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江苏省淮安市 2024-2025 学年高一上学期期末调研测试数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5 分）若集合 A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2+x≥0}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
2．（5 分）已知幂函数 f（x）的图象经过点 ，则函数 f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（5 分）已知 的终边经过点 P（1，y），且 ，则 tan ＝（ ）
α α
A．﹣2 B． C． D．2
4．（5 分）已知扇形 OAB 的周长为 8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则该扇形中弦长 AB＝（ ）
A．2cm B．4cm C．2sin1cm D．4sin1cm
5．（5 分）已知 x，y R，则 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的（ ）
A．充分不必要条件∈
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 的两根为 sin ，cos ，则 m 的值为（ ）
α α
A． B． C． D．
7．（5 分）已知函数 ，x （0，1）∪（1，+∞），若 ，则 a+b 的最小值为（ ）
∈
A．9 B． C．3 D．
学科网（北京）股份有限公司8．（5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有两个不等
的实根，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
（多选）9．（6 分）下列说法正确的有（ ）
A．若 ac2＞bc2，则 a＞b
B．若 ，则
C．若 a＞b＞0，则
D．若 ，则 ab＜1
（多选）10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图
1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 2）．若一半径为 2 米的筒
车水轮圆心 O 距离水面 1 米（图 3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动 4 圈，当水轮上点 P 从水中
浮现时（图 3 中点 P ）开始计时，点 P 距水面的高度可以用函数 y＝Asin（ x+ ）+B（A＞0， ＞0，
0
| | ，B R）表示．下列结论正确的有（ ） ω φ ω
φ ∈
A．点 P 所满足的函数表达式为
B．点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒
C．P 再次接触水面需用时 10 秒
D．当点 P 运动 2.5 秒时，距水面的高度为 1.5 米
学科网（北京）股份有限公司（多选）11．（6 分）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 y＝f（x）为奇函数
B．函数 y＝f（x）的周期为
C．函数 y＝f（x）在区间 π 上为增函数
D．当 x （0，+∞）时，函数 y＝f（x）的图象恒在直线 的下方
三、填空题∈：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分） ．
13．（5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）关于 x＝1 对称，当 x [﹣1，0]时，f（x）＝ex﹣1，则 f（2025）
＝ ． ∈
14．（5 分）已知函数 f（x）＝﹣x+2，g（x）＝x2+2x﹣2a﹣a2．若对∀x R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，
且∃x （﹣∞，﹣3）使得 f（x）•g（x）＜0 成立，则实数 a 的取值范∈围为 ．
四、解答∈题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知集合 A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）当 a＝﹣2 时，求 A∩B；
（2）若“x B”是“x A”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
16．（15 分）已∈知 为第∈三象限角，且 tan ＝2．
α α
（1）求 的值；
（2）求 的值．
17．（15 分）已知函数 f（x）＝log （a
﹣2x+1）+bx（a＞0，a≠1，b
R）的图象过点（0，﹣1），（1，log
a 2
）． ∈
（1）求实数 a，b 的值；
（2）证明：函数 f（x）为偶函数；
（3）求关于 x 的不等式 2
﹣f（x）+x＜2x+3
的解集．
18．（17 分）如图，函数 的部分图象与直线 y＝﹣1 交于 A，B 两点，
点 ， 在函数 f（x）的图象上，且△ABC 的面积为 ．
（1）求函数 f（x）的解析式；
学科网（北京）股份有限公司（2）设 在 上的两个零点为 ， ，求 的值；
α β
（3）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y＝g（x）的图象，若
y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少有 10 个零点，求最小正整数 b．
19．（17 分）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+a，a R．
（1）若方程 f（f（x））＝0 有 4 解，求 a∈ 的取值范围；
（2）对∀x [1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范围；
∈
（3）对∀x
1
，x
2
，x
3
[1，2]， 恒成立，求 的取值
范围． ∈ λ
学科网（北京）股份有限公司参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D A C B A
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5 分）若集合 A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2+x≥0}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
【分析】分别求解集合 A 和 B，再结合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为 A＝{x|y＝ln（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x2+x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤﹣1}，
所以 A∩B＝{x|x≥0}＝[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的求解以及集合的基本运算，属于基础题．
2．（5 分）已知幂函数 f（x）的图象经过点 ，则函数 f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出幂函数的解析式，再结合函数的图象特征，即可求解．
【解答】解：幂函数 f（x）的图象经过点 ，
则 f（x） ，该函数的定义域为{x|x≠0}，为偶函数，图象关于 y 轴对称，故 B 符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题．
3．（5 分）已知 的终边经过点 P（1，y），且 ，则 tan ＝（ ）
α α
A．﹣2 B． C． D．2
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为 的终边经过点 P（1，y），且 0，
所以 y＜0，解得 yα＝﹣2，
则 tan 2．
故选：α A．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（5 分）已知扇形 OAB 的周长为 8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则该扇形中弦长 AB＝（ ）
A．2cm B．4cm C．2sin1cm D．4sin1cm
【分析】设扇形的弧长为 l，半径为 r，圆心角为 ，然后根据已知建立方程组求出 r 的值，再利用正弦
函数化简即可求解． α
【解答】解：设扇形的弧长为 l，半径为 r，圆心角为 ，
α
则由已知可得 ，解得 r＝2，
则弦长 AB＝2 4sin1cm．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题．
5．（5 分）已知 x，y R，则 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的（ ）
A．充分不必要条件∈
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】由充分性和必要性的判断方法判断即可．
【解答】解：若 xy＜0，则 x，y 异号，当 x＞0，y＜0，|x﹣y|＝x﹣y＝x+（﹣y）＝|x|+|y|，
当 x＜0，y＞0，|x﹣y|＝y﹣x＝y+（﹣x）＝|x|+|y|，
所以 xy＜0 可以推出|x﹣y|＝|x|+|y|；
若|x﹣y|＝|x|+|y|，则当 x＝y＝0 时，等式成立，但此时 xy＜0 不成立，
所以|x﹣y|＝|x|+|y|不能推出 xy＜0．
所以 xy＜0 是|x﹣y|＝|x|+|y|的充分不必要条件．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查充分不必要条件的判断，属于基础题．
6．（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 的两根为 sin ，cos ，则 m 的值为（ ）
α α
A． B． C． D．
【分析】由根与系数的关系可得 sin +cos ，sin cos ＝m，由同角三角函数的性质可得 m 的值．
α α α α
【解答】解：关于 x 的一元二次方程 的两根为 sin ，cos ，
Δ＝（ ）2﹣4m＞0，可得 m ， α α
可得 sin +cos ，sin cos ＝m，
所以 sin
α2
+cos
α2
+2sin co
α
s
α
，
α α α α
解得 sin cos ，即 m ．
故选：C α． α
【点评】本题考查根与系数的关系及同角三角函数的性质的应用，属于基础题．
7．（5 分）已知函数 ，x （0，1）∪（1，+∞），若 ，则 a+b 的最小值为（ ）
∈
A．9 B． C．3 D．
【分析】先对原函数分离常数得出 ，然后根据条件即可得出 ，然后根据基
本不等式和 1 的代换即可得解．
【解答】解： ，由 得： ，整理得：4a+b＝2ab，且
a＞0，b＞0，
∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 b＝2a＝3 时取等号，
∴a+b 的最小值为 ．
故选：B．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式和 1 的代换，是中档题．
8．（5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有两个不等
的实根，则实数 a 的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于 x 的方程 f（x）＝f（2﹣a）至少有两个
不同的交点，结合图象可得 2﹣2 2﹣a≤10，求解即可．
【解答】解：因为 ，
作出函数的图象，如图所示：
关于 x 的方程 f（x）﹣f（2﹣a）＝0 至少有两个不等的实根，
即关于 x 的方程 f（x）＝f（2﹣a）至少有两个不同的交点，
所以﹣4≤f（2﹣a）≤4，
当 x≤2 时，令 f（x）＝x2﹣4x＝4，解得 x＝2﹣2 ，
当 x＞6 时，令 f（x）＝16﹣2x＝﹣4，解得 x＝10，
所以 2﹣2 2﹣a≤10，
解得﹣8≤a≤2 ．
故选：A．
【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
（多选）9．（6 分）下列说法正确的有（ ）
A．若 ac2＞bc2，则 a＞b
B．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司C．若 a＞b＞0，则
D．若 ，则 ab＜1
【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假．
【解答】解：A 中，因为 ac2＞bc2，可得 c2＞0，所以 a＞b，所以 A 正确；
B 中，若 ，a＝1，b＝2 也可以，所以 不正确，所以 B 不正确；
C 中，a＞b＞0，a﹣b﹣（ ）＝（a﹣b） ，
因为 a﹣b＞0，ab＞0，而 1+ab＞0，所以 a﹣b﹣（ ）＞0，即 a﹣b ，所以 C 正确；
D 中，若 ，当 a＝b＝﹣2 时，则 ab＞1，则 ab＜1 不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
（多选）10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图
1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 2）．若一半径为 2 米的筒
车水轮圆心 O 距离水面 1 米（图 3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动 4 圈，当水轮上点 P 从水中
浮现时（图 3 中点 P ）开始计时，点 P 距水面的高度可以用函数 y＝Asin（ x+ ）+B（A＞0， ＞0，
0
| | ，B R）表示．下列结论正确的有（ ） ω φ ω
φ ∈
A．点 P 所满足的函数表达式为
B．点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒
C．P 再次接触水面需用时 10 秒
D．当点 P 运动 2.5 秒时，距水面的高度为 1.5 米
【分析】根据函数模型 y＝Asin（ x+ ）+B 的定义与性质，求出 A，B 和 T， ， ，写出函数解析式，
再判断选项中的命题是否正确． ω φ ω φ
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：函数 y＝Asin（ x+ ）+B 中，A＝2，B＝1，T 15，所以 ，
ω φ ω
x＝0 时，y＝2sin +1＝0，解得 sin ，因为| | ，所以 ，
φ φ φ φ
所以 y＝2sin（ x ）+1，选项 A 错误；
令 y＝3，得 sin（ x ）＝1，则 x 2k ，解得 x＝5+15k，k N，
所以 x 的最小值为 5，即点 P 第一次到达最高点需用时 π5 秒，选项 B 正确；∈
由题意知，点 P 再次接触水面需用时 T 15＝10（秒），选项 C 正确；
当 x＝2.5 时，y＝2sin（ 2.5 ）+1＝2，点 P 距水面的高度为 2 米，选项 D 错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
（多选）11．（6 分）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 y＝f（x）为奇函数
B．函数 y＝f（x）的周期为
C．函数 y＝f（x）在区间 π 上为增函数
D．当 x （0，+∞）时，函数 y＝f（x）的图象恒在直线 的下方
【分析】∈根据题意，由奇函数的定义分析 A，由函数周期性的定义分析 B，由函数单调性的性质分析 C，
由不等式的性质分析 D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，函数 ，其定义域为 R，有 f（﹣x）＝﹣f（x），则 f（x）为奇函数，A
正确；
对于 B，f（x）＝sinx ，有 f（x+ ）＝﹣sinx ，
则 不是函数 f（x）的周期，B 错误； π
π
对于 C，f（x）＝sinx sinx ，
在区间[0， ]上，y＝sinx 为增函数且 y＝sinx≥0，y 也是增函数，
则 f（x）＝sinx 在[0， ]上递增，
又由 y＝f（x）为奇函数，则 f（x）在区间 上为增函数，C 正确；
学科网（北京）股份有限公司对于 D，f（x）＝sinx sinx ，
当 x （0，+∞）时，由于 sinx≤x， 恒成立，故 f（x） x，
∈
则函数 y＝f（x）的图象恒在直线 的下方，D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数三角函数的奇偶性，涉及函数的最值，属于基础题．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分） ﹣1 ．
【分析】利用对数运算性质求解．
【解答】解：
＝log 9 3
4
＝log 16﹣3
4
＝2﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查对数运算性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）关于 x＝1 对称，当 x [﹣1，0]时，f（x）＝ex﹣1，则 f（2025）
＝ ． ∈
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），
函数 f（x）关于 x＝1 对称，则有 f（x）＝﹣f（2﹣x），
则有 f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得 f（x+2）＝﹣f（x），
则有 f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即 f（x）是周期为 4 的周期函数，
则 f（2025）＝f（1+4×506）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
又由当 x [﹣1，0]时，f（x）＝ex﹣1，则 f（﹣1）＝e ﹣1﹣1 ，
则 f（202 ∈ 5）＝﹣f（﹣1） ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司14．（5 分）已知函数 f（x）＝﹣x+2，g（x）＝x2+2x﹣2a﹣a2．若对∀x R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，
且∃x （﹣∞，﹣3）使得 f（x）•g（x）＜0 成立，则实数 a 的取值范∈围为 a （﹣4，﹣3）∪（1，2）
． ∈ ∈
【分析】将问题分为对∀x R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0 和存在当 x＜﹣3 时，f（x）g（x）＜0 两部
分进行求解． ∈
【解答】解：首先分析对∀x R，均有 f（x）＞0 或 g（x）＞0，令 f（x）＞0，解得 x＜2，
故当 x≥2 时需要 g（x）＞0∈，
易得二次函数 g（x）的对称轴为 x＝﹣1，
故需确保 g（2）＞0 且 g（x）右边根 x ≤2，
2
g（2）＝8﹣2a﹣a2＞0 解得 a （﹣4，2），
∈
x ＝﹣1 1+|a+1|≤2，解得 a [﹣4，2]，
2
综上，a （﹣4，2）①； ∈
再分析存∈在当 x＜﹣3 时，f（x）g（x）＜0，
f（x）＝﹣x+2＞0，
故存在 x＜﹣3，g（x）＜0，
故 g（x）左边根 x1＝﹣1 1﹣|a+1|＜﹣3，解得 a （﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）②，
综合①②，可得 a （﹣4，﹣3）∪（1，2）， ∈
故答案为：a （﹣∈4，﹣3）∪（1，2）．
【点评】本题∈考查函数存在性和恒成立问题，属于中档题．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知集合 A＝{x|lg（x﹣1）≤1}，B＝{x|0＜x+a＜2}．
（1）当 a＝﹣2 时，求 A∩B；
（2）若“x B”是“x A”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【分析】（∈1）化简集合∈ A 与 B，根据交集的定义求解即可；
（2）根据“x B”是“x A”的充分不必要条件，得 B 是 A 的真子集，由此得出实数 a 的取值范围．
【解答】解：（∈1）集合 ∈A＝{x|lg（x﹣1）≤1}＝{x|0＜x﹣1≤10}＝{x|1＜x≤11}，
a＝2 时，B＝{x|0＜x﹣2＜2}＝{x|2＜x＜4}，所以 A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）若“x B”是“x A”的充分不必要条件，则 B 是 A 的真子集，
由 B＝{x|0＜∈x+a＜2}＝∈{x|﹣a＜x＜2﹣a}，
学科网（北京）股份有限公司得 或 ，解得﹣9≤a＜1 或﹣9＜a≤﹣1，
综上，实数 a 的取值范围是{a|﹣9≤a≤﹣1}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了转化思想，是基础题．
16．（15 分）已知 为第三象限角，且 tan ＝2．
α α
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：（1）因为 为第三象限角，且 tan 2，
所以 sin2 +cos2 ＝4cos2α +cos2 ＝1，解得 cos α （正值舍去），
α α α α α
所以 cos ；
α
（2） ．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
17．（15 分）已知函数 f（x）＝log （a
﹣2x+1）+bx（a＞0，a≠1，b
R）的图象过点（0，﹣1），（1，log
a 2
）． ∈
（1）求实数 a，b 的值；
（2）证明：函数 f（x）为偶函数；
（3）求关于 x 的不等式 2
﹣f（x）+x＜2x+3
的解集．
【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解 a，b；
（2）结合偶函数的定义即可证明；
（3）结合指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）函数 f（x）＝log （a
﹣2x+1）+bx
的图象过点（0，﹣1），（1，log ），
a 2
所以 f（0）＝log 2＝﹣1，即 a ，f（x）＝log （1+4x）+bx，
a
则 log 5+b＝log ，
2
所以 b＝1；
（2）证明：函数 f（x）＝log （1+4x）+x＝x﹣log （1+4x）＝log log ，x R，
2 2 2
∈
学科网（北京）股份有限公司f（﹣x）＝log f（x），
2
故 f（x）为偶函数；
（3）不等式 2 ﹣f（x）+x＜2x+3 可化为 1+4x＜2x+3，
即（2x）2﹣2x﹣2＜0，
解得﹣1＜2x＜2，
所以 x＜1，
故不等式的解集为{x|x＜1}．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
18．（17 分）如图，函数 的部分图象与直线 y＝﹣1 交于 A，B 两点，
点 ， 在函数 f（x）的图象上，且△ABC 的面积为 ．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）设 在 上的两个零点为 ， ，求 的值；
α β
（3）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y＝g（x）的图象，若
y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少有 10 个零点，求最小正整数 b．
【分析】（1）由题意可得 ，从而可得函数的一条对称轴为 ，从而可得周期 T ，
根据周期公式可得 的值，再代入 C 点坐标，即可求得函数的解析式；
ω
（2）由题意可得 ，代入求解即可；
（3）由题意得 g（x）＝2cos3x+1，解出函数的零点，可得 b 的范围，再根据 b 为整数，即可得答案．
【解答】解：（1）因为 ，
得到 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 y＝f（x）的一条对称轴为 ，
此时 ，
则 ，从而解得 ＝3．
ω
又 ，且 ，得 ．
从而 ；
（2）由题意得 ，
令 ，
得到 ，
因为 ，3x ， ，
所以 2 ，
π
解得 ，
从而 ；
（3）由题意得 g（x）＝2cos3x+1，
令 2cos3x+1＝0，
则 ，k Z 或 ，
∈
当 k＝4，则 ，
所以 ），
又 b N*，
所以∈ b ＝10．
min
【点评】本题考查了三角函数和图象及性质，考查了整体思想、数形结合思想，属于中档题．
19．（17 分）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+a，a R．
（1）若方程 f（f（x））＝0 有 4 解，求 a∈ 的取值范围；
（2）对∀x [1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范围；
∈
（3）对∀x
1
，x
2
，x
3
[1，2]， 恒成立，求 的取值
∈ λ
学科网（北京）股份有限公司范围．
【分析】（1）令 t＝f（x），f（1）＝a﹣1，由题意可得 f（t）＝0 存在两个不等的实数解，由此可求解 a
的取值范围；
（2）根据已知不等式列不等式组，求解即可；
（3）求出 f（x）的值域为[a﹣1，a]，设 t＝f（x），则 t＝f（x），i＝1，2，3，不妨设 a﹣1≤t ≤t ≤t
i i 1 2 3
≤a，由不等式的性质可得 的范围，从而可得 的取值
范围． λ
【解答】解：（1）令 t＝f（x），f（1）＝a﹣1，则 f（t）＝0 存在两个不等的实数解，
∴Δ＝4﹣4a＞0 且 f（a﹣1）＞0，解得 a＜1，
即 a 的取值范围是（﹣∞，1）．
（2）因为 x [1，2]，（ax﹣1）f（x）≥0，设 g（x）＝ax﹣1，且 f（x）在 x [1，2]是单调递增的，
∈ ∈
所以① ，即 解得 a≥1；
② ，即 ，解得 a≤0．
③ ，解得 ，
综上所述，实数 a 的取值范围是 ．
（3）因为 x [1，2]，f（x）在 x [1，2]是单调递增的，所以 f（x）∈[a﹣1，a]，
设 t＝f（x），∈则 t＝f（x），i＝1∈，2，3，不妨设 a﹣1≤t ≤t ≤t ≤a，
i i 1 2 3
因为 ，
≤（t ﹣t ）+（t ﹣t ）+（t ﹣t ）＝2（t ﹣t ）≤2，
3 1 2 1 3 2 3 1
以上不等式取等号的条件为 t ﹣t ＝t ﹣t ，t ＝a，t_{1}＝a﹣1$，
2 1 3 2 3
即 t ＝a﹣1，$t_{2}＝\frac{2a﹣1}{2}$，t ＝a 时，取得等号，
1 3
学科网（北京）股份有限公司从而$\sqrt{|f（x_{1}）﹣f（x_{2}）|}+\sqrt{|f（x_{1}）﹣f（x_{3}）|}+\sqrt{|f（x_{2}）﹣f（x_{3}）|}
≤\sqrt{2}+1$，
所以$ ＞\sqrt{2}+1$，
综上所λ述，实数 的取值范围是（$\sqrt{2}+1$，+∞）．
【点评】本题主要λ 考查不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题．
