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第九章 统计B（提高卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020•福田区校级模拟）某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，需征集20名志愿者参与活动服务工作，
现决定采取分层抽样的方式从“摄影协会”、“记者协会”、“管理爱好者协会”中抽取，已知三个协
会的人数比为5：2：3，且每个人被抽取的概率为0.2，则该校“摄影协会”的人数为（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
【解答】解：由题意知从“摄影协会”抽取的人数为 ，
因为每个人被抽取的概率为0.2，
故该校“摄影协会”的人数为 ．
故选：C．
2．（2019春•楚雄州期中）为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从 500台取暖器中取50台进行检验，
用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500．如图提供了随机数表第7行至第9
行的数据：
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为（ ）
A．217 B．206 C．245 D．212
【解答】解：由题意，根据简单的随机抽样的方法，
利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，
依次为217，157，245，217，206，由于217重复，
所以第4台取暖器的编号为206．
故选：B．
3．（2020•唐山二模）某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名学生
的成绩，依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的（ ）
学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
修改前成绩 126 130 104 100 133 123 100 120 139 103
修改后成绩 126 135 99 100 138 123 95 120 144 98A．平均分、方差都变小 B．平均分、方差都变大
C．平均分不变、方差变小 D．平均分不变、方差变大
【解答】解：经计算，修改前后的平均数均为117.8，故可排除AB，
又经计算修改前的方差为 （8.22+12.22+13.82+17.82+15.22+5.22+17.82+2.22+21.22+14.82）＝197.16
修改后的方差为 （8.22+17.22+18.82+17.82+20.22+5.22+22.82+2.22+26.22+19.82）＝307.16，
故选：D．
4．（2020•贵州模拟）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中
国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读
过《西游记》的学生有70位，只阅读过《红楼梦》的学生有20位，则既没阅读过《西游记》也没阅读
过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解答】解：∵随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》的学生有70位，∴没有阅读过《西游
记》的学生有100﹣70＝30位．
∵只阅读过《红楼梦》的学生有20位，
则既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数为30﹣20＝10人，
则既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 0.1，
故选：A．
5．（2019春•眉山期末）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果
按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于
15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为
y，平均成绩为z，则从频率分布直方图中可分析出x、y、z的值分别为（ ）A．0.9，35，15.86 B．0.9，45，15.5
C．0.1，35，16 D．0.1，45，16.8
【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x＝1﹣（0.06+0.04）＝0.9，
y＝50×（0.36+0.34）＝35，
第一组的频数为0.02×50＝1，
第二组的频数为0.18×50＝9，
第三组的频数为0.36×50＝18，
第四组的频数为0.34×50＝17，
第五组的频数为0.06×50＝3，
第六组的频数为0.04×50＝2，
则平均数y （13.5×1+14.5×9+15.5×18+16.5×17+17.5×3+18.5×2） 15.86，
故选：A．
6．（2020•定远县模拟）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学
联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是
81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则
的最小值为（ ）A． B．2 C． D．9
【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，
乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，
若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，
则xy＝G2，2G＝a+b，即有a+b＝4，a＞0，b＞0，
则 （a+b）（ ） （1+4 ） （5+2 ） 9 ，
当且仅当b＝2a 时， 的最小值为 ．
故选：C．
7．（2020•松江区二模）已知实数x ，x ，……，x [﹣1，1]，且x +x +……+x ＝ ，则当x 2+x 2+……
1 2 100 1 2 100 1 2
+x 2取得最大值时，x ，x ，……，x 这100个数∈中，值为1的个数为（ ） π
100 1 2 100
A．50个 B．51 个 C．52 个 D．53个
【解答】解：∵x +x +……+x ＝ ，则当x 2+x 2+……+x 2要取得最大值，只需正负抵消，即有48个
1 2 100 1 2 100
﹣1，51个1，1个无理数为 ﹣3时π符合试题要求，
故选：B． π
8．（2020春•四川月考）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和
查理斯实验．受其启发，我们也可以π通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校m名同学每人随机写
下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角π 三形三边的数对（x，y）的个数a；
最后再根据统计数a估计 的值，那么可以估计 的值约为（ ）
π π
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意知，m名同学取m对都小于l的正实数对（x，y），即 ，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数x、y能与1构成钝角三角形三边，则有 ，
其面积S ；
则有 ，
解得 ．
π
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•福州期中）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单
位：℃）的数据，绘制了如图的折线图．已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，
则根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于0℃的月份有4个
【解答】解：由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，
得：
在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．
故选：ABC．
10．（2020春•胶州市期中）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大
规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地
新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）
甲地：总体平均数 ，且中位数为0；
乙地：总体平均数为2，且标准差s≤2；
丙地：总体平均数 ，且极差c≤2；
丁地：众数为1，且极差c≤4．
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【解答】解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不
超过5人”．
甲地：总体平均数 ，且中位数为0，
存在连续7天中某一天新增疑似病例超过5人的可能，故甲地不一定符合标准，故A错误．
乙地：总体平均数为2，且标准差s≤2，
存在连续7天中某一天新增疑似病例超过5人的可能，
例如7天中增增病例数为1，1，1，1，2，2，6，
满足总体平均数为2，且标准差s≤2，故乙地不一定符合标准，故B错误；
丙地：总体平均数 ，且极差c≤2，
每天新增疑似病例没有超过5人的可能，故丙地一定符合标准，故C正确；
丁地：众数为1，且极差c≤4．
每天新增疑似病例没有超过5人的可能，故丁地一定符合标准，故D正确．
故选：CD．
11．（2020•德州一模）某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好
地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（ ）
A．与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加
B．与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍
C．与 2016年相比，2019 年艺体达线人数相同
D．与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加
【解答】解：依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，
由24%•1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A正确；
由（40%•1.5x﹣32%•x）÷32%•x ，故选项B不正确；
由8%•1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；
由28%•1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．
故选：AD．
12．（2020•潍坊一模）如图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中1949﹣2018年我国高中阶段在校
生数条形图和毛入学率的折线图，根据如图可知在1949﹣2018年（ ）
A．1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高
B．从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高
C．2010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰
D．2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.9%而毛入学率提高了0.5个百分点
【解答】解：由图可知，1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，A对；
2016年我国高中阶段的在校生数和毛入学率降低，B错；
2015年我国高中阶段在毛入学率均达到了最高峰，C错；
2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.9%而毛入学率提高了0.5个百分点，D对，
故选：AD．
三．填空题（共4小题）13．（2020•亭湖区校级一模）若样本a 、a 、a 的方差是2，则样本2a +3，2a +3，2a +3的标准差是 2
1 2 3 1 2 3
．
【解答】解：样本a 、a 、a 的方差是2，设平均数为 ，
1 2 3
则样本2a +3，2a +3，2a +3的平均数为2 3，
1 2 3
方差S2 [（2a ﹣2 ）2+（2a ﹣2 ）2+（2a ﹣2 ）2]，
1 2 3
4[（a ）2+（a ）2+（a ）2]，
1 2 3
＝4×2＝8．
故样本2a +3，2a +3，2a +3的标准差为：2 ，
1 2 3
故答案为：2
14．（2020•盐城四模）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频
率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50），[50，100），[100，150），[150，
200），[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个
的天数为 1 2 天．
【解答】解：日销售量少于100个的频率为：0.003×50+0.005×50＝0.4，
∴30天中面包的日销售量少于100个的天数为30×0.4＝12，
故答案为：12．
15．（2020•昆山市模拟）某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，
按地域将下辖的250个行政村分成A，B，C，D四组，对应的行政村个数分别为25，75，100，50，若
用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为 1 5 ．
【解答】解：B组所占比例为： ，样本容量为50，
故B组中应抽取的行政村数为50 15，
故答案为：15．16．（2020•丹东二模）某医院职工总数为200人，在2020年1月份，每人约有25次到超市或市场购物，
为调查职工带口罩购物的次数，随机抽取了40名职工进行调查，得到这个月职工带口罩购物次数的频
率分布直方图，根据该直方图估计，2020年1月份，该院职工带口罩购物次数不低于15次的职工人数
约为 6 0 ．
【解答】解：由频率分布直方图得：
2020年1月份，该院职工带口罩购物次数不低于15次的职工所占频率为：
（0.05+0.01）×5＝0.3，
∴2020年1月份，该院职工带口罩购物次数不低于15次的职工人数约为：0.3×200＝60．
故答案为：60．
四．解答题（共5小题）
17．（2020•吴忠模拟）近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺
乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某
种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如图茎叶图：
（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？
（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按
30天计算）被评为优的天数各是多少．
【解答】解（1）根据茎叶图可知，甲的数据比较分散，而乙家销售的额比较集中，对这种产品的销售更稳定，
（2）甲的平均销售额 122，
故10天中甲的销售额超过平均值 122的有5天，从而30天中约有15天被评为优，
乙的销售额平均值 （107+115+117+118+123+125+132+136+139+148）＝126，
10天中乙的销售额超过平均值 122的有4天，从而30天中约有12天被评为优，
18．（2020•临汾模拟）随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了
看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在 10～60
岁间的n位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直
方图，如右图所示．
（1）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在 40岁以上（含40
岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以内及[40，50）以内的市民中随机抽取10人，再从这10
人中随机抽取3人进行调研，记随机抽的3人中，年龄在[40，50）以内的人数为X，求X的分布列以及
数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布列知被调查的人员年龄在20～30岁间的市民的频率为0.030×10＝0.3，
∵被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，
∴n 1000，
∵被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率为（0.020+0.005）×10＝0.25，
∴被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数为：0.25×1000＝250人．
（2）年龄在[20，30）内的市民有：0.030×1000＝300人，
年龄在[40，50）内的市民有：0.020×1000＝200人，
按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以内及[40，50）以内的市民中随机抽取10人，年龄在[20，30）内的市民抽中300 6人，
年龄在[40，50）内的市民抽中：200 4人，
再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽的3人中，年龄在[40，50）以内的人数为X，
则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0） ，
P（X＝1） ，
P（X＝2） ，
P（X＝3） ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
EX ．
19．（2019•香坊区校级二模）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图
所示：
（1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费
者金额在（3200，4000]的范围内的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：
会员等级 消费金额
普通会员 2000银卡会员 2700
金卡会员 3200
预计去年消费金额在（0，1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200]
内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，
消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者
举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：
普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中
的“幸运之星”每人奖励800元．
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3个白球、2个红球（球只有颜色不
同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为 2，则可获得200元奖励
金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．规定每位普通会员均可参
加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸
奖的结果相互独立）
请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由．
【解答】解：（1）去年的消费金额超过3200元的消费者有12人，
其中去年的消费金额在（3200，4000]的消费者有8人，
去年的消费金额在（4000，4800]的消费者有4人，
现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，
基本事件总数n 66，
至少有1位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000]的范围内包含的基本事件个数：
m 38，
∴至少有1位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000]的范围内的概率为：
p ．
（2）方案一：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励，
则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为：
， ， ，
∴根据方案一的奖励的金额为：＝7×500+15×600+3×800＝14900元，
1
ξ方案二：设 表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金，
则 的可能取η值分别为0，200，300，
η
摸到红球的概率为P ，
P（ ＝0） ，
η
P（ ＝200） ，
η
P（ ＝300） ，
η
的分布列为：
η 0 200 300
ηP
∴E 76.8元，
η
∴按照方案二奖励金的金额为：
＝（28+2×60+3×12）×76.8＝14131.2元，
2
ξ∵方案一奖励的总金额 ＞方案二的奖励金额 ，
1 2
∴预计方案二的投资较小ξ ． ξ
20．（2020•江西模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重
急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发
现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难
等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状
病毒，需要检测血液中的指标A．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得如
图频率分布直方图：
（1）求这500份血液样品指标A值的平均数 和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表，记
作x（i＝1，2，…，7））；
i
（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标A的值X服从正态分布N（ ，σ2），其中 近似为样本平
均数 ，σ2近似为样本方差s2．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件μ称为小概率事件μ（正常条件下
小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取 20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该
院医生的健康率是否正常，并说明理由．
附：参考数据与公式： ，3.46 ；若x～N（ ，σ2），则 P（ ﹣σ＜
μ ① μ
x≤ +σ ） ＝ 0.6826 ； P （ ﹣ 2σ ＜ x≤ +2σ ） ＝ 0.9545 ； P （ ﹣ 3σ ＜ x≤ +3σ ） ＝
0.99μ73.0.15874≈0.006，0②.15876≈0μ.000016，0.84μ1314≈0.0890，0.84131③6≈0.0630μ． μ
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
，
．
（2）由题意知：X～N（17.4，6.92），20.03＝ +σ，
μ
．
随机抽取20名医生独立检测血液中指标A的值，就相当于进行了20次独立重复试验，
记“20名医生中出现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03”为事件B，
则
＝4845×0.0006×0.0630＝0.183141＞3%，
所以从血液中指标A的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的．
21．（2019秋•河南月考）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将
年龄按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求a的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；
（2）现从年龄在[50，60），[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3
人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调
查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P （k＝0，1，2，…，20），当P 最大时，求k的值．
k k【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.005+0.010+0.030+0.035）×10＝1，
解得a＝0.02，
∴该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为：
（0.005×35+0.035×45+0.030×55+0.020×65+0.010×75）×10＝54.5．
（2）年龄在[50，60）的人数为0.030×10×100＝30，
年龄在[70，80）的人数为0.010×10×100＝10，
根据分层抽样，可知年龄在[50，60）的抽取6人，年龄在[70，80）的抽取2人，
∴X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0） ，
P（X＝1） ，
P（X＝2） ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴数学期望E（X） ．
（3）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为Y，则Y服从二项分布，
由频率分布直方图得年龄在[30，50）的频率为：（0.005+0.035）×10＝0.4，
∴Y～B（20，0.4），
∴P（Y＝k） ，（k＝0，1，2，…，20），
设t ，当t＞1时，k＜8.4，P（Y＝k﹣1）＜P（Y＝k），
当t＜1时，k＞8.4，P（Y＝k﹣1）＞P（Y＝k），
∴当k＝8时，P（Y＝k）最大，即当P（Y＝k）最大时，k＝8．
