B.
C. 若
为边
的中点，则|AM|的取值范围为
D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 如图，在棱长为 的正方体
中，点
为线段
上的动点，则线段
的
最小值为_______．
13. 如图所示，为测量河对岸的塔高
，选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点
与
，现测
得
，
，
，
，则塔高
________．
14. 已知非零向量 ， ， 满足：
，且不等式
恒成立，则实数
的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数
，
， 是虚数单位．
（1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值：
（2）当
时，复数 是关于 x 的方程
的一个根，求实数 p，q 的值．
16. 在
中，角
、 、
所对的边长分别为 、 、 ，
，
.．
（1）若
，求
的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得
为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
17. 在菱形
中，
，
，
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）求
的值；
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（3）若 在线段
上的动点，问
是否为定值?若是，求该定值；若不是，求
的取值范围
.
18. 如图所示，在△ABC 中，
，AD 是∠BAC 的平分线，且
.
（1）求 k 的取值范围；
（2）若
，求 k 为何值时，BC 最短.
19. 若
内一点 满足
，则称点 为
的布洛卡点， 为
的
布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点 为
的布洛卡点， 为
的
布洛卡角．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
为锐角三角形，
①若
，求
的值；
②若
，求
的取值范围．
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