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数
学
考试时间：120 分钟
命题人：龙万华
审题人：何文科
满分：150 分
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合
3
{ 4,0,1,2,8
,
,}
A
B
x x
x
∣
则A
B
（
）
A. {0,1,2}
B. {1,2,8}
C. {2,8}
D. {0,1}
2. 已知
1 i
z ，则
1
1
z
（
）
A. i
B.
i
C.
1
D. 1
3. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（
）
A. 1
4
B. 1
2
C. 3
4
D.1
4. 不等式
4
2
1
x
x
的解集是（
）
A. {
2
1}
x
x
∣
B. {
2}
x x
∣
C. {
2
1}
x
x
∣
D. {�∣�≥4 或�< 1}
5. 在△���中，
2
BC
，
1
3
AC
，AB
6
，则A （
）
A. 45
B. 60
C. 120
D. 135
6.函数
sin
e
e
x
x
x
f x
的部分图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
7．如图：, , ,
A B P Q在同一个铅垂面，在山脚A 测得山顶P 的仰角
60
QAP
，
30
QAB
，斜坡AB
长为m ，在B 处测得山顶P 的仰角
CBP
为，则山的高度PQ为（
）
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A．
3 sin
30
2sin
60
m
B．
3 sin
30
2sin
60
m
C．
3 sin
30
2sin
60
m
D．
3 sin
30
2sin
60
m
8．已知非零向量AB
与AC
满足
0
AB
AC
BC
AB
AC
，且
4
AB
AC
AB
AC
，点D 是ABC
的边
AB 上的动点，则DB DC
的最小值为（
）
A．2
B．−2
C．−1
D．1
二、多选题：本题共3 小题，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列说法错误的是（
）
A．
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
B．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数使
a
b
C．若非零向量AB 与AC 相等，则B，C 重合
D．若
c
a
b
a
，则
c
b
10. 函数
2
2
3sin
3 cos
2sin cos
f x
x
x
x
x
，下列结论正确的有（
）
A. 函数
f x 在
π
0, 4
上单调递增
B. 函数
f x 的图象关于直线
π
6
x
对称
C. 若关于x 的方程
2
0
f x
m
在
π
12
π
, 2
上有两个不相等的实数根，则
2 3,4
m
D. 函数
sin 2
2sin
h x
x
f x
x
的最大值为7
3
6
11. △���中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
2
cos
cos
c
B
b
C
a
，则下列说法正确的是（
）
A．
1
a
B．若
π
3
A
，则△���周长的最大值为3
C．若△���为锐角三角形，且
2
C
A
，则�的取值范围为
2,2
D．若△���的外心为O，则
1
2
BC BO
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知平面向量
( ,1),
(
1,2 ),
a
x
b
x
x
若
a
a
b ，则x =________.
13．已知点
(2,3), (4, 3)
A
B
,点P 在线段AB 的延长线上，且
3
AP
BP
,则点P 的坐标为______.
14．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
cos2
4
3 sin
2 3
1
A
B
C
，
2
b
，
点P 是△ABC 的重心，且
2 7
3
AP
，则a ___________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分)已知|
| 3
a
，
(1,2)
b
．
（1）若a ∙b =
2
5
3
，求a 与b 的夹角；
（2）若a ∥b ，求a 的坐标．
16.(15 分）已知向量
2sin , 3
a
x
，
2
cos ,1 2cos
b
x
x
，xR ，设函数
f x
a b
；
（1）求
f x 的最小正周期与单调递增区间；
（2）对
5
,
4
6
x
，不等式
0
f x
m
恒成立，求m 的取值范围.
17.（15 分）在ABC
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．已知�= (2�−�, 2�), �= ( cos �, 1), 且�//�．
(1)求角A 的大小；
(2)若
3
a
，ABC
的面积为3 3
4
，线段BC 的中点为D ，求AD 的长．
18.(17 分）如图，在边长为1 的正方形ABCD 中，点P ，Q 分别在边BC ，CD 上．
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（1）若点P 为边BC 上的一个靠近点B 的三等分点，且
π
3
PAQ
，求tan
DAQ
；
（2）若Rt
PCQ
△
的面积加1 等于两条直角边之和，设
PAB
,
①求∠���的大小；
②求AP
AQ
的最小值以及取得最小值时的值．
19．（17 分）如图1 所示，设Ox，Oy 是平面内相交成（0＜＜，≠2
）角的两条数轴，
1e ，
2
e 分别
是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy 为仿射坐标系，若在仿射坐标系下
1
2
OM
xe
ye
，则把有序数对（x，y）叫做向量OM
的仿射坐标，记为OM
=（x，y）．
图1
图2
（1）在仿射坐标系下，a =（x1，y1），b =（x2，y2），若a ⊥b ，则x1x2 + y1y2 = 0 是否一定成立？
请说明理由；
（2）在仿射坐标系下，若a =（1，2），b =（2，1），且a 与b 的夹角为π
3 ，求；
（3）如图2，在3
仿射坐标系中，点B，C 分别在两条数轴正半轴上（均与点O 不重合），
3
|
|
BC
，
7
19
OD
OC
，E，F 分别为
,
BD BC 的中点，求OE OF
的最大值
