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江苏盐城市五校联盟2025-2026 学年高一下学期4 月期中数学试题
一、单选题
1．若复数
，则复数的虚部是（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知点
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos 〈a＋b，a－b〉＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
中的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的形状是
（ ）
A．锐角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
7．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．平面向量
满足
，
，则
与夹角取最大值时
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若
，则存在唯一实数
使得
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以
D．若点
为
的重心，则
10．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，
其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
，现有
满
足
，且
，则（ ）
A．
三个内角A、B、C 满足关系
B．
的周长为
C．若
的角平分线与
交于D，则
的长为
D．若E 为
外接圆上任意一点，则
的最大值为
三、填空题
12．已知向量
不共线，
，
，
，则实数
________．
13．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线
上，则
的值为
__________．
14．如图1 是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其
每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意
图如图2 中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设
为线段
上任意一点，则
的取值范
围是_____．
四、解答题
15．已知向量
，
，且与的夹角为
．
(1)求
；
(2)若
与
所成的角是锐角，求实数
的取值范围．
16．在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求角C 的大小；
(2)求
的值．
17．已知
，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
18．已知，，分别为
三个内角
，
，
的对边，
(1)求角
；
(2)若
，
的面积为
，求，；
(3)若
，且
为锐角三角形，
为
的中点，求中线
的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作
一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当
的三
个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当
有一个内角大于或
等于
时，最大内角的顶点为费马点．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求
；
(2)若
，
，且点
为
的费马点，求
；
(3)设点
为
的费马点，
，求的最小值．
参考答案
1．A
【详解】由
，则其虚部为
.
故选：A.
2．B
【详解】由题意，
，其中
为坐标原点，
则
.
3．B
【详解】由题意可得
，解得
.
故选：B.
4．D
【详解】选项A:
,
,
, 共线, 不能作为基底.
选项B:
,
,
, 共线, 不能作为基底.
选项C:
是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底.
选项D:
,
,
, 不共线, 可以作为基底.
5．B
详解：因为a＝（3，1），b＝（2，2），所以a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），则|a＋b|＝
＝
，|a－b|＝
＝
，（a＋b）·（a－b）＝5×1＋3×（－1）＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝
＝
＝
.故选B.
6．D
【详解】由
，
利用正弦定理：
，
整理得
，
因为
，所以
，故
，
故
．
所以
为直角三角形.
故选：D．
7．D
【详解】由
,可得
，
又
，
所以
，
故选：D
8．D
【详解】因为
满足
，
，
所以
，
所以
，所以
,
由夹角公式得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，
在
上单调递减，
所以
，
即
时，
最大为
，
此时
．
故选：D
9．BD
【详解】对于A，当
，为非零向量时，不存在实数
使得
，故A 错误；
对于B，
可以推出
，而
时，
的方向不一定相同，
故
推不出
，故
”是“
”的必要不充分条件，故B 正确；
对于C，向量不能比较大小，故C 错误；
对于D，因为
为
的重心，则连接
并延长交
于
，
则
为
的中点，故
，所以
，故D 正确;
10．ABD
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，
，因此
，D 正确.
11．ABD
【详解】对于A，由
，设
，
由余弦定理，
，又
，
，则
，故A 正确；
对于B，由
，解得
，
，则
的周长为
，故B 正确；
对于C，由
，
所以
，解得
，故C 错误；
对于D，当E 在优弧AC 上时，设
，
，则
，
在
中，
，
由正弦定理，
，
，
因为
，所以
，
当
，即
时，
，即
取得最大值
；
又当点
与点
重合时，
；
当点
与点
重合时，
；
当E 在劣弧AC 上时，若
相同时，此时
小于E 在优弧AC 上；
综上，
的最大值为
，故D 正确.
故选：ABD.
12．
【详解】因为
，所以
，
，则
，解得
．
故答案为：
13．
【详解】由三角函数的定义得
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．
【详解】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为、
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
，设点
，其中
，
，
，
则
，
令
，其中
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又因为
，
，故
，即
.
所以
的取值范围是
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为向量
，
，且与的夹角为
，
则
，解得
，
（2）由（1）可得
，且
，
因为
与
所成的角是锐角，则
，
解得
，
且向量
与
不共线，则
，即
，
因此，实数
的取值范围是
16．(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
．
（2）
，
，
，
．
17．(1)3
(2)
【详解】（1）因为
，又
，
所以
；
（2）因为
，
，所以
，
又
，所以
， ，
又
，所以
.
18．(1)
(2)
，
.
(3)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理知可得
，
而
，
，
即
，又
，
，即
，
又
，则
，则
.
（2）由（1）及题设可得
，即
，
将
代入
，整理得
，则
，
即
（负值舍去），故
.
（3）因为
为
的中点，所以
，
两边平方得
，
在
中，由余弦定理得
，即
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
且
，解得
，
所以
，所以
，则
，
所以
，
所以中线
的取值范围是
.
19．(1)
；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）
，则
，
，
，故
.
（2）由（1）知
，所以
的三个角都小于
，
由费马点定义知
，
设
，
，
，由
，
整理得
，整理得
，
则
.
（3）因为点
为
的费马点，所以
，
设
，
，
，
，
，
，
由
，得
．
由余弦定理得
，
，
，
由
，得
，
，又
，
，所以
，
当且仅当
，结合
，解得
时，等号成立，
又
，所以
，解得
或
（舍去），
故的最小值为
．
