2024-2025 学年江苏省盐城市五校联考高一下学期 4 月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( )
∘ ∘ ∘ ∘
sin17 cos43 +cos17 sin43 =
A. B. C. D.
1 2 3 2+ 6
2.复2 数 ，则复2 数 的虚部是( ) 2 4
=cos6+ sin6
A. B. C. D.
3 1 3 1
3.已2知 ， 是两个不共线的2 向量，向量 2 ， 若2 ，则 ( )
1 2 =2 1 − 2 = 1 + 2 . // =
A. B. C. D.
1 1
−2 −2 2 2
4.在 中，已知角 ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，则 ( )
△ = 4 = 6 =2 =
A. B. C. D.
5.已知2 方程 的3解在 2 2内，则 ( ) 2 3
A. 3 +2 −10=B.0 ( , +1)(C .∈ ) = D.
6.如0图，平行四边形 中1， 是 的中点， 在2线段 上，且 3 ，记 ， ，则 ( )
=3 = = =
A. B. C. D.
2 1 2 2 3 5 3 1
3 +3 3 −3 4 −8 4 +3
7.已知 ， ，则 ( )
1 1
sin( − )= 3 sin cos =2 cos(2 +2 )=
A. B. C. D.
2 1 1 2
9 9 −9 −9
8.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割底与腰之比为黄金分割比 的黄
5−1
金三角形是“最美三角形”，即顶角为 的等腰三角形例如 . 中国国旗上的五角星就是(由五2 个≈“0最.6美18三) 角形”
∘
与一个正五边形组成的如图，将五角星3的6 五个顶点相连.，记正五边形 的边长为 ，正五边形
.
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1 8边长为 ，则 的值是( )
1 1 1 1 1
A. B. C. D.
5−1 3+ 5 3− 5 5−2
二、多4 选题：本题共3小题，共2 18分。在每小题给2出的选项中，有多项4符合题目要求。
9. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.△若 为钝 角三 角形 ，则
2 2 2
B.若△ ，则 + >
C.若 > ， sin ，>sin ，则 有两解
∘
=30 =4 =3 △
D. ，则 为等腰三角形或直角三角形
10.c下os 列 = 各c式os 的值为 △ 的 是( )
A. 3
∘ ∘ ∘ ∘
tan95 −tan35 − 3tan95 tan35
B.
∘ ∘
sin15 +cos15
∘ ∘
C.sin15 −cos15
∘ ∘
D. 2sin15 + 2cos15
2 ∘ 2 ∘
11.s如in图15，设−co轴s和15轴是平面内相交成 角的两条数轴，其中 ， ， 分别是与 轴和 轴正方向同
向的单位向量 ，若向 量 ，则把有序数对 ∈叫(0,做 )向量 1 在 2 夹角为 的 坐标 系 中的坐
标，记为 ， 则 下= 列 =结 论 1 正+确 的 2 是( ) ( , )
=( , )( )
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2 8A.若 ，则
= 2,1 2 | |= 3
3
B.若 ， 则 在 上的投影向量为
1
=(1,2) 3 =(−1,1)( 3 ) 2
C.若 的最小值为 ，则
5 3
| 1 −5 2 |( ∈ ) 2 = 3
D.若对任意的 ，恒有 ，则
2
三、填空题：本 题 ∈[ 共 − 3 1 小 ,1] 题，每小 |2 题 1 + 5分 ， 2 | 共 ≥| 1 5 1 分 + 。 2 2 | ∈ [ 3 , )
12.在 中，已知 ， ， ，则
∘
△ =2 =3 =150 △ =
13.已知 是第二象限角，且 ，则 ．
1
14.若平面 向量 ， ， ，满足 sin + ，6 =3 ， sin 2 + ，3且 = ，则 的最
小值是 | |=2 | |= 3 | |=1 ( − )⋅( − )=5 cos − , +
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
实数( 取何值13时，)复数 是：
2 2
实 数 =( −3 −4)+( −5 −6)
(1)虚数?
(2) ?
(136).0本? 小题 分
已知(向量 15 ) ， ．
若 =(−4,2) ，=求(1,的−值4)
(1)若( −3 )⊥ ( +， )向量 与; 的夹角为锐角，求 的取值范围．
(127). 本 小=题(3 −分2,− ) +
( 15 )
若 ， 均为锐角，且 ．
2
求 的值 sin =3
(1) tan2 ;
若 ，求 的值．
3
(
1
2
8
). 本c小os题( + 分)=−5 cos
在 ( 中，17角 )， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 C.
△求 角 2 − =2 cos
(1) ;
若 ，且边 边上的中线长 ，求 的面积
2 2 2 7
(2) − + −3 =0 =2 △ ;
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3 8若 是锐角三角形，求 的范围．
+
( 1 3 9 ). 本△小 题 分
定义(向量 17 ) 的“伴随函数”为 函数 的“伴随向量”为
=( , ) ( )= sin + cos ; ( )= sin + cos
求=函( 数, ) 的“伴随向量” 的坐标
(1)
在
(
中
)
，
=
角
2si
，
n(
，
+3的 )
对边分别为 ，
，
，若函数
;
的“伴随向量”为 ，且已知 ，
(2) △ ℎ( ) =(0,1) =4
3
ℎ (ⅰ ( )求 )= 5 周长的最大值
(ⅱ)求△ ;的取值范围．
| + |− ⋅
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4 8参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
3
2
13.
4 2
− 9
14.
5
15.解15：因为 实数，所以
当 ，即 或 时，复数 是实数；
2
(1)当 −5 −6=0，即 =6 且−1 时， 复数 是虚数；
2
(2) −5 −6≠0 ≠6 ≠−1
当 ，即 时，复数 是 ．
2
−3 −4=0
(3) 2 =−1 0
16.解： −若5 −6=0 ，则 ，
→ → → →
因为 (1) ( −，3 )⊥ ( +， ) ( −3 )·( + )=0
=(−4,2) ， =(1,−4) ，
所 −以3 = −7,14 + = 1−，4 ,2 −4
−7(1−4 )+14(2 −4)=0
解得 ；
9
向
量
=8
与 的夹角为锐角，则 ，
(因2)为 + ， ， + · >0
所以 =(−4,2) =，(1,−4)
又 + = −3,−，2
=(3 −2,− )
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5 8所以 ，解得 ，
6
又当 −3 3 与 − 的 2 夹 + 角 2 为 >0 ，不符题 意 < ，7
∘
所以 + ，0 解得 ，
4
3 ≠−2(3 −2) ≠9
则 的取值范围为 ．
4 4 6
(−∞,9)∪(9,7)
17.解： ， 均为锐角，且 ，
2
(1) sin =3
所以 ，
2 5
cos = 1−sin = 3
所以 ，
sin 2 2 5
tan =cos = 5= 5
故 ．
2tan
t由an于2 ，=1−均ta为n 2 锐 =角4， 5
(所2)以 ，
+ ∈ (0, )
由于 ，
3
cos( + )=−5
所以 ，
4
则 sin( + )= 5
cos =cos[( + )− ]= cos( + )cos +sin( + )sin
．
3 5 4 2 8−3 5
=18−.解5×：3 +在5×3=中，15因为 ，所以根据正弦定理得
又 (1) △ 得 2 − =2 cos 2sin −sin =sin cos
所以 + + = 2sin( + )−sin =sin cos
2cos sin =sin
因为 ，所以 所以
1
∈ (0, ) sin ≠0 cos =2
又 所以
∈ (0, ) = 3
由 ，并结合余弦定理得 ，解得
2 2 2 3 1
(2) − + −3 =0 2 =2 =3
又 是边 边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知 ，
1
等式
两边平
方得 ，解得 负
舍
=2( + )
2
| | +3| |−40=0 =| |= 5( )
所以 的面积
1 3 15 3
因 为 是锐 角 三 = 角2形 × ， 5 且 × 由 3× 2知 = 4 ．
(3) △ (1) = 3
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6 8所以 即 解得
0< < 2 0< < 2
. 2 6 < < 2
0< < 2 0< 3 − < 2
由正弦定理得：
3 2 3 3 1
+ sin +sin 2+sin(3− ) 2+2cos +2sin
= sin = sin = sin
2
3 1+cos 1 3 1+2cos −1 1 3 1 1
= ( )+ = ( 2 )+ = +
2 sin 2 2 2 2 2
2sin cos tan
因为 所以 ，所以 2 2 ， 2
所以6 < < 2. 12< 2 < 4 ， 2− 3<tan2 <1
3+1 3 1 1
2 < 2 tan 2 +2< 3+2
即 的范围为
+ 3+1
19.解 ： 因为 ( 2 , 3+2) ，
(1) ( )=2 ( +3)=2 3+2 3 = + 3
所以函数 的“伴随向量” ；
由于 函 ( ) 数 =2si 的 n( “ + 伴3随 ) 向量”为 = ， (1, 3)
(所2)以( ) ℎ(， ) =(0,1)
ℎ( )=
又因为 ，
3
ℎ( )= 5
所以 ，
3
在 中=，5 ，由余弦定理得： ，
2 2 2
△ =4 = + −2
即 ，
2 2 6 2 16
16= + −5 =( + ) − 5
又由基本不等式得： ，
16 2 16 + 2
5 =( + ) −16≤ 5 ( 2 )
所以 ，
1 2
即 5( + ) ≤，16
2
所以( + ) ≤80 ，当且仅当 时，等号成立．
所以 + ≤ 80=4 5， = =2 5
所以周 +长 的+最 大≤值4为5+4 ；
4 5+4
，
2 2
2 2 6 3
(
又
)| + |− ⋅
，
= + +2 ⋅ − ⋅ = + +5 −5
2 2 6
16= + −5
所以 ，
2 2 6
+ =16+5 ⩾2
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7 8所以 ，当且仅当 时取等号，
0< ⩽20 =
3
· =cos · =
所以 5
2 2 6 3
| + |− ⋅ = + +5 −5
，
12 3 3 3
= 16+ 5 −5 =2 4+5 −5
令
3
所以 = 4+5 ∈(2,4],
2 2
即 | + |− ⋅ 的 取=−值 范+围2为 +4=−． −1 +5 ∈[−4,4),
| + |− ⋅ [−4,4)
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8 8
