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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题可得 ，所以
3. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ；
由 ，得 ，
所以 ，即 .
两式相减，得 ，
.
所以4. 已知双曲线 ： （ ， ）过点 和 ，则双曲线C的渐近线方程是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点 和 代入双曲线方程求出 ，再求出渐近线方程即可.
【详解】把点 和 ，代入双曲线方程可得
，
所以双曲线方程为 ，
故该双曲线渐近线方程为 .
5. 已知棱台的上下底面均为有一个角为 的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为 ，
则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.【详解】由题意，得棱台的上底面面积为 ，
下底面面积为 ，
所以该棱台的体积为 .
6. 现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不
能在一起，则不同的分配方案有（ ）
A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种
【答案】C
【解析】
【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.
【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，
安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组.
若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人；
B组已有{丁}，还差3人，
则从剩余4人中选1人进A组，方案数为 .
若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为 .
所以当甲、乙在A组时，方案数为 种.
情况2：甲、乙两人都在 B 小组，
甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，
安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，
所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.
故所有分配方案共有 种.
7. 已知 为第二象限角，且 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简可得 ，结合角的范围分别求出 ， 即可
求解.
【详解】由 ，得：
因为 是第二象限角，所以 ， ，
化简得： ，即
由于 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
所以
8. 已知函数 为偶函数，且满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据 推出周期性 ，分析可得 ，得到 ，再由可得 .
【详解】 ，则 ，
，即 的周期为 ，
结合奇偶性，周期性，故 ，
在 上满足 ，说明 的对称轴为 ，
则 ，解得 ，
又根据 知 ，而 ，
则 ，于是 ，
即 ，解得
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得
部分分，有选错的得0分）
的
9. 已知圆 ： ，圆 ： ，则下列说法正确 是（ ）
A. 点 的坐标为
B. 时，圆 与 轴相切
C. 当 时，圆 与圆 相切
D. 当圆 与圆 相交时，两交点所在的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，求出 的圆心坐标即可判断；
对于B，利用圆心 到 的距离即可判断；
对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.
【详解】由 ： ，化简可得 ，
所以 ， 的圆心 ，半径 ，故A错误；
对于B，由 ，得 的半径 ，所以圆心 到 轴的距离 ，即 与
轴相切，故B正确；
对于C，由 ，得 的半径 ，由于 的圆心为 ，半径 ，所以
，则 与 内切，故C正确；
对于D，由 ，化简得： ，
所以 与 两个交点所在直线的方程为 ，故D错误.
10. 已知等比数列 的公比 ，且 ， ，记数列 的前 项和为 ，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据条件列出关于 的方程，求解可得 的值，判断A；利用特值
法可判断B；根据等比数列的前 n项和公式，求得 ， ，化简可判断C；求出 ，由
的取值情况，结合不等式的性质，判断D.【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以A正确.
因为 ，则 ，所以B错误.
.
.
所以C正确当n为奇数时， ；
当n为偶数时，因为 ；所以 ，
所以 ，即 .
所以D正确.
11. 已知抛物线 ： ，有一斜率为 的直线 过点 ，点A在抛物线E上， , 两点
在直线 上，且 为等边三角形，则（ ）
A. 抛物线E的准线方程为
B. 当直线 与抛物线E无交点时，
C. 若直线 与抛物线 相交于唯一一点 ，则抛物线E的焦点在直线 上
D. 当 时， 面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据抛物线方程得 ，进而得出准线方程；B选项，设直线 为 ，和抛物线方程联立消去 ，令 求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点 ，假设 过焦点，则
得到 ，根据两直线的夹角的公式推出 的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上
一点到直线的距离最小值来处理.
【详解】A选项， ，则 ，故准线 ，A选项正确；
B选项，设直线 为 ，则 ，
联立 得到， ，
直线和抛物线无交点，则 ，
结合 ，解得 ，B选项正确；
C选项，由联立方程 ，
若 与 相交于唯一点 ，只可能是相切，
则 ，解得 ，
此时 ，解得 ，进而得 ，则 ，
若 过焦点 （如图），由于 ， ，而 ，
根据倾斜角的定义， ， ，
而 ，此时 的正切值为 ，
即 ，这与 为等边三角形矛盾，C选项错误；D选项，当 ，此时直线方程为 ，
设 ，则 到 的距离为 ，
即等边三角形 高的最小值为 ，此时面积 ，D选项正确.
的
C选项方法二：求得 ，则 ， ，
则 ，
则 ，抛物线E的焦点不在直线 上，故C错误.
D选项方法二： 到 的最小距离可转化为抛物线和 平行的切线，求得两平行线的距离即可，
由于 ，设直线 为 ，
联立 ，得到 ，
由 ，此时直线 为 ，
由平行线的距离公式可推出 直线间距离为 ，其余同上.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 __________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.
【详解】由等差数列通项公式 ，
代入 可得 ，解得 .
因为 ，所以 ，
故 .
13. 若函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：令 ,则 即 ， ,转化为一元二次
方程 有两个正根的问题.
方法二：把函数 有两个零点转化为方程 有两个实数根的问题，再
转化为 ,即函数 与函数 交点问题.【详解】令 ，得 ，即 ，
方法一：
令 ，则 ，即 ， ,
则一元二次方程 有两个正根，
那么 ，
所以， 的取值范围是 .
方法二：
设 ，那么设 ，则 ，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
根据函数图象可知，函数 有两个零点，则 的取值范围是 .
14. 已知球 的体积为 ，点A，B，C，D均在球表面上，若 为正三角形，且
，则 __________．
【答案】【解析】
【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组
求解.
【详解】由球的体积公式， ，解得 ，
设 的外心为 ，连接 ，
由题意知 为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心 在 上，
不妨设 在线段 上，连接 ，
设 的边长为 ，由正弦定理可得， ，
再设 ，由题知， ，
解得 （负值表示球心 在线段 的延长线上，实际情况如右图），
所以 ，
由三角形面积公式， .
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障
时间”与“对应频率”的频率分布直方图：（1）求第一四分位数和中位数；
（2）设 为首次故障时间小于365天的概率估计值．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件
数，若X~B(100,^p)，求 和 ．
【答案】（1）第一四分位数为 ，中位数为 ；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） ， ．
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；
（2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.
【小问1详解】
由直方图可知， 的频率为 ，
的频率为 ，
故第一四分位数在 上，设为 ，则 ，解得 ；
的频率为 ，
的频率为 ，故中位数在 上，设为 ，则 ，解得 .
故第一四分位数为370，中位数为381；
【小问2详解】
由直方图可知，小于365天的频率为 ，故^p=0.15，
根据二项分布的期望和方差公式，
，
16. 如图，在三棱锥 中，点 在 上， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ， ．求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：
因为 且 ， ，且 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故 .（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ， ，再结合线面垂直的性质定理证明即可；
（2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量 和平面 的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法
二：利用体积法解出设点 到平面 的距离为 ，进而计算线面夹角.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 且垂直于平面 的直线
为 轴，建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， .
因为 且 ，所以 .
所以 ， ， .
设平面 的法向量 ，则 ，
可得 ，令 ，则： ， ，即 .
设 与平面 所成的角为 ：所以
，
所以 与平面 所成的角为 .
法二：在 中， ，
在 中， ，
由（1）知 ，则 .
在 中， .
在 中， .
，
为直角三角形，则 .
设点 到平面 的距离为 ， 与平面 所成角为 ，
由 得：
，即 ，
解得： .
所以 .17. 在 中，已知 ， ．
（1）证明： 为钝角三角形；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）证明：由 ，则 ，
又 ，得 ，则 ，
由两角和的余弦公式， ，
结合 可知 ，
则 异号，必然一个为负，
又 ，即 中必有一个是钝角；
（2）
【解析】
【分析】（1） ，结合题设得出 ，然后由两角和的余弦展开得到
，进而得解；
（2）先推出三角形面积公式的变形式 ，解得 ，由正弦定理进而得出 ，
然后列余弦定理和面积公式的关于 的方程组求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
方法一：由正弦定理和三角形的面积公式，，
（ 是 外接圆半径）
又 ， ，则 ，解得 ，
又 ，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
又 ，则 ，
于是 ，即 ，
，解得 ，
故 周长为 .
方法二：由 ，则 ，
即 ，
由正弦定理可得， ，
由三角形面积公式， ，
得到 ，则 ，其余同上.
18. 椭圆 ： （ ），过右焦点且与 轴垂直的直线被 截得的长度为 ．
（1）求 的离心率．（2） 为坐标原点，给定点 ， 在 上，过点 作 轴的垂线，垂足
为 ， 与 交于点 ．当 在 上运动时， 的轨迹为 ．
（ⅰ）求 的方程，并说明M是什么曲线；
（ⅱ） 是否有中心点？当 为何值时， 有中心点？当 有中心点时，平移 到 ，使 为
的中心点，说明 的形状.
【答案】（1）
（2）（i） 的方程为 ;当 时， ，则方程表示
椭圆去掉与 轴交点；当 时， ，则方程表示双曲线去掉与 轴交点；当
时，轨迹 的方程为 ，为抛物线去掉与 轴交点；
（ii）当 时，轨迹 的方程为 ，为抛物线去掉与 轴交点，无中心点;
2t
( )
当 时， 有中心点 - 0 , 0 ，平移 到 ，使 为 的中心点时，此时 的方程为
t2-2
0
，
当 时， 形状为椭圆去掉与 轴交点，当 时， 形状为双曲线去掉与 轴交
点.
【解析】
【分析】（1）利用过右焦点垂直于 轴的直线被 所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得 再求出离心率；
（2）(i)通过联立方程求出点 的坐标，再反解出点 的坐标代入椭圆方程，从而求出 的轨迹 的方
程；
（ii）先讨论 在不同取值时，中心存在的情况；再假设中心点坐标为 ，求出中心坐标的表达
式，再通过平移求出 的方程，再讨论不同情况下 的形状.
【小问1详解】
设椭圆 的右焦点为 ，其中 ，
那么过右焦点且垂直于 轴的直线为 ，代入椭圆得
，即 ，
所以 ，由于截线段长为 ，解得 ，
故 ，离心率 .
【小问2详解】
(i) 方法一：
由(1)知椭圆方程为 ，由于点 满足 ，且 ，过 作 轴的垂线，
交 轴于点 ，
那么当 时，点 ，点 与点 重合；
当 时，直线 方程为： ，直线 方程为： ，
即联立 ，解得 即点 ，
设 ，则由 ，
代入椭圆方程 得 ，即
两边乘以 得
整理得 ，
把点 代入，仍然成立，
故轨迹 的方程为 ；
方法二：
由于 ，点 在 轴，故直线 必有斜率；
设直线 方程为 ， ，那么点 ，
由于 轴，则 ，
由于点 三点共线，则 ，
因为点 在直线 上，所以， ，把 代入椭圆 方程： ，得 ，即 ，
整理化简，得 ，
故轨迹 的方程为 ；
当 时， ，则方程表示椭圆去掉与 轴交点；
当 时， ，则方程表示双曲线去掉与 轴交点；
当 时，轨迹 的方程为 ，为抛物线去掉与 轴交点；
(ii)当 即 时，轨迹 的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无
中心点；
当 即 且 0时，设轨迹 的中心点为 ，那么
若点 在轨迹 上，那么点 ，也在轨迹 上，则
，
两式相减得， ，
整理，得 ，
要使用等式恒成立，则即中心点为 ，
2t
( )
所以 有中心点当且仅当 且 0，且中心坐标为 - 0 , 0 .
t2-2
0
将 平移使其中心与原点重合，设 平移后的点为 ，那么
，即 ，
代入轨迹 方程可得 ，
整理化简，得 ，即 ，
即 的方程为 ，
当 时， ，则方程表示椭圆去掉与 轴交点；
当 时， ，则方程表示双曲线去掉与 轴交点，
综上，当 时，轨迹 的方程为 ，为抛物线去掉与 轴交点，无中心点；
2t
( )
当 时， 有中心点 - 0 , 0 ，平移 到 ，使 为 的中心点时，此时 的方程为
t2-2
0
，
当 时， 形状为椭圆去掉与 轴交点，当 时， 形状为双曲线去掉与 轴交点.
19. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ．
（1）求 ， ；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）当 时， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解；
（2）法一：构造差函数 ，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，
进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当 ， 确定
界点 ；再结合界点分类讨论即可；
（3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则
求解.
【小问1详解】
，由切点 在直线 上，也在函数 图象上，
可知 且 ，可得 ；
由 ，则切线的斜率为 ，
解得 ；
故 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
则
，
故题意可转化为 对任意 恒成立，
法一：令 ， ，
则 ，
当 时，由 且 ，
则 ，即 ，
则 在 上单调递增，又 ，
要使 对任意 恒成立，
则 ，解得 ；
当 时， 不成立；
当 时， ， ，且 ，
则 ，即 ，则 在 上单调递减，
又当 时， ，不满足题意；
综上所述， 的取值范围为 .
法二：
不等式 可转化为 ，
即 对任意 恒成立，
当 时， 不成立；
当 时，设 ， ，
当 时，由 ，可知 ，
，
这与 对任意 恒成立矛盾；
当 时， ，
，
由 ，故 在 上单调递增，
故 在 上存在唯一零点，设为 ，
且当 时， ，即 ，
此时不等式 不成立；当 时， ，
则 在 上单调递增，
由 ，故 ，
故不等式 ，即 恒成立，
综上所述， 的取值范围为 ；
【小问3详解】
法一：设 ，
则
，
令 ，
则 ，
其中 ， ， .
当 时， ，
则 在 上单调递增，故 ，
故 在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，设，
由 ，可知 且 ，
则 ，可知 在 上单调递增，
故 ，即 ，
故 在 上单调递增，故 ，
故 在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，此时 ，又 ，
则存在正实数 ，使得 ， ，
则 在 上单调递减，则 ，
即当 ， ，不满足题意；
综上所述， ，即 的最小值为 .
法二：由 可得
，
则 ，即 ，
则 ，
由 ，可知 ，则 ，
故原不等式可转化为 ，由 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，令 ，
则 ， ，
由 ，
再令 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递减，
又由洛必达法则可知 ，
故要使当 时， 恒成立，则 ，
即 的最小值为 .
