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数学试题参考答案
考试时间：120 分钟
满分：150 分
1.C
2. C
3.A
4.B
5．B
6.A
7．B
8. A
9. AC
10.ACD
11.BCD
12. -0.25.
13.
1
2
且
2
14．5 3
14
8.在正四面体A
BCD
中，设棱长为a ，高为h ，O为正四面体A
BCD
内切球的球心，
延长AO 交底面BCD 于E ，E 是等边三角形BCD 的中心，BE 延长线交CD于F ，连接AF ，
则点F 是CD的中点，OE 为正四面体A
BCD
内切球的半径，
2
3
3
3
3
6
,
3
,
2
AF
BF
a
EF
a
BE
BF
a
，
2
2
6
3
h
AE
AF
EF
a
，
由正四面体ABCD 的体积为8 3 ，得
2
1
3
6
8 3
3
4
3
a
a
，解得
2 6
a
，
由
2
2
2
2
(
)
OE
BO
BE
AE
OE
BE
，解得
6
1
12
4
OE
a
h
，
则
6
2 6
4
3
h
，最大球半径
1
1
4
r
h
大
，
因此最大球的体积为
3
4π
4π
1
3
3
V
大
；
小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高
2
4
2
2
h
h
r
小
大
，
因此最小球半径
1
1
1
2
4
4
2
r
h
小
小
，
因此最小球的体积为
3
4π
1
π
3
2
6
V
小
，所以5 个球的体积之和为4π
π
4
2π
3
6
11．BCD
11.【详解】对于A，因为
cos
cos
(4cos
1)
a
B
b
A
c
A
，所以sin
cos
sin
cos
sin
(4cos
1)
A
B
B
A
C
A
，
所以
sin
sin
(4cos
1)
A
B
C
A
，又
π
A
B
C
，即
sin
sin π
sin
A
B
C
C
，
则sin
sin
(4cos
1)
C
C
A
，又sin
0
C
，所以1
4cos
1
A
，
解得
1
cos
2
A
，又0
π
A
，故
π
3
A
，故A 错误；
对于B，因为
π
3
A
，
ABC
V
外接圆的半径为2，
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所以
3
2 sin
4
2 3
2
a
R
A
，故B 正确；
对于C，因为
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
，即
2
2
12
b
c
bc
，
又
2
2
2
b
c
bc
，所以12
2
bc
bc
，得
12
bc
，当且仅当
2 3
b
c
时，取等号，
所以
1
3
3
sin
12
3 3
2
4
4
ABC
S
bc
A
bc
V
，即
ABC
V
面积的最大值为3 3 ，故C 正确；
对于D，由
2
b
c
，结合
2
2
12
b
c
bc
，解得
4,
2
b
c
，
由
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，即1
π
1
π
1
π
2 4sin
2
sin
4
sin
2
3
2
6
2
6
AD
AD
，
解得
4 3
3
AD
，故D 正确
15.【解析】（1）因为
1,2
a
，
2,3
b
,
所以
2
2
2
2
5,
13
a
a
b
b
，
所以
2
2
5 13
8
a
b
a
b
a
b
,
————6 分
（2）
5
1
2
2 3
4 65
cos
,
|
| |
|
5
13
6
a b
a b
a
b
.
————13 分
16．【答案】证明：(1)如图，取PA 的中点G，连接BG，EG，
在△PAD 中，因为E，G 分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝1
2
AD，
又因为底面ABCD 为平行四边形，F 为BC 的中点，
所以BF∥AD，且BF＝1
2
AD，所以EG∥BF，且EG＝BF，
所以四边形BFEG 为平行四边形，
所以EF∥BG，
————4 分
因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．————7 分
(2)如图，连接BD，交AC 于点H，连接EH，
因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，
所以PB∥EH，————12 分
在△PBD 中，H 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点．————15 分
17. 【解析】（1）略————7 分
（2）由（1）知BD 平面
1
1
AAC C ，所以直线
1
BC 在平面
1
1
AAC C 的射影为
1
DC ，
所以
1
DC B
即为所求的线面角，
在
ABC
V
中，
2
AB
BC
，AB
BC
，D 为AC 的中点，
所以
1
1
2 2
2
2
2
BD
AC
.
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在直角三角形
1
DC C 中，
2
2
1
1
4
2
6
DC
C C
CD
，
故在直角三角形
1
DC B 中，
1
1
3
tan
3
BD
DC B
DC
，
又
1
π
0, 2
DC B
，所以
1
π
6
DC B
，
所以直线
1
BC 与平面
1
1
AAC C 所成角为π
6 . ————15 分
18.【解析】（1）由
,
E F 分别为
,
CD BC 的中点，则
/ /
EF
BD ，
1
2
EF
BD
，
由图可得
1
1
2
2
EF
DB
AB
AD
mAB
nAD
，则
1
1
,
2
2
m
n
，
所以
1
4
mn
.————5 分
（2）由（1）可知
1
1
2
2
EF
AB
AD
，
1
2
AC
AB
AD
，
由AD
AB
，则
0
AD AB
，
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2
AC EF
AB
AD
AB
AD
AB
AD
，
可得
2
1
4
2
2 AD
，解得
2
AD
. ————10 分
（3）由图可得
1
1
4
4
PE
PA
AD
DE
xAB
AD
AB
x AB
AD
，
1
1
1
1
2
2
PF
PB
BF
x AB
BC
x AB
BA
AD
DC
1
1
1
3
1
1
2
2
4
4
2
x AB
AB
AD
AB
x AB
AD
，
2
2
1
3
1
1
3
1
·
4
4
2
4
4
2
PE PF
x AB
AD
x AB
AD
x
x
AB
AD
2
2
2
3
1
1
16
4
16
16
5
16
1
16
2
2
x
x
x
x
x
，
由0
1
x
，则
1,5
PE PF
.————17 分
19、【解析】（1）因为
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
，
由正弦定理知可得sin
cos
3 sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
，
而
sin
sin π
sin
sin
cos
cos
sin
B
A
C
A
C
A
C
A
C
，
sin
cos
3sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
A
C
C
，
即
3 sin
sin
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
C
，又sin
0
C
，
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π
3 sin
cos
2sin
1
6
A
A
A
，即
π
1
sin
6
2
A
，
又0
π
A
，则
π
π
5π
6
6
6
A
π
π
6
6
A
，则
π
3
A
.
————5 分
（2）由（1）及题设可得
2
2
2
1
sin
3
2
1
cos
2
2
bc
A
b
c
a
A
bc
，即
2
2
4
8
bc
b
c
，
将
4
b
c
代入
2
2
8
b
c
，整理得
4
2
8
16
0
c
c
，则
2
4
c
，
即
2
c
（负值舍去），故
2
b
.
————10 分
（3）因为D 为BC 的中点，所以
1
2
AD
AB
AC
，
两边平方得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
c
b
bc
，
在△ABC 中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
，即
2
2
3
b
c
bc
，
所以
2
1
3
1
3
2
4
4
2
AD
bc
bc
，
在△ABC 中，由正弦定理得
3
2
sin
sin
sin
3
2
b
c
a
B
C
A
，
所以
2sin
b
B
，
2sin
c
C
所以
2π
4sin
sin
4sin
sin
3
bc
B
C
B
B
2
π
2 3 sin
cos
2sin
3 sin 2
1
cos 2
2sin 2
1
6
B
B
B
B
B
B
，
因为△ABC 为锐角三角形，所以
π
0
2
B
且
2π
π
0
3
2
B
，解得π
π
6
2
B
，
所以π
π
5π
2
6
6
6
B
，所以1
π
sin 2
1
2
6
B
，则2
3
bc
，
所以
2
7
9
4
4
AD
，
所以中线AD 的取值范围是
7 3
,
2
2
. ————17 分
