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2025－2026 学年高一下
数学参考答案与评分标准
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
题号
D
B
A
C
A
B
D
B
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0 分）
题号
9
10
11
题号
ABD
AD
ABD
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12．1
13．（5，-6）
14．
13
2
3
2
或
四、解答题（本大题共5 小题，共77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．命题说明：
题目来源：改编自教材必修二P36 第9 题
（1）记a
与b 的夹角为，∵cos=
2
1
5
3
2
5
3
|
|
|
|
b
a
b
a
，且∈（0，)
（4 分）
∴= 3
，则a
与b 的夹角为3
．
（5 分）
（2）设
( , )
a
x y
，则
2
2
9
2
x
y
y
x
，解得
3 5
5
6 5
5
x
y
或
3 5
5
6 5
5
x
y
（9 分）
因此
3 5 6 5
,
5
5
a
或
3 5
6 5
,
5
5
a
．
（13 分）
16．命题说明：
【答案】（1）�= �，单增区间
Z
k
k
k
,
12
5
,
12
，
）
（
2
2
【详解】（1）f(x) = �∙�= 2sinx cos x +
3 −2
3cos2x
…………………1分
学科网（北京）股份有限公司
2
= sin2�+
3(1 −2cos2�)
= sin2�−
3 cos2x
……………………… 2分
= 2(
1
2 sin2�−
3
2 cos 2x)
……………………… 3分
= 2sin(2�−
π
3 )
………………………
4分
所以函数f(x)的最小正周期为
……………………
5 分
令−�
2 + 2��≤2�−�
3 ≤�
2 + 2��（
Z
k ）
………………………
7分
解得，−
�
12 + ��≤�≤
5�
12 + ��（
Z
k
），
故f(x) =2sin(2x−
π
3 )的单调增区间为−
π
12 +kπ,
5π
12 +kπ （
Z
k
）.…………………
9分
（2）
对∀xϵ
π
4 ,
5π
6
,不等式f(x)=2sin(2x−
π
3 )−m<0 恒成立
等价于
m>f(x) 在
π
4 ,
5π
6 上恒成立，即m 要大于f(x)在该区间的最大值
……………
11分
∵xϵ π
4 , 5π
6
∴2x−π
3 ϵ π
6 , 4π
3
∵y= sin t 在tϵ
π
6 ,
π
2 上单调递增，在
π
2 ,
4π
3 上单调递减，
………………
13分
当t=
π
2 时，sin t 取得最大值，即2x−
π
3 =
π
2 解得x=
5π
12 ϵ
π
4 ,
5π
6
∴f(x)max=2×1=2
故m 的取值范围（2，+∞）.
……………………………… 15分
学科网（北京）股份有限公司
3
……………4分
学科网（北京）股份有限公司
4
19．命题说明：
题目来源：素材选自教材必修二37 页15 题
解：（1）不一定成立
….........17分
．
（1 分）
若a
b
，可得
2
2
1 1
1
2
2 1
2
2
1
2 1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
·
·
a b
x e
y e
x e
y e
x x e
x y
x y
e e
y y e
，
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
·
x x
y y
x y
x y
e e
，
而（x2y1+x1y2)
2
1 e
e
不恒为零，因此
1
2
1
2
0
x x
y y
不一定成立．
（4 分）
（2）由a =（1，2），b =（2，1），得
2
1
2e
e
a
，
2
1
2
e
e
b
，且
cos
cos
1
1
2
1
e
e
，
所以
cos
4
5
4
4
)
2
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
e
e
e
e
e
e
a
，
cos
4
5
4
4
)
2
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
e
e
e
e
e
e
b
，
则
cos
4
5
|
|
|
|
b
a
，
（6 分）
…………10分
……8分
…………12分
…………14分
…………16分
学科网（北京）股份有限公司
5
故
cos
5
4
)
2
2
1
1(
2
2
)
2
(
)
2
(
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
b
a
，
（7 分）
因为a 与b 的夹角为π
3 ，
则
2
1
cos
4
5
cos
5
4
|
|
|
|
3
cos
b
a
b
a
，解得
2
1
cos
，则
3
2
．
（9 分）
（3）
如图：在直角坐标系xOy中，
1
2
π
π
1
3
(1,0),
cos
,sin
,
3
3
2
2
e
e
，
设
1
2
1
3
( ,0),
,
,
0,
0
2
2
OB
me
m
OC
ne
n
n
m
n
，
即在
OBC
△
中，由余弦定理得
2
2
3
m
n
mn
，
…...........11 分
E ，F 分别为
,
BD BC 的中点，
则
1
1
7
7 3
1
1
1
3
(
)
,
,
(
)
,
2
2
38
38
2
2
2
2
OE
OB
OD
m
n
n
OF
OB
OC
m
n
n
2
2
1
7
1
7 3
3
1
13
7
4
38
2
38
2
4
19
19
OE OF
m
n
m
n
n
n
m
mn
n
2
2
1
39
8
5
19
76
m
n
.
...........（13 分）
在
OBC
△
中，由正弦定理
π
sin
sin
sin 3
BC
OB
OC
BCO
CBO
，
设
BCO
，则
π
2π
sin
sin
,
0,
3
3
CBO
，
所以
π
2sin ,
2sin
3
m
n
，
2
2
2
2
2π
1 cos 2
π
1 cos2
3
8
5
32sin
20sin
32
20
3
2
2
m
n
学科网（北京）股份有限公司
6
1
3
2 8(1 cos2 )
5 1
cos2
sin 2
2
2
26
5 3sin 2
11cos2 )
26 14sin(2
)]
，
其中为锐角，且
11
tan
5 3
，
...........（15 分）
因为
2π
0, 3
，则
4π
2
3
，
故当
π
2
2
时，
2
2
8
5
m
n
取得最大值26 14
40
，
则
2
2
1
39
1
39
121
8
5
40
19
76
19
76
76
OE OF
m
n
．
...........（17 分）
