江苏省百校联考2024-2025学年高一下学期5月月考试题数学PDF版含答案_2024-2025高一（7-7月题库）_2025年6月7.10新增_0609江苏省百校联考2024-2025学年高一下学期5月月考试题

江苏省 2024-2025 学年高一下学期百校联考数学试卷 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，正方形 A B C O  的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观 图，则原图形的周长为 A.12cm B.16cm C.(22 2)cm D.4(1 3)cm 2．已知 , , 是三个不同的平面， l , m , n 是三条不同的直线，且 l , m , n       ．在下列条件中， 能推出 l   的是 A. n , m     B. m , n     C. n  l , m  l D.ml,n 3．如图，设 O x , O y 是平面内相交成 6 0  角的两条数轴， e 1 , e 2 分别是与x轴、 y 轴正方向同向的单位向 量，若向量 O P  x e 1  y e 2 ，则把有序数对 ( x , y ) 叫作向量OP在坐标系xOy中的坐标．若 O N  ( 4 , 5 ) O M  ( 1 , 2 ) , ，则 | M N | A.5 5 B.3 C. 3 3 D.6 4．在 A B C 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a,b,c，若 A  π 3 , b  2 , a  7 ，则 t a n B  5 3 A.2 B. C.3 D. 2 2 1 3 5．已知sinsin ,cos() ，则 5 5 c o s 2 ( )    A.  1 5 B. 1 5 C. 1 2 8 5 23 D. 25 6．在三棱锥PABC中，PB  PC  AB  AC  BC 4,PA2 3，则异面直线PB与AC所成角的 正切值是 A.  1 2 5 B. 1 2 5 C.3 7 D.3 7 7．如图，在 A B C D 中，  D A B  6 0  , A B  2 A D , E 为边AB的中点，线段AC与DE交于点 F ，则 cosAFE  A.  3 1 2 4 1 21 B. C. 7  1 7 4 1 D. 7 8．在 A B C 中， a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边，已知 a c o s C  3 a s i n C  b  c  0 ．设 D 为边 BD 2c BC上一点，若AD  7，且  ，则 ABC面积的最小值为 CD b A. 2 3 B.3 3 C. 4 3 D.6 3 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知正方体 A B C D  A 1 B C1 1 D 1 的棱长为1，点P在线段BD上运动，则 A. C 1 P  A C1 B.直线 B 1 P 一定与 A D 1 共面 C. S A C1 P 3 的最小值为 D. 4 A P  C 1 P 的最小值为 6  2 2 10．在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2 b2 c2 bc0，则下列说法正确的是 π A.A B.若a 4，则 4 A B C 面积的最大值为4 3 4 4 33 C.若a  3,cosB  ，则c D.若 5 5 b s i n C  s i n C  3 c o s C ，则c2 11．已知函数 f(x)(xD)，若存在非零常数T,xD，都有 f(xT) f(x)成立，我们就称 f(x)为“T 不减函数”，若  x  D ，都有 f(xT) f(x)成立，我们就称 f ( x ) 为“严格 T 增函数”．下列说法正 确的是 A.函数 f(x)cosxsinx(DR)是“ T 不减函数” B.若函数g(x)asinxbcosx(ab0)，则g(x)一定不是“严格T 增函数” C.函数 f ( x )  2 s i n  2 x  π 6  ( D  [ 0 , π ] ) 为“严格  π 6 增函数” D.若函数 f ( x )  k x  s i n 2 x ( D  R ) 是“ π 2 不减函数”，则 k 的取值范围为  2 π ,    三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12．若两个单位向量 a , b 满足 | a  b | 3 | a  b | ，则a与 b 的夹角是__________． 13．已知 3 s i n c o s 2 0 , s i n 2 s i n ( )           ，则 t a n ( )     __________． 14．在锐角 A B C 中，a,b,c分别是内角 A , B , C 的对边，bsinAatanAcosB 3asinC,AD 2 1  AB AC且 3 3 A B C 的面积为3，过点D分别作 D M  A B 于点 M , D N  A C 于点 N ，则 D M  D N  __________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知平面向量 a , b 满足 | a | 2 2 , | b | 2 ，且 | a  2 b | 2 1 0 ． （1）求 a 在b方向上的投影向量； （2）若 ( a b ) ( 2 a b )     ，求实数的值． 16．（本小题15分）如图，在长方体 A B C D  A 1 B C1 1 D 1 中，底面ABCD是边长为4的正方形， O 为AC 与BD的交点， B B 1  2 2 , M 是线段 B 1 D 1 的中点． （1）求证： B M / / 平面 D 1 A C ． （2）求证：DO 平面ABC． 1 117．（本小题15分）在 A B C 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且 2 s i n C  c c o s A , a  4 2 ． （1）若 b  2 ，求 s i n B ； （2）求 A B C 面积的最大值． 18．（本小题17分）如图，在 A B C 中， | A B | 8 , | A C | 5 ,  B A C  π 3 ，且3AE 5EB, B F 2 A F  3 F C , 与CE交于点 O ．设 A O  x A B  y A C ． （1）求 3 5 x  2 3 y 的值； （2）分别求向量 B F 和向量 C E 的模； （3）求 s i n  E O F 的值． 19．（本小题17分）在锐角三角形ABC中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且 3bsinC 3csinB  4 a s i n B s i n C ． （1）若 2 b s i n B  2 c s i n C  b c  3 a ，求 A B C 面积的取值范围． （2）已知 3 2 b s i n B   c  b 2  c o s B  7 , b  c  2 ． （i）求BC边上的高； （ii）若AD是  B A C 的平分线，交BC于点D，且ADmABnAC，求mn的值．参考答案 1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 9．AD 10．BD 11．ABD 12． π 3 1 8 2 13． 14． 3 27 15．解：（1）由 | a | 2 2 , | b | 2 ，且 | a  2 b | 2 1 0 ， 两边平方得 | a 2|  4 a  b  4 | b 2|  8  4 a  b  1 6  4 0 ，解得ab4，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 b ab b ab 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos    bb．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 |b| |b| |b| |b|2 （2）因为 ( a b ) ( 2 a b ) ,  +  - 所以 ( a b ) ( 2 a b ) 0 ,  +  -  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 化简得 2 a 2  2 1  a b b 2 0 ,        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以 1 6 4 ( 2 1 ) 4 0 ,       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解得 3    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 16．证明：（1） O , M 分别是BD,BD 的中点， 1 1 B D D 1 B 1 是矩形， DM //OB，且DM OB， 1 1 四边形 D O1 B M 是平行四边形，则 D O1 / / B M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又 D O1  平面 D 1 A C , B M  平面 D 1 A C ， BM //平面 D 1 A C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）如图，连接OB ． 1 正方形ABCD的边长为4,BB 2 2， 1 BD 4 2,OB 4,DO4， 1 1 1 1 则OB2 DO2 BD2,OB DO．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 1 1 1 1 1 1又 D 1 D  平面 A B C D , A C  平面ABCD， AC  DD. 1 由底面ABCD为正方形可得 A C  B D ， 又 D 1 D  B D  D , D 1 D  平面 B D D 1 B 1 , B D  平面 B D D 1 B 1 ， AC平面 B D D 1 B 1 ． 又 DO 平面BDDB ， 1 1 1  A C  D O1 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 又ACOB O,AC 平面ABC,OB 平面 1 1 1 A B 1 C ，  D O1  平面ABC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 1 a b c 17．解：（1）（方法一）由正弦定理   和已知可得 sinA sinB sinC s i c n C  c o 2 s A  s i a n A  4 s i n 2 A ，化 简可得sinA2 2cosA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又 s i n 2 A  c o s 2 A  1 , s i n A  2 3 2 ，  s i n B  b a s i n A  4 2 2  2 3 2  1 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 a b c ccosA csinB （方法二）由正弦定理   及已知可得sinC   ,asinB  sinA sinB sinC 2 b bsinA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又 a  4 2 , b  2 ,  c 4 s i n 2 2 B s i n  B c  c o 2 2 s s A i n , A , 即  s 2 i n B 2 s  i n c o B s  A , s i n A , 1 两式平方相加可得sinB  ． 3 故当 b  2 1 时，sinB  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 3 （2）由已知可得asinC 2 2ccosAcsinA，化简可得tanA2 2 ，即 s i n A  2 3 2 , c o s A  1 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 由余弦定理得 c o s A  b 2  2 c b 2 c  a 2  1 3 ，得 b 2  c 2  3 2  2 3 b c 2 b c ， 1 2 bc 24,S  bcsinA bc 8 2 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 ABC 2 3 当且仅当 b  c  2 6 时， A B C 的面积取得最大值 8 2 ． 故 A B C 的面积最大值为 8 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 18．解：（1）由 5 F C  3 F C  2 F C  2 A F  2 F C  2 A C , 8 E B  5 E B  3 E B  3 A E  3 E B  3 A B ， 2 3 知FC  AC,EB  AB， 5 8 所以 A O  x A B  5 3 y A F  8 5 x A E  y A C ． 又B,O,F 三点共线，所以 x  5 3 y  1 ，同理可得 8 5 x  y  1 ， 所以 3 5 x  2 3 y  0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 2 2 3 （2）BF  BC AC  AC AB AC  AC AB， 5 5 5 C E  C B  E B  C B  3 8 A B  A B  A C  3 8 A B  5 8 A B  A C .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 | B F 2|   3 5 A C  A B  2  9 2 5 A C 2  A B 2  6 5 A B  A C  9 2 5  5 2  8 2  6 5  2 0  4 9 ， 所以 | B F | 7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 2 5  2 25 2 5 25 5 |CE|2  AB AC   AC  AB  ABAC 52  82  2025， 8  64 4 64 4 所以|CE|5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 3  5  3  5 2 3 2 11 （3）BFCE   ACAB    AB AC    1  ABAC AB  AC  5  8  8  8 5 8 2 0  5 8  8 2  3 5  5 2   5 2 5 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 55 55   BFCE 11 2 2 所以cosEOF cosBF,CE     ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 |BF ||CE| 75 35 14 所以 s i n  E O F  5 1 4 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分 19．解：（1）由 3 b s i n C  3 c s i n B  4 a s i n B s i n C 及正弦定理， 得 3 s i n B s i n C  3 s i n C s i n B  4 s i n A s i n B s i n C ． 因为 0  B  π 2 , 0  C  π 2 ，所以 s i n B  0 , s i n C  0 ， 所以 s i n A  2 3 ，又 0  A  π 2 π ，所以A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 3 由正弦定理得 s i b n B  s i c n C  s i a n A  2 3 3 a , s i n B  2 3 a b , s i n C  2 3 a c ． 由 2 b s i n B  2 c s i n C  b c  3 a ，得 2 b 2 3 a b  2 c 2 3 a c  b c  3 a ， 即 b 2  c 2  a 2  3 3 a b c ．由余弦定理得 b 2  c 2  a 2  b c ，解得a  3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以 b  2 s i n B , c  2 s i n C ， S A B C  1 2 b c s i n A  3 s i n B s i n C  3 s i n B s i n  2 π 3  B   2 3 s i n  2 B  π 6   4 3 . ．．．．．．．．．7分 因为 A B C π 为锐角三角形，所以0 B 且 2 B  π 3  π 2 ， π π π π 5π 即  B ，所以 2B  ， 6 2 6 6 6 1  π 所以 sin  2B  1，所以 2  6 2 3  S A B C 3 4 3 ．  3 3 3 故 ABC面积的取值范围为 , ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 2 4  （2）（i）因为 3 2 b s i n B   c  b 2  c o s B  7 ，所以 c c o s B  b c o s  B  π 3   7 ， 而 A  π 3 ，即 c c o s B  b c o s C  7 ，所以 2 R ( s i n C c o s B  s i n B c o s C )  7 ， 其中 R 为 A B C 外接圆的半径，所以 2 R s i n A  7 ，即a  7，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以 7  b 2  c 2  2 b c c o s A  b 2  c 2  b c  ( b  c ) 2  b c ， 则 b c  3 ，所以 S A B C  1 2 b c s i n A  3 4 3  1 2  7  h ， 其中 h 为BC边上的高，故 h  3 1 2 4 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 （ii）由上面可以解出b3,c1,AD是  B A C 的平分线， 应用正弦定理可证 B D : D C  A B : A C  1 : 3 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 则 A D  3 4 A B  1 4 A C ，所以 m  n 的值为 1 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分