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江苏南通市海安高级中学2025-2026 学年高一下学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知复数
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
2．已知
，
，
，则（ ）
A．
、
、
三点共线
B．
、
、
三点共线
C．
、
、
三点共线
D．
、
、
三点共线
3．
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，若
与垂直，则
（ ）
A．13
B．
C．11
D．
5．已知
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．若
，其中
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
是
斜边
上一点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
是
边上靠近
点的三等分点，
是
边上的动
点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若为非零向量，且
，则
B．对向量非零向量
，若
，则存在唯一实数
使得
C．在
中，若
，则
与
的面积之比为
D．已知
，且与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是
11．设
中角
，
，
所对的边长度分别为，，，满足
，则以下
选项中正确的有（ ）
A．
为锐角三角形
B．若确定，则
的面积确定
C．
D．
三、填空题
12．若非零向量，的夹角为
，且
，
，则在上的投影向量为__________．
13．化简
_______________.
14．在等边三角形
的三边上各取一点
，
，
，满足
，
，
，则三角
形
的面积的最大值是______．
四、解答题
15．已知复数
，其中
，为虚数单位.
（1）若为纯虚数，求
的值；
（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求
的取值范围.
16．如图，在
长方形网格中，向量，满足：
，
，向量
，
.
(1)在图中，以
为起点作向量
，并求
；
(2)若与
共线，求实数的值；
(3)若与
垂直，求实数的值.
17．已知函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)若
，求
的值．
18．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一
个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠
的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形
的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD
连接，设
中边
所对的角为
，
中边
所对的角为
，经测量知
，
．
(1)若
，求
；
(2)霍尔顿发现无论
多长，
为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记
与
的面积分别为
和
，为了更
好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出
的最大值．
19．已知O 为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的相伴特征向量，
同时称函数
为向量
的相伴函数.
（1）设函数
，试求
的相伴特征向量
；
（2）记向量
的相伴函数为
，求当
且
，
的值；
（3）已知
，
，
为
的相伴特征向量，
，请
问在
的图象上是否存在一点P，使得
.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【详解】
2．A
【详解】对于A 选项，
，
故
、
、
三点共线，A 对；
对于B 选项，因为
，
，故
、
不一定共线，B 错；
对于C 选项，因为
，
，
所以
、
不一定共线，C 错；
对于D 选项，因为
，
，则
、
不一定共线，D 错.
故选：A.
3．D
【详解】
，
故选：D
4．A
【详解】
，若
与垂直，则
，
即：
，解得：
.
5．D
【详解】在
中，由正弦定理，得
，
所以
，又
，所以
或
.
故选：D
6．A
【详解】∵
，则令
①，
∵
②，
由①
2＋②
2得
，
又
，∴
．
∴
．
故选：A.
7．D
【详解】在
中，令
，由
，则
，
，
，
在
中，
，由正弦定理，
，
即
，整理得
，
即
，因
，则有
，即
的值是
.
故选：D
8．C
【详解】由
，解得
.
设
，
则
.
故选：C
9．ABD
【详解】对于A，
，
A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，取
，则
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】A.若
，则
，则
或
，故A 错误；
B.此为共线定理，故B 正确；
C.令
因
，
则
，则
为
的重心，故
，
因
，
同理可得
，
则
，故C 正确；
D.
，当与
共线时，有
，得
，
因与
的夹角为锐角，则
且与
不共线，则
且
，故D 错误；
故选：BC.
11．ABD
【详解】对于A，在
中，因为
，
令
，
显然
，若
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以
，同理，
，
，与
矛盾，
若
，此时
，
因为
，所以
，则
，
所以
，同理，
，
，
即
，
，
为锐角，故
为锐角三角形，A 正确；
对于B，因为
，
所以
，①，
②
+
①②得
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，③
-
①②得
，
所以2cos(B+C)sin (B -C)=- 1
4 ×2sin A cos A，
所以cos A sin (B -C)= 1
4 sin A cos A，
因为
，所以
，
所以sin (B -C)= 1
4 sin A，④
由③④可得(
11
4 cos A)
2
+(
1
4 sin A)
2
=1，
解得
，同理sin B = 5√2
8
,sinC = 3
4 ，
若确定，则
唯一确定，则它的面积确定，B 正确；
对于C，由B 可知，
，
所以
，C 错误；
对于D，由B 可知，sin A = √14
4
,sin B = 5√2
8
,sinC = 3
4 ，
所以
，D 正确.
12．
【详解】因为
，所以
，
解得：
，所以
，
所以在上的投影向量为
.
13．
/0.5
【详解】
.
故答案为:
.
14．
【详解】因为
，
，
，所以
，
设
，
，
则
，
，
，
在
中由正弦定理
，即
，
所以
，
在
中由正弦定理
，即
，
所以
，所以
（其中
），
所以
，则
，
即三角形
的面积的最大值是
．
故答案为：
15．（1）2；（2）
.
【详解】（1）∵为纯虚数，
∴
，解得
（2）由在复平面内对应的点在第一象限，
∴
，解得
或
∴实数
的取值范围为
16．(1)作图见解析，
；
(2)
；
(3)
【详解】（1）如图所示：
；
（2）因为
，
，且与
共线，
所以
，解得
；
（3）因为
，
，且与
垂直，
所以
，
，
，
解得
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
，
因为
，所以
，所以
，
即函数
的值域为
.
（2）由
，
，
得
，
所以
＝
.
18．(1)答案见解析
(2)验证见解析，1
(3)14
【详解】（1）由
，
．
，
在
中，由余弦定理得
,
所以
.
又
，所以
是等边三角形，
所以
；
（2）在
中，由余弦定理得
在
中，由余弦定理得
，
∴
所以
为定值；
（3）
，
则
，
由（2）知：
，∴
代入上式得：
，
配方得：
，
∵
又
,
所以当
时，
取到最大值14．
19．（1）
；（2）
；（3）存在，点
.
解：（1）
的相伴特征向量
.
（2）向量
的相伴函数为
，
，
.
，
，
.
.
（3）由
为
的相伴特征向量知：
.
所以
.
设
，
，
，
，
又
，
.
，
，
，
.
又
，
当且仅当
时，
和
同时等于
，这时
式成立.
在
图像上存在点
，使得
.
