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第九章 统计A（基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020春•郑州期中）某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，
在这个问题中，500名学生身高的全体是（ ）
A．总体
B．个体
C．从总体中抽取的一个样本
D．样本的容量
【解答】解：为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，
这500名学生身高的全体是总体．
故选：A．
2．（2020春•盐城期末）某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现
用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么
此样本的容量n为（ ）
A．108 B．96 C．156 D．208
【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：1000：800＝4：5：4，
现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，
∴由分层抽样性质，得： ，
解得n＝156．
故选：C．
3．（2020•赣州模拟）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 50
名同学按01，02，……50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选
取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A．24 B．36 C．46 D．47
【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，
46，24．故选：A．
4．（2020•山西模拟）如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）．则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（ ）
A．12，15 B．15，15 C．15，15.9 D．15，16.8
【解答】解：由茎叶图得：
甲组数据为：
9，12，15，24，27，
乙组数据为：
8，15，18，19，24，
故甲组数据的中位数是15，
乙组数据的平均数是： 16.8，
故选：D．
5．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，则数据10x ，10x ，…，10x 的方差
1 2 n 1 2 n
为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【解答】解：∵样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，
1 2 n
∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
∴数据10x ，10x ，…，10x 的方差为：100×0.01＝1，
1 2 n
故选：C．
6．（2020春•闵行区校级期中）在一次数学测试中，高二某班 40名学生成绩的平均分为82，方差为
10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．100 B．85 C．65 D．55
【解答】解：因为S2 10.2，
所以 40×10.2＝408，
若存在x＝55，则（x ）2＝（55﹣82）2＝729 408，
则方差必然大于10.2，不符合题意，所以55不可能是所有成绩中的一个样本．
故选：D．
7．（2020•4月份模拟）学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为n
的样本，并将得到的数据分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]四组，绘制成如图所示的频
率分布直方图，其中支出在[40，50]的同学有24人，则n＝（ ）
A．80 B．60 C．100 D．50
【解答】解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力．
由频率分布直方图可得，支出在[40，50]的频率为1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3．
根据题意得 ，解得n＝80．
故选：A．
8．（2020•深圳模拟）一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：
组别 （0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在（10，40]上的频率为（ ）
A．0.13 B．0.52 C．0.39 D．0.64
【解答】解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：
0.52．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•启东市校级月考）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动
员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
A．2000名运动员是总体B．所抽取的20名运动员是一个样本
C．样本容量为20
D．每个运动员被抽到的机会相等．
【解答】解：由题意知，2000名运动员的年龄是总体，所以A错误；
所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；
样本容量是20，所以C正确；
每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．
故选：CD．
10．（2020•烟台一模）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防
控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢
疫情防控阻击战的人民战争．右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该
折线图，下列结论正确的是（ ）
A．16天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D．19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
【解答】解：由频率分布折线图可知，16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一天有
增有减，故A错误；
由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量，则 16天中每日新增确诊病例的中位数小
于新增疑似病例的中位数，故B正确；
由图可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000，故C正确；
由图可知，20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故D错误．
∴正确的结论是BC．
故选：BC．11．（2020春•济宁月考）一组数据2x +l，2x +1，2x +1，…，2x +1的平均值为7，方差为4，记3x +2，
1 2 3 n 1
3x +2，3x +2，…，3x +2的平均值为a，方差为b，则（ ）
2 3 n
A．a＝7 B．a＝ll C．b＝12 D．b＝9
【解答】解：2x +l，2x +1，2x +1，…，2x +1的平均值为7，方差为4，
1 2 3 n
设X＝（x ，x ，x ，…，x ），
1 2 3 n
E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，
D（2X+1）＝4D（X）＝4，D（X）＝1，
3x +2，3x +2，3x +2，…，3x +2的平均值为a，方差为b，
1 2 3 n
a＝E（3X+2）＝3E（X）+2＝11，
b＝D（3X+2）＝9D（X）＝9，
故选：BD．
12．（2020•淄博模拟）某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）
所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这20名肥胖者，下面
结论正确的是（ ）
A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数较健身前增加了2人
B．他们健身后，体重原在区间[100，110）内的人员一定无变化
C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg
D．他们健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少
【解答】解：体重在[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，所以A
正确；
他们健身后，体重在[100，110）内的百分比没有变，但人员组成可能改变，所以B错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了
（0.3×95+0.5×105+0.2×115）﹣（0.1×85+0.4×95+0.5×105）＝5（kg），所以C错误；
因为图（2）中没有体重在[110，120）内的人员，所以原来体重在[110，120）内的肥胖者体重都有减少，
所以D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•江苏模拟）某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为
10 ．
【解答】解：由图可得这五位同学考试成绩分别为122，128，129，130，131；
则这五位同学数学成绩的平均数为： （122+128+129+130+131）＝128，
方差 [（122﹣128）2+（128﹣128）2+（129﹣128）2+（130﹣128）2+（131﹣128）2]＝10．
故答案为：10．
14．（2020•南通模拟）为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了 1000名学生的课外阅读时间，所得
数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125，150）中的学生人数为 200
．
【解答】解：由频率分布直方图得：
阅读时间在[125，150）中的频率为：
1﹣（0.004+0.012+0.016）×25＝0.2．
∴阅读时间在[125，150）中的学生人数为：1000×0.2＝200．
故答案为：200．15．（2020•扬州模拟）某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者 50人，现用分层抽样的方法分配
三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，则应从高三年级抽取
15 名志愿者．
【解答】解：∵高三年级的学生人数占的比例为 ，
则应从高三年级抽取的人数为50 15，
故答案为：15．
16．（2020•中卫三模）从2021个学生中选取202人志愿者，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样
法从2021人中剔除1人，剩下的2020人按系统抽样取出202人，则每人入选的概率 ．
【解答】解：根据抽样的性质可知，无论哪种抽样，每个个体抽到的概率都是相同的，
用简单随机抽样从2021人中剔除1人，每个人被剔除的概率相等，
剩下的2020人再按系统抽样的方法抽取，每个人被抽取的概率也相等，即 ，
故答案为： ．
四．解答题（共5小题）
17．（2020•宁德模拟）A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了 8次测验，成绩（单位：
分）记录如下：
A 71 62 72 76 63 70 85 83
B 73 84 75 73 7 8 76 85
B同学的成绩不慎被墨迹污染（ ， 分别用m，n表示）．
（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请
说明理由（不用计算）；
（2）若B同学的平均分为78，方差s2＝19，求m，n．
【解答】解：（1）A、B两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，
所以选派B同学参加数学竞赛更好．
（2）因为 （73+84+75+73+70+m+80+n+76+85）＝78，
所以m+n＝8， ，
①
因为S2 [52+62+32+（m﹣8）2+（n+2）2+22+72]＝19，
所以（m﹣8）2+（n+2）2＝4，
联立 解得，m＝8，n＝0．②
18．（2①02②0•武侯区校级模拟）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校 40个班级进行了一
次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在[80，100]评定为
“优”，奖励3面小红旗；得分在[60，80）评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40，60）评定为
“中”，奖励1面小红旗；得分在[20，40）评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率
分布直方图如图：
（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级
中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．
【解答】解：（1）得分[20，40）的频率为0.005×20＝0.1；得分[40，60）的频率为0.010×20＝0.2；
得分[80，100]的频率为0.015×20＝0.3；
所以得分[60，80）的频率为1﹣（0.1+0.2+0.3）＝0.4．设班级得分的中位数为x分，于是 ，解得x＝70．
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分．
（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．
于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．
分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．
因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗．
所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”
与一个评定为“中”的班级．
记这个事件为A．
则 为两个评定为“中”的班级．
把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4，2个评定为“中”的班级标记为5，6．
从这6个班级中随机抽取2个班级用点（i，j）表示，其中1≤i＜j≤6．
这些点恰好为6×6方格格点上半部分（不含i＝j对角线上的点），于是有 种．
事件 仅有（5，6）一个基本事件．所以 ．
所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为 ．
19．（2020•甲卷三模）中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日﹣9月29日在日本举
行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠、三大赛第十冠．中国女排用胜利点燃国人的激情，
女排精神成为了拼搏、不服输的代表．某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出 12人代
表队，最后甲、乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答
问题：
（Ⅰ）计算甲、乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡（不需要计
算）；
（Ⅱ）赛后学校在上场时间超过50分钟（包括50分钟）的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两
人中至少有一人来自乙班的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）甲班队员上场的平均时间
31.25，
乙班队员上场的平均时间 34.5．
由茎叶图分析甲班队员上场时间更均衡．
（Ⅱ）上场时间超过50分钟的队员甲班有两人为A，B，乙班有3人为C，D，E．
则从5人中随机抽取2人的取法有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．共有10种，至
少有一人来自乙班的有9种，
故两人中至少有一人来自乙班的概率P ．
20．（2020春•锡山区校级期中）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市
政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x
（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用
水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，
2），…，[8，9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a＝b．
（1）求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中
点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得： ，
解得a＝0.15，b＝0.06．
由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：
0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．
（2）由频率分布直方图得：
全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1﹣0.04﹣0.08＝0.88，
∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
400000×（1﹣0.04﹣0.08）＝352000．
（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，
∴5≤x＜6，
由0.15×（x﹣5）＝0.85﹣0.73，解得：x＝5.8，
因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
21．（2020•迎泽区校级模拟）2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实
行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小
区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，
并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的
统计数据．
（1）求x，y，z的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四
舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2
人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率．
组数 分组 “环保族”人数 占本组频率
第一组 [20，25） 45 0.75
第二组 [25，30） 25 y
第三组 [30，35） 20 0.5
第四组 [35，40） z 0.2
第五组 [40，45） 3 0.1【解答】解：（1）由题意得： ．
（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：
22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5＝30.75≈31．．
（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，
[25，30）中选：9 5人，[30，35]中选：9 4人，
在这9人中选取2人作为记录员，
基本事件总数n ，
选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]包含的基本事件个数：
m 26，
∴选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率p ．
