文档文本内容
2026 年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷
2026.06.07
考生注意：
1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选
择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条
形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知集合 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得 ，解得 ，经验证此时集合 满足题意.
2. 已知 为等比数列， ， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【详解】设数列 的公比为 ，则 ，则 .
3. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【详解】 ．4. 已知事件 ， 互斥， ， ，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【详解】因为 互斥，所以 .
5. 已知函数 是偶函数，当 时， ，若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数 是偶函数，当 时， ，
所以 ，解得 .
6. 已知 ，则展开式中 的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式的通项，令 的次数为 ，即可求出展开式中 的系数.
【详解】由题意，
在 中，通项 ，
当 即 时， ，
∴展开式中 的系数为 .
7. 已知 ，则 的最大值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据基本不等式可得 ，结合条件即可求结论.【详解】因为 ，当且仅当 时等号成立，
结合 可得， ，
当且仅当 ， 或 ， 时等号成立，
所以当 ， 或 ， 时， 取最大值，最大值为 .
8. 已知随机变量 的分布为 ，且 ，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量 的分布为 ，且 ，
所以 ，且 ，
解得 .
9. 已知等差数列 中， ，公差为 ，其前 项和 在区间 内至少有两项，则公差 的取
值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前 项和 在区间 内至少有两项，则得出 ，
且 ， 是单调递增的，所以必须满足 ，所以 ，所以 .
10. 已知向量 ， ， 是两两不平行的向量，且 ， ，则 的值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：由条件可得 ， ，消去 ，根据平面向量基本定理
列方程求结论；
方法二：先证明 共面，设 ，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 不平行，所以 ，
所以 ，
方法二：因为 ， ， 两两不平行，
所以， ，
若 不共面，所以 ，矛盾，
所以 共面，可设 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，可设 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 .
11. 已知三角函数 （ ， ， ， ），若 ，当
或 时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出 ，结合初速度为0，求出 ，结合第一次
达到最大值的时间构造方程求出 ，进而求出 解析式．
【详解】由题意知， 和 时，导数为0，即 的最小值为0，最大值为4，
又 ，
所以 ，解得 ，故 ；
已知初速度为0，则 ，解得 ，
已知 ，则 ，
速度第一次达到4时用时 秒，则 ，
即 ，则 ，解得 ，
解得 ，当 时取得最小正数 ， ，
此时 ．
12. 在 中， ， ， ．已知点 ， ， 分别为椭圆的上、下、右顶点，以
及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求 的值，即可得离心率.
【详解】因为 ，
根据对称性可知：点 其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则 或 ，解得 或无解；
②当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，则 或 ，方程组均无解；
综上所述： ， ， ，所以离心率 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）
13. 为不为1的任意实数，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，则 .
14. 事件 和事件 相互独立，“ 和 至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知 至少有一个发生，
则对立事件为 都不发生，所以 的对立事件为 .
15. 已知 ， 为复数，当 为实数或 的共轭复数为实数时，称 和 互相伴随．则当 和 互
相伴随时， 和 互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ，由条件结合 和 互相伴随的定义可得 ，根据充要条件判断结
论.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
， ，
， ，
因为 和 互相伴随，所以 ，
若 ，则 为实数，所以 和 互相伴随，
若 和 互相伴随，则 ，
所以 和 互相伴随的充要条件为 .
16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 轴、 轴、 轴重合，顶点 与坐标原点重合，
的
点 是正方体底面中与 相对 对角顶点，点 在点 的正上方．将正方体绕直线 旋转一周，
试问点 的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，解
法一：设 ，列方程分析点 的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点
的轨迹即为 的内切圆，即可判断结果.
【详解】不妨设正方体的棱长为3，
则 ， ， ，
可得 ， ，
设点 在体对角线 上的投影为 ， ， ，
则 ，
可得 ，解得 ，
则 ，即 ，且 ，
可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，
解法一：在点 的轨迹任取一点 ，则 ，则 ，整理可得 ，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：
则 ， ， ，
可知 为边长为 的正三角形，且其中心为 ，且内切圆半径 ，
即可知点 的轨迹即为 的内切圆，所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记
录，数据如下：
5.7
颗粒物密度 101.02 87.02 4 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
7.
4
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 3.31 3.35 3.86
40
（1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进
行分析，并请你判断相关系数在 ， ， 哪个区间内？（直接写结论）
（3）2023年前9年的年份( )的平均数为 2018， (颗粒物密度) 关于 (年份) 的回归方程拟采用
，或 . 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回
归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】（1） ；
（2）散点图；
（3） 的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【解析】
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【小问1详解】
9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为 .
【小问2详解】
统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数 ，故相关系数在 区间上.
【小问3详解】
采用方程 时，2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；
因为
，
所以 ，可得 .
故采用方程 时，
2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；
因为 ，故方程 对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
18. 已知四棱锥 ，底面 为矩形， 底面 ，垂足 在 边上，且 ，
， ．
（1）求证： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求二面角 的大小．
【答案】（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则 ，设点 ，
则 ，
，
．
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；
（2）利用棱锥体积公式求出 ，进而求出点 ，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹
角余弦公式求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
四棱锥体积 ，解得 ，
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设二面角 为 ，则 ，
由图可知，二面角 为锐角，则二面角 大小为 ．
19. 已知 ，函数 ， ．
（1）已知 ，求 的解集；
（2）已知 ， 是 在点 处的切线， 是过点 且垂直于 的直线， 与 、 在第
一象限内均无公共点，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出参数 ，解不等式即可求出 的范围；
（2）求出直线 与 的方程，利用 与 、 在第一象限内均无公共点，得出
与 无正实数解，分离参数，转化为直线 与
与曲线 在 内均无交点，对 求导讨论其单调性，得出函数的最值，建
立不等关系，即可求出实数 的取值范围.
【小问1详解】由题意， ，
在 与 中，
，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 或
∴不等式的解集为 .
【小问2详解】
由题意及（1）得， ，
在 中， ，
∴
∵直线 为 在点 的切线，
∴直线 的方程为： ，即 ，
∵ 是过点 且垂直于 的直线，
∴直线 的方程为： ，即 ，
在 中， ， 与 、 在第一象限内均无公共点，∴ 与 无正实数解，
分离参数得， ， ，
∴直线 与 与曲线 在 内均无交点，
而 ，
当 时，解得 （舍）或 ，
∴当 即 时，函数单调递减，
当 即 时，函数单调递增，
∴ 在 处取最小值， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 且 ，即 或 ，
∴实数 的取值范围为 .
20. 已知双曲线 ，点 在 上， ， 分别为双曲线的左、右焦点．
（1）求点 到双曲线渐近线的距离；
（2）若 ，求 ；
（3）记 为双曲线 满足 和 的部分；直线 ， 均过右焦点 ， 与 交于 ， 两点
（分别在第一、第四象限）， 与 交于 ， 两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数 ，使得对任意直线 ，都存在唯一一对应的直线 满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在实数 符合题意，此时 的取值范围为
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程求 ，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得 ，结合定义可得 ， ，
即可得面积；解法二：设 ，根据数量积可得 ，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和
中线长性质可得 ， ，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得 ，
，进而分析取值范围即可得解.
【小问1详解】
由题意可知： ， ，
则 ， ，渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到双曲线渐近线的距离为 .
【小问2详解】解法一：因为 ，
由余弦定理可得 ，
整理得： ，
因点 是双曲线上一点，则 ，可得 ，
代入可得 ， ，则 ，
所以 的面积为 ；
解法二：设 ，则 ，即 ，
可得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 的面积为 ；
解法三：因为 ，即 ，
由中线长定理可知： ，
因为 ，可得 ，
代入可得 ， ，可得 ，
解得 ，则 ， ，所以 的面积为 .
【小问3详解】
不妨取 ， ，则直线 的斜率 ，
依题意，设直线 ： ，则 ，设直线 ： ，则 ，
， ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ， ，
可得 ，
可知函数 在 内单调递增，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ，
因 ，所以 ；
同理可得：可知 在 内单调递减，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ；
由题意可知： ，可得 ，解得 ，
所以存在实数 符合题意，此时 的取值范围为 .
21. 已知 是 ， ， 的一个排列，若函数 ， ， ，对任意 ，都有
且 ，则称 是关于 ， ， 的一个
排列，则关于 ， ， 的 排列总数记为 ．
（1）已知 ， ， ， ，判断 是否为 排列；
（2）对 ， ， ， 满足条件的 ，求 的取值范围；
（3）对 ，且对任意 ， ，令 ， ，
， ，证明：若 严格减，则存在 ，使 ；
若 严格增，则存在 ， ．
【答案】（1）是 排列；
（2） ；
（3）首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若 和 在 上同时成立，那么排列 都将 是排列，此时 至少为4．
当 时，即 ，
因为 是定义在 上的函数，且严格单调递减，实数 ，
则 恒成立，
又因为函数 在 上单调递增，
则在区间 上， ， .
若 恒成立，则 ，
则只需 ，即 ，因为对任意的 ， ，
则 ，则 ，则解得 ，
当 时，即 ，
因为 严格递减，所以 且 ，
，
只要 ，就有 ，
则可取 即可满足题意．
即存在 ，使得 .
再证明第2个结论.
假设对于任意的 ，都有 ，
因为（2）中①排列 始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是 排列．首先，我们证明 不可能恒成立：
假设对于某个 ，在 上恒有 ．
即 ，
即 ，
取 ．由于 严格递增，
令 ，
则 ，
于是对任意正整数 ：
，
当 时， ，这与 矛盾！
因此， 不可能恒成立．则排列③排列 和④排列 永远不可能是 排列．
接下来只剩②排列 ，其需满足 ，
⑤排列 ，其需满足 ，
⑥排列 ，其需满足 ，
下面证明：对于任意 在 上恒成立＂与＂ 在 上恒成立＂这两个
命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意 ，都有 ，即都有 ，
对于任意 和 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，又因为 ，故等号无法取到，
所以 恒成立，
则 对所有的 恒成立.
则此时②排列 ，⑤排列 ，⑥排列 均成立，
则 ，与假设 矛盾！
（ii）并非对于所有 都有 ，即 ，
则必定存在 ，使得 ，
设 ，
因为 是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的 ，总可以找到 ，使得 ，
即 ，即 ，
同时，因为 严格递增且 ，必有 ．
即 ，
即 ，即 ，
则可取充分小的 使得 ，即存在 ，使得 ，
所以＂ 恒成立＂这个命题是假的．
既然 为假，那么＂ 恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列 成立，此时满足 ，则对于 ，在 时都有：
，
即 ，
取 ，则对于任意 ：
，
因为 严格递增，则 ．
则
又因为 ，
则
即 ，对任意 都成立．
取 ，因为 ，则 ，
则对于 内的任意 ，都满足 ，
因为 ，故有 ，
但是，之前我们得到 ，
即 ，则 ，
则有： ， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在 ，使得 ．
【解析】
【分析】（1）根据 排列的定义判断即可；（2）分析得 ， ， 的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分 和 讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【小问1详解】
由题意得 ，
则当 ， ，
则 恒成立，
，
则 恒成立，
故 是为 排列.
【小问2详解】
若 ，则1，2，3的全排列均满足题意，
① ，则有： ，此时两个不等式显然成立．
② ，则有： ，即 .
③ ，则有： ，即 .
④ ， 则 有 ： ， 即
.
⑤ ，则有： ．
⑥ ，则有： ，即 .则上述不等式均要成立，取它们的交集有 ，
即 ，即 对 恒成立，
分离参数得 ，因为当 时， ，
所以 .
【小问3详解】
略.
